21 Algebra • Quadratic Equations यदि ax² + bx + c = 0 के मूल वास्तविक और अपरिमेय हों, तो इसका विविक्तकर कैसा होना चाहिए? If ax² + bx + c = 0 has real and irrational roots, what condition should its discriminant satisfy? सेव करें Save सेव्ड Saved A. शून्य से अधिक और पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए Greater than zero and not a perfect square B. शून्य से अधिक और पूर्ण वर्ग होना चाहिए Greater than zero and a perfect square C. शून्य से कम और पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए Less than zero and not a perfect square D. शून्य से कम और पूर्ण वर्ग होना चाहिए Less than zero and a perfect square उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर D = b² - 4ac धनात्मक होना चाहिए। मूलों को अपरिमेय होने के लिए √D अपरिमेय होना चाहिए, इसलिए D पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। For real and distinct roots, the discriminant D = b² - 4ac must be positive. For the roots to be irrational, √D must be irrational, so D must not be a perfect square.
22 Algebra • Quadratic Equations यदि a और b समीकरण x² + ax + b = 0 के मूल हैं और b ≠ 0 है, तो a + b का मान ज्ञात कीजिए। If a and b are the roots of x² + ax + b = 0 and b ≠ 0, find the value of a + b. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 1 1 B. 2 2 C. -2 -2 D. -1 -1 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: D Correct Answer: D मूलों के योग से a + b = -a, अतः 2a + b = 0। मूलों के गुणनफल से ab = b। क्योंकि b ≠ 0, इसलिए a = 1। तब 2(1) + b = 0 से b = -2। अतः a + b = 1 - 2 = -1। From the sum of the roots, a + b = -a, so 2a + b = 0. From the product of the roots, ab = b. Since b ≠ 0, a = 1. Then 2(1) + b = 0 gives b = -2. Therefore, a + b = 1 - 2 = -1.
23 Algebra • Sequences & Series V मार्च महीने के पहले दिन ₹4, दूसरे दिन ₹6, तीसरे दिन ₹8 बचाता है और इसी प्रकार प्रतिदिन ₹2 अधिक बचाता है। मार्च के 31 दिनों में उसकी कुल बचत कितनी होगी? V saves INR 4 on the first day of March, INR 6 on the second day, INR 8 on the third day and continues to save INR 2 more each day. Find the total savings during the 31 days of March. सेव करें Save सेव्ड Saved A. ₹1054 INR 1054 B. ₹1064 INR 1064 C. ₹1154 INR 1154 D. ₹1014 INR 1014 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A यह समानांतर श्रेणी है जिसमें a = 4, d = 2 और n = 31 है। योग = n/2[2a + (n-1)d] = 31/2[8 + 30 × 2] = 31/2 × 68 = ₹1054। This is an arithmetic progression with a = 4, d = 2 and n = 31. Its sum is n/2[2a + (n-1)d] = 31/2[8 + 30 × 2] = 31/2 × 68 = INR 1054.
24 Algebra • Linear Equations यदि रैखिक समीकरणों 2x + 5y = 6 और kx + 4y = 7 की जोड़ी का एक अद्वितीय हल हो, तो k के लिए सही शर्त क्या है? If the pair of linear equations 2x + 5y = 6 and kx + 4y = 7 has a unique solution, what is the correct condition for k? सेव करें Save सेव्ड Saved A. k ≠ 8/5 k ≠ 8/5 B. k ≠ 5/8 k ≠ 5/8 C. k ≠ 2/3 k ≠ 2/3 D. k ≠ 3/2 k ≠ 3/2 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A अद्वितीय हल के लिए गुणांकों का अनुपात समान नहीं होना चाहिए: 2/k ≠ 5/4। इससे 8 ≠ 5k, अर्थात k ≠ 8/5 प्राप्त होता है। For a unique solution, the ratios of the coefficients must not be equal: 2/k ≠ 5/4. This gives 8 ≠ 5k, and therefore k ≠ 8/5.
25 Algebra • Quadratic Equations उस द्विघात समीकरण को ज्ञात कीजिए जिसके मूल 4 और -3 हैं। Find the quadratic equation whose roots are 4 and -3. सेव करें Save सेव्ड Saved A. x² - x + 12 = 0 x² - x + 12 = 0 B. x² + x - 12 = 0 x² + x - 12 = 0 C. x² - x - 12 = 0 x² - x - 12 = 0 D. x² + x + 12 = 0 x² + x + 12 = 0 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C यदि मूल 4 और -3 हैं, तो समीकरण (x - 4)(x + 3) = 0 होगा। विस्तार करने पर x² - x - 12 = 0 प्राप्त होता है। If the roots are 4 and -3, the equation is (x - 4)(x + 3) = 0. Expanding gives x² - x - 12 = 0.
26 Algebra • Quadratic Equations यदि x² - 6x + 5 = 0 है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। If x² - 6x + 5 = 0, find the values of x. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 2 या 6 2 or 6 B. 1 या 5 1 or 5 C. 3 या 4 3 or 4 D. 6 या 7 6 or 7 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B x² - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)। अतः (x - 1)(x - 5) = 0 से x = 1 या x = 5। x² - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5). Therefore, (x - 1)(x - 5) = 0 gives x = 1 or x = 5.
27 Algebra • Polynomials यदि h(x) = 4x³ - 2x² + 6x - 4 को (x - 3) से विभाजित किया जाए, तो शेषफल ज्ञात कीजिए। Find the remainder when h(x) = 4x³ - 2x² + 6x - 4 is divided by (x - 3). सेव करें Save सेव्ड Saved A. 100 100 B. 102 102 C. 104 104 D. 106 106 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C शेषफल प्रमेय के अनुसार शेषफल h(3) होगा। h(3) = 4(3³) - 2(3²) + 6(3) - 4 = 108 - 18 + 18 - 4 = 104। By the Remainder Theorem, the remainder is h(3). Thus, h(3) = 4(3³) - 2(3²) + 6(3) - 4 = 108 - 18 + 18 - 4 = 104.
28 Algebra • Linear Equations एक कक्षा में 120 विद्यार्थी हैं। प्रत्येक लड़की ने ₹2 और प्रत्येक लड़के ने ₹3 का योगदान दिया। कुल ₹290 एकत्र हुए। कक्षा में लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए। There are 120 students in a class. Each girl contributes INR 2 and each boy contributes INR 3. The total collection is INR 290. Find the number of girls. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 40 40 B. 50 50 C. 60 60 D. 70 70 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: D Correct Answer: D यदि लड़कियों की संख्या g है, तो लड़कों की संख्या 120 - g होगी। इसलिए 2g + 3(120 - g) = 290। इससे 2g + 360 - 3g = 290 और g = 70 प्राप्त होता है। Let the number of girls be g. Then the number of boys is 120 - g. Therefore, 2g + 3(120 - g) = 290. This gives 2g + 360 - 3g = 290, and hence g = 70.
29 Algebra • Sequences & Series एक क्रिकेटर पहले ओवर में 3 रन, दूसरे में 4 रन, तीसरे में 5 रन बनाता है और प्रत्येक अगले ओवर में पिछले ओवर से एक रन अधिक बनाता है। बिना आउट हुए 50 ओवरों में वह कुल कितने रन बनाएगा? A cricketer scores 3 runs in the first over, 4 in the second, 5 in the third and one more run in every subsequent over. How many runs will he score in 50 overs without getting out? सेव करें Save सेव्ड Saved A. 1375 1375 B. 1280 1280 C. 1195 1195 D. 1455 1455 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A यह समानांतर श्रेणी है जिसमें a = 3, d = 1 और n = 50 है। अंतिम पद = 3 + 49 = 52। कुल योग = 50/2 × (3 + 52) = 25 × 55 = 1375 रन। This is an arithmetic progression with a = 3, d = 1 and n = 50. The last term is 3 + 49 = 52. Therefore, the total is 50/2 × (3 + 52) = 25 × 55 = 1375 runs.
30 Algebra • Algebraic Expressions & Simplification यदि a और b शून्येतर संख्याएँ हैं, तो (a + b)⁻¹(a⁻¹ + b⁻¹) का मान ज्ञात कीजिए। If a and b are non-zero numbers, find the value of (a + b)⁻¹(a⁻¹ + b⁻¹). सेव करें Save सेव्ड Saved A. ab ab B. 1/ab 1/ab C. a + b a + b D. 1/(a + b) 1/(a + b) उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B (a + b)⁻¹ = 1/(a + b) तथा a⁻¹ + b⁻¹ = 1/a + 1/b = (a + b)/ab। अतः दोनों का गुणनफल 1/ab होगा। We have (a + b)⁻¹ = 1/(a + b) and a⁻¹ + b⁻¹ = 1/a + 1/b = (a + b)/ab. Their product is therefore 1/ab.