अध्याय 6 : घन एवं घनमूल
अध्याय में शामिल विषय:
6.1 Cubes एवं Perfect Cubes — घन एवं पूर्ण घन
6.2 Cube Roots — अभाज्य गुणनखंड, भिन्न एवं दशमलव
6.3 Perfect-Cube Formation एवं Cube-Root Shortcuts
6.4 घन एवं घनमूल के मिश्रित प्रश्न
Quick Revision एवं Practice MCQs
6.1.1 किसी Number का Cube
किसी संख्या को उसी संख्या से तीन बार गुणा करने पर प्राप्त परिणाम उसका घन अर्थात Cube कहलाता है।
नियम:
a3 = a × a × a
उदाहरण:
4³ = 4 × 4 × 4 = 64
(−4)³ = (−4) × (−4) × (−4) = −64
Exam Trap:
a³ का अर्थ 3a नहीं है। उदाहरण: 5³ = 125, जबकि 3 × 5 = 15।
6.1.2 Perfect Cube अर्थात पूर्ण घन
जो पूर्णांक किसी पूर्णांक के घन के रूप में लिखा जा सकता है, वह पूर्ण घन कहलाता है।
उदाहरण:
0 = 0³; 1 = 1³; 8 = 2³; 27 = 3³; −125 = (−5)³।
ऋणात्मक पूर्णांक भी पूर्ण घन हो सकते हैं। इसके विपरीत, पूर्णांकों के वर्ग ऋणात्मक नहीं होते हैं।
6.1.3 1 से 30 तक Important Cubes
| संख्या | घन | संख्या | घन | संख्या | घन |
|---|
| 1 | 1 | 11 | 1331 | 21 | 9261 |
| 2 | 8 | 12 | 1728 | 22 | 10648 |
| 3 | 27 | 13 | 2197 | 23 | 12167 |
| 4 | 64 | 14 | 2744 | 24 | 13824 |
| 5 | 125 | 15 | 3375 | 25 | 15625 |
| 6 | 216 | 16 | 4096 | 26 | 17576 |
| 7 | 343 | 17 | 4913 | 27 | 19683 |
| 8 | 512 | 18 | 5832 | 28 | 21952 |
| 9 | 729 | 19 | 6859 | 29 | 24389 |
| 10 | 1000 | 20 | 8000 | 30 | 27000 |
6.1.4 Sign, सम-विषम एवं आकार संबंधी गुण
• धनात्मक संख्या का घन धनात्मक होता है।
• ऋणात्मक संख्या का घन ऋणात्मक होता है।
• सम पूर्णांक का घन सम होता है।
• विषम पूर्णांक का घन विषम होता है।
• यदि a > 1 है, तो a³ > a।
• यदि 0 < a < 1 है, तो a³ < a।
उदाहरण:
(0.5)³ = 0.125, जो 0.5 से छोटा है।
Exam Trap:
किसी संख्या का घन करने पर उसका मान हमेशा बढ़ता नहीं है।
6.1.5 Cube का Unit-Digit Pattern
| संख्या का अंतिम अंक | घन का अंतिम अंक | पूर्ण घन का अंतिम अंक | पूर्णांक घनमूल का अंतिम अंक |
|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 8 | 8 | 2 |
| 3 | 7 | 7 | 3 |
| 4 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 6 | 6 |
| 7 | 3 | 3 | 7 |
| 8 | 2 | 2 | 8 |
| 9 | 9 | 9 | 9 |
उदाहरण:
247³ का इकाई अंक 3 है, क्योंकि 7³ = 343 का अंतिम अंक 3 है।
महत्वपूर्ण:
पूर्ण घन का अंतिम अंक कोई भी अंक हो सकता है। केवल अंतिम अंक देखकर किसी संख्या का पूर्ण घन होना सिद्ध नहीं होता है।
6.1.6 Prime Factorisation द्वारा Perfect-Cube Test
कोई धनात्मक पूर्णांक पूर्ण घन तभी होता है, जब उसके अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक घातांक 3 से विभाज्य हो।
उदाहरण:
1728 = 2⁶ × 3³ = (2² × 3)³ = 12³।
दोनों घातांक 3 से विभाज्य हैं, इसलिए 1728 पूर्ण घन है।
