1 Algebra • Pair of Linear Equations निम्नलिखित समीकरणों में से कौन-सा समीकरण 7p + 5q = 9 के साथ असंगत है? Which of the following equations is inconsistent with 7p + 5q = 9? A. 21p - 18q = 12 21p - 18q = 12 B. 7p - 5q = 18 7p - 5q = 18 C. 14p - 5q = 18 14p - 5q = 18 D. 14p + 10q = 20 14p + 10q = 20 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: D Correct Answer: D पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर 14p + 10q = 18 प्राप्त होता है। विकल्प D में बायाँ पक्ष समानुपाती है, लेकिन दायाँ पक्ष 20 है। इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर हैं और समीकरण असंगत हैं। Multiplying the first equation by 2 gives 14p + 10q = 18. In option D, the left-hand coefficients are proportional, but the right-hand side is 20. Therefore, the lines are parallel and the equations are inconsistent.
2 Algebra • Pair of Linear Equations यदि 4x + 5y = 7 और 5x + 4y = 8 है, तो x और y के हल की प्रकृति क्या होगी? If 4x + 5y = 7 and 5x + 4y = 8, what is the nature of the solution for x and y? A. अनंत हल होंगे Have infinitely many solutions B. एक अद्वितीय हल होगा Have a unique solution C. कोई हल नहीं होगा Have no solution D. निर्धारित नहीं किया जा सकता Cannot be determined उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B दोनों समीकरणों के गुणांक समानुपाती नहीं हैं। निर्धारक 4 × 4 - 5 × 5 = 16 - 25 = -9 है, जो शून्य नहीं है। इसलिए समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा। The coefficients of the equations are not proportional. Their determinant is 4 × 4 - 5 × 5 = 16 - 25 = -9, which is non-zero. Therefore, the equations have a unique solution.
3 Algebra • Pair of Linear Equations यदि 3x + 4y = 7 और 6x + 8y = 14 है, तो x और y के हल की प्रकृति क्या होगी? If 3x + 4y = 7 and 6x + 8y = 14, what is the nature of the solution for x and y? A. अनंत हल होंगे Have infinitely many solutions B. एक अद्वितीय हल होगा Have a unique solution C. कोई हल नहीं होगा Have no solution D. निर्धारित नहीं किया जा सकता Cannot be determined उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A दूसरा समीकरण पहले समीकरण का ठीक दोगुना है: 2(3x + 4y = 7) से 6x + 8y = 14 मिलता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत हल हैं। The second equation is exactly twice the first: multiplying 3x + 4y = 7 by 2 gives 6x + 8y = 14. Therefore, both represent the same line and have infinitely many solutions.
4 Algebra • Pair of Linear Equations यदि 4x/3 + 2y/5 = 2 और x/3 + y/4 = 3 है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए। If 4x/3 + 2y/5 = 2 and x/3 + y/4 = 3, find the values of x and y. A. x = -11/2 और y = 47/3 x = -11/2 and y = 47/3 B. x = 50/3 और y = -7/2 x = 50/3 and y = -7/2 C. x = -11/2 और y = 37/3 x = -11/2 and y = 37/3 D. x = -7/2 और y = 50/3 x = -7/2 and y = 50/3 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: D Correct Answer: D पहले समीकरण को 15 से गुणा करने पर 20x + 6y = 30 अर्थात 10x + 3y = 15 मिलता है। दूसरे को 12 से गुणा करने पर 4x + 3y = 36 मिलता है। घटाने पर 6x = -21, इसलिए x = -7/2। इसे 4x + 3y = 36 में रखने पर y = 50/3। Multiplying the first equation by 15 gives 20x + 6y = 30, or 10x + 3y = 15. Multiplying the second by 12 gives 4x + 3y = 36. Subtracting gives 6x = -21, so x = -7/2. Substitution then gives y = 50/3.
5 Algebra • Pair of Linear Equations यदि रैखिक समीकरणों 2x + 5y = 6 और kx + 4y = 7 की जोड़ी का एक अद्वितीय हल हो, तो k के लिए सही शर्त क्या है? If the pair of linear equations 2x + 5y = 6 and kx + 4y = 7 has a unique solution, what is the correct condition for k? A. k ≠ 8/5 k ≠ 8/5 B. k ≠ 5/8 k ≠ 5/8 C. k ≠ 2/3 k ≠ 2/3 D. k ≠ 3/2 k ≠ 3/2 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A अद्वितीय हल के लिए गुणांकों का अनुपात समान नहीं होना चाहिए: 2/k ≠ 5/4। इससे 8 ≠ 5k, अर्थात k ≠ 8/5 प्राप्त होता है। For a unique solution, the ratios of the coefficients must not be equal: 2/k ≠ 5/4. This gives 8 ≠ 5k, and therefore k ≠ 8/5.
6 Algebra • Pair of Linear Equations यदि समीकरण 6x - 5y + 11 = 0 और 15x + ky - 9 = 0 का कोई हल नहीं है, तो k का मान ज्ञात कीजिए। If the equations 6x - 5y + 11 = 0 and 15x + ky - 9 = 0 have no solution, find the value of k. A. 12.5 12.5 B. 18 18 C. -12.5 -12.5 D. -18 -18 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C दो रैखिक समीकरणों का कोई हल न होने के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होना चाहिए। अतः 6/15 = -5/k। इससे 6k = -75 और k = -12.5 प्राप्त होता है। For two linear equations to have no solution, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂. Thus, 6/15 = -5/k, giving 6k = -75 and k = -12.5.