1 Algebra • Quadratic Equations समीकरण 5x² - 9x - 7 = 0 के मूलों का योग ज्ञात कीजिए। Find the sum of the roots of 5x² - 9x - 7 = 0. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 5/9 5/9 B. 9/5 9/5 C. 7/5 7/5 D. 5/7 5/7 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का योग -b/a होता है। यहाँ a = 5 और b = -9 है। अतः मूलों का योग = -(-9)/5 = 9/5। For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the sum of the roots is -b/a. Here, a = 5 and b = -9. Therefore, the sum is -(-9)/5 = 9/5.
2 Algebra • Quadratic Equations यदि 5x² - 3x - 3 = 0 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। If 5x² - 3x - 3 = 0, find the value of x. सेव करें Save सेव्ड Saved A. x = (5 + √69)/10 या x = (3 - √69)/10 x = (5 + √69)/10 or x = (3 - √69)/10 B. x = (3 + √69)/10 या x = (5 - √69)/10 x = (3 + √69)/10 or x = (5 - √69)/10 C. x = (3 + √69)/10 या x = (3 - √69)/10 x = (3 + √69)/10 or x = (3 - √69)/10 D. x = (5 + √69)/10 या x = (5 - √69)/10 x = (5 + √69)/10 or x = (5 - √69)/10 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C द्विघात सूत्र से x = [-b ± √(b² - 4ac)]/(2a)। यहाँ a = 5, b = -3 और c = -3 है। अतः x = [3 ± √(9 + 60)]/10 = (3 ± √69)/10। Using the quadratic formula, x = [-b ± √(b² - 4ac)]/(2a). Here, a = 5, b = -3 and c = -3. Therefore, x = [3 ± √(9 + 60)]/10 = (3 ± √69)/10.
3 Algebra • Quadratic Equations निम्नलिखित में से कौन-सा द्विघात समीकरण काल्पनिक मूल प्रदान करेगा? Which of the following quadratic equations will have imaginary roots? सेव करें Save सेव्ड Saved A. 3z² - 4z - 4 = 0 3z² - 4z - 4 = 0 B. 2k² - 2k + 8 = 0 2k² - 2k + 8 = 0 C. n² - 3n + 2 = 0 n² - 3n + 2 = 0 D. j² + 2j - 5 = 0 j² + 2j - 5 = 0 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B काल्पनिक मूलों के लिए विविक्तकर b² - 4ac ऋणात्मक होना चाहिए। विकल्प B में विविक्तकर = (-2)² - 4 × 2 × 8 = 4 - 64 = -60 है। इसलिए इसके मूल काल्पनिक होंगे। For imaginary roots, the discriminant b² - 4ac must be negative. For option B, the discriminant is (-2)² - 4 × 2 × 8 = 4 - 64 = -60. Therefore, its roots are imaginary.
4 Algebra • Quadratic Equations यदि α और β समीकरण 2x² - 7x + 6 = 0 के मूल हैं तथा α > β है, तो उस समीकरण को ज्ञात कीजिए जिसके मूल α + β और α - β हैं। If α and β are the roots of 2x² - 7x + 6 = 0 and α > β, find the equation whose roots are α + β and α - β. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 4x² - 16x + 7 = 0 4x² - 16x + 7 = 0 B. 4x² - 4x + 7 = 0 4x² - 4x + 7 = 0 C. x² - 16x + 7 = 0 x² - 16x + 7 = 0 D. 4x² - 16x + 3 = 0 4x² - 16x + 3 = 0 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A 2x² - 7x + 6 = 0 के मूल 2 और 3/2 हैं। अतः α = 2 और β = 3/2। नए मूल α + β = 7/2 और α - β = 1/2 हैं। इनका योग 4 और गुणनफल 7/4 है। इसलिए समीकरण x² - 4x + 7/4 = 0 अथवा 4x² - 16x + 7 = 0 होगा। The roots of 2x² - 7x + 6 = 0 are 2 and 3/2. Thus, α = 2 and β = 3/2. The new roots are α + β = 7/2 and α - β = 1/2. Their sum is 4 and product is 7/4. Therefore, the equation is x² - 4x + 7/4 = 0, or 4x² - 16x + 7 = 0.
5 Algebra • Quadratic Equations यदि ax² + bx + c = 0 के मूल वास्तविक और अपरिमेय हों, तो इसका विविक्तकर कैसा होना चाहिए? If ax² + bx + c = 0 has real and irrational roots, what condition should its discriminant satisfy? सेव करें Save सेव्ड Saved A. शून्य से अधिक और पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए Greater than zero and not a perfect square B. शून्य से अधिक और पूर्ण वर्ग होना चाहिए Greater than zero and a perfect square C. शून्य से कम और पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए Less than zero and not a perfect square D. शून्य से कम और पूर्ण वर्ग होना चाहिए Less than zero and a perfect square उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर D = b² - 4ac धनात्मक होना चाहिए। मूलों को अपरिमेय होने के लिए √D अपरिमेय होना चाहिए, इसलिए D पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। For real and distinct roots, the discriminant D = b² - 4ac must be positive. For the roots to be irrational, √D must be irrational, so D must not be a perfect square.
6 Algebra • Quadratic Equations यदि a और b समीकरण x² + ax + b = 0 के मूल हैं और b ≠ 0 है, तो a + b का मान ज्ञात कीजिए। If a and b are the roots of x² + ax + b = 0 and b ≠ 0, find the value of a + b. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 1 1 B. 2 2 C. -2 -2 D. -1 -1 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: D Correct Answer: D मूलों के योग से a + b = -a, अतः 2a + b = 0। मूलों के गुणनफल से ab = b। क्योंकि b ≠ 0, इसलिए a = 1। तब 2(1) + b = 0 से b = -2। अतः a + b = 1 - 2 = -1। From the sum of the roots, a + b = -a, so 2a + b = 0. From the product of the roots, ab = b. Since b ≠ 0, a = 1. Then 2(1) + b = 0 gives b = -2. Therefore, a + b = 1 - 2 = -1.
7 Algebra • Quadratic Equations उस द्विघात समीकरण को ज्ञात कीजिए जिसके मूल 4 और -3 हैं। Find the quadratic equation whose roots are 4 and -3. सेव करें Save सेव्ड Saved A. x² - x + 12 = 0 x² - x + 12 = 0 B. x² + x - 12 = 0 x² + x - 12 = 0 C. x² - x - 12 = 0 x² - x - 12 = 0 D. x² + x + 12 = 0 x² + x + 12 = 0 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C यदि मूल 4 और -3 हैं, तो समीकरण (x - 4)(x + 3) = 0 होगा। विस्तार करने पर x² - x - 12 = 0 प्राप्त होता है। If the roots are 4 and -3, the equation is (x - 4)(x + 3) = 0. Expanding gives x² - x - 12 = 0.
8 Algebra • Quadratic Equations यदि x² - 6x + 5 = 0 है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। If x² - 6x + 5 = 0, find the values of x. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 2 या 6 2 or 6 B. 1 या 5 1 or 5 C. 3 या 4 3 or 4 D. 6 या 7 6 or 7 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B x² - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)। अतः (x - 1)(x - 5) = 0 से x = 1 या x = 5। x² - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5). Therefore, (x - 1)(x - 5) = 0 gives x = 1 or x = 5.