432 = 2⁴ × 3³ पूर्ण घन नहीं है, क्योंकि 4, 3 से विभाज्य नहीं है।
0 और 1 भी पूर्ण घन हैं; इन्हें सीधे 0³ तथा 1³ के रूप में पहचानें।
6.1.7 Trailing Zeros अर्थात अंतिम शून्य
यदि किसी धनात्मक पूर्णांक के अंत में ठीक k शून्य हैं, तो उसके घन के अंत में ठीक 3k शून्य होते हैं।
20³ = 8000: एक अंतिम शून्य से तीन शून्य।
100³ = 1000000: दो अंतिम शून्यों से छह शून्य।
धनात्मक पूर्ण घन में अंतिम शून्यों की संख्या 3 का गुणज होती है, लेकिन केवल यह शर्त पर्याप्त नहीं है।
2000 के अंत में तीन शून्य हैं, फिर भी यह पूर्ण घन नहीं है।
6.1.8 जो संख्या Perfect Square एवं Perfect Cube दोनों हो
कोई धनात्मक पूर्णांक पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन दोनों तभी होता है, जब वह किसी धनात्मक पूर्णांक की छठी घात हो।
64 = 8² = 4³ = 2⁶।
729 = 27² = 9³ = 3⁶।
6.2.1 Cube Root अर्थात घनमूल
N का वास्तविक घनमूल वह वास्तविक संख्या है, जिसका घन N होता है।
यदि a³ = N है, तो ∛N = a।
∛216 = 6; ∛(−216) = −6; ∛0 = 0।
Exam Trap:
∛64 = 4 होता है, ±4 नहीं। समीकरण x³ = 64 का केवल एक वास्तविक हल है: x = 4।
6.2.2 Prime Factorisation Method
समान अभाज्य गुणनखंडों के तीन-तीन के समूह बनाएँ। प्रत्येक समूह से एक गुणनखंड लेकर उनका गुणनफल ज्ञात करें।
उदाहरण: ∛13824 ज्ञात करें।
13824 = 2⁹ × 3³।
∛13824 = 2³ × 3 = 24।
Exponent Rule:
∛(p³ᵃ × q³ᵇ) = pᵃ × qᵇ।
6.2.3 Fraction का Cube Root
वास्तविक a तथा b के लिए, जहाँ b ≠ 0:
∛(a/b) = ∛a / ∛b।
उदाहरण:
∛(343/512) = 7/8।
∛(−125/216) = −5/6।
Mixed Fraction को पहले Improper Fraction में बदलें:
∛(3 3/8) = ∛(27/8) = 3/2।
6.2.4 Decimal का Cube Root
सांत दशमलव को ऐसी भिन्न में बदलें, जिसके हर में 10 की घात हो।
उदाहरण:
∛0.008 = ∛(8/1000) = 2/10 = 0.2।
∛0.000008 = ∛(8/1000000) = 2/100 = 0.02।
∛15.625 = ∛(15625/1000) = 25/10 = 2.5।
Scaling:
∛(1000N) = 10∛N।
∛(N/1000) = ∛N/10।
6.2.5 Product, Quotient एवं Inverse Rules
वास्तविक a तथा b के लिए:
∛(ab) = ∛a × ∛b।
∛(a³) = a।
(∛a)³ = a।
b ≠ 0 होने पर: ∛(a/b) = ∛a / ∛b।
Addition पर Cube Root सामान्यतः distribute नहीं होता:
∛(8 + 27) ≠ ∛8 + ∛27।
दाईं ओर का मान 5 है, लेकिन 5³ = 125 होता है, 35 नहीं।
6.3.1 Perfect Cube के लिए Least Multiplier
प्रत्येक अभाज्य घातांक में न्यूनतम आवश्यक वृद्धि करके उसे 3 का गुणज बनाएँ।
घातांक को 3 से भाग देने पर शेषफल:
0 → कोई वृद्धि नहीं; 1 → घातांक में 2 जोड़ें; 2 → घातांक में 1 जोड़ें।
उदाहरण: 72 को किस न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक से गुणा करें?
72 = 2³ × 3²।
3 का एक और गुणनखंड चाहिए।
Least Multiplier = 3।
72 × 3 = 216 = 6³।
उदाहरण: 360 के लिए।
360 = 2