221 Mensuration • Cylinders दो बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 और उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 5:3 है। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए। The radii of two cylinders are in the ratio 2:3 and their heights are in the ratio 5:3. Find the ratio of their volumes. A. 10:27 10:27 B. 17:10 17:10 C. 20:27 20:27 D. 17:27 17:27 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C बेलन का आयतन πr²h होता है। इसलिए आयतनों का अनुपात = 2² × 5 : 3² × 3 = 20:27। The volume of a cylinder is πr²h. Therefore, the volume ratio is 2² × 5 : 3² × 3 = 20:27.
222 Mensuration • Circles किसी वृत्त की परिधि और व्यास का अंतर 105 सेमी है। वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए। The difference between the circumference and diameter of a circle is 105 cm. Find its diameter. A. 44 सेमी 44 cm B. 49 सेमी 49 cm C. 42 सेमी 42 cm D. 35 सेमी 35 cm उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B यदि व्यास d है, तो परिधि πd होगी। प्रश्नानुसार πd - d = 105। π = 22/7 रखने पर (15/7)d = 105, इसलिए d = 49 सेमी। If the diameter is d, the circumference is πd. Thus, πd - d = 105. Taking π = 22/7 gives (15/7)d = 105, so d = 49 cm.
223 Algebra • Linear Equations यदि a + b = 3 और a - b = 1 है, तो ab का मान ज्ञात कीजिए। If a + b = 3 and a - b = 1, find the value of ab. A. 4 4 B. -4 -4 C. 2 2 D. -2 -2 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2a = 4, इसलिए a = 2। अब a + b = 3 में a = 2 रखने पर b = 1। अतः ab = 2 × 1 = 2। Adding the equations gives 2a = 4, so a = 2. Substituting in a + b = 3 gives b = 1. Therefore, ab = 2 × 1 = 2.
224 Trigonometry • Trigonometric Ratios सरल कीजिए: sin 47° sec 43° + cos 56° cosec 34° Simplify: sin 47° sec 43° + cos 56° cosec 34° A. 2 2 B. 1 1 C. 0 0 D. 1/2 1/2 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A पूरक कोण संबंध से cos 43° = sin 47° और sin 34° = cos 56°। इसलिए sin47°/cos43° + cos56°/sin34° = 1 + 1 = 2। Using complementary-angle identities, cos 43° = sin 47° and sin 34° = cos 56°. Therefore, sin47°/cos43° + cos56°/sin34° = 1 + 1 = 2.
225 Trigonometry • Trigonometric Equations यदि sin 2A = cos(A - 60°) में दोनों कोणों को पूरक मानें, तो A का मान ज्ञात कीजिए। If the angles in sin 2A = cos(A - 60°) are taken as complementary, find the value of A. A. 15° 15° B. 50° 50° C. 45° 45° D. 30° 30° उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B sin θ = cos(90° - θ) के अनुसार sin 2A = cos(90° - 2A)। इसलिए 90° - 2A = A - 60°। इससे 3A = 150° और A = 50° प्राप्त होता है। प्रश्न को एकल उत्तर वाला बनाने के लिए पूरक कोण की शर्त स्पष्ट की गई है। Using sin θ = cos(90° - θ), sin 2A = cos(90° - 2A). Therefore, 90° - 2A = A - 60°, giving 3A = 150° and A = 50°. The complementary-angle condition has been stated explicitly to ensure a unique answer.
226 Geometry • Quadrilaterals एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल 420 वर्ग मीटर है। किसी एक विकर्ण पर सम्मुख शीर्षों से खींचे गए लंबों की लंबाइयाँ 18 मीटर और 12 मीटर हैं। विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए। The area of a quadrilateral is 420 m². The perpendiculars drawn to one diagonal from the opposite vertices are 18 m and 12 m. Find the length of the diagonal. A. 24 मीटर 24 m B. 28 मीटर 28 m C. 26 मीटर 26 m D. 15 मीटर 15 m उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × विकर्ण × दोनों लंबों का योग। अतः 420 = 1/2 × d × (18 + 12) = 15d। इसलिए d = 28 मीटर। Area of the quadrilateral = 1/2 × diagonal × sum of the perpendiculars. Thus, 420 = 1/2 × d × (18 + 12) = 15d, giving d = 28 m.
227 Trigonometry • Trigonometric Ratios यदि sin θ = 8/17 है और θ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, तो cot θ का मान ज्ञात कीजिए। If sin θ = 8/17 and θ lies in the second quadrant, find the value of cot θ. A. 8/15 8/15 B. 15/17 15/17 C. -15/8 -15/8 D. -8/15 -8/15 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C sin θ = 8/17 होने पर समकोण त्रिभुज संबंध से भुजाएँ 8, 15 और 17 होंगी। द्वितीय चतुर्थांश में cos θ ऋणात्मक होता है, इसलिए cos θ = -15/17। अतः cot θ = cos θ/sin θ = -15/8। With sin θ = 8/17, the corresponding sides follow the 8-15-17 triangle. Cosine is negative in the second quadrant, so cos θ = -15/17. Therefore, cot θ = cos θ/sin θ = -15/8.
228 Algebra • Polynomial Division (x³ - 3x² + 4x - 2) को (x - 1) से भाग देने पर भागफल क्या होगा? What is the quotient when (x³ - 3x² + 4x - 2) is divided by (x - 1)? A. x² - 2x - 2 x² - 2x - 2 B. x² + 2x + 2 x² + 2x + 2 C. x² - x + 2 x² - x + 2 D. x² - 2x + 2 x² - 2x + 2 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: D Correct Answer: D बहुपद का गुणनखंड (x - 1)(x² - 2x + 2) है। अतः (x³ - 3x² + 4x - 2) ÷ (x - 1) = x² - 2x + 2 और शेषफल शून्य है। The polynomial factors as (x - 1)(x² - 2x + 2). Therefore, the quotient is x² - 2x + 2, with zero remainder.
229 Geometry • Chords of a Circle 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 12 सेमी लंबी जीवा खींची गई है। केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए। A chord of length 12 cm is drawn in a circle of radius 10 cm. Find the distance of the chord from the centre. A. 6 सेमी 6 cm B. 8 सेमी 8 cm C. 5 सेमी 5 cm D. 10 सेमी 10 cm उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को दो बराबर भागों में बाँटता है। आधी जीवा 6 सेमी होगी। अतः दूरी = √(10² - 6²) = √64 = 8 सेमी। The perpendicular from the centre bisects the chord, so half the chord is 6 cm. Therefore, distance = √(10² - 6²) = √64 = 8 cm.
230 Mensuration • Circle and Square r त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि, x भुजा वाले वर्ग के परिमाप के बराबर है। r:x का अनुपात ज्ञात कीजिए। The circumference of a circle of radius r is equal to the perimeter of a square of side x. Find the ratio r:x. A. 7:11 7:11 B. 7:12 7:12 C. 7:16 7:16 D. 11:7 11:7 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A प्रश्नानुसार 2πr = 4x। इसलिए r/x = 2/π। π = 22/7 रखने पर r/x = 2 × 7/22 = 7/11। अतः अनुपात 7:11 है। Given 2πr = 4x, we obtain r/x = 2/π. Taking π = 22/7 gives r/x = 2 × 7/22 = 7/11. Therefore, the ratio is 7:11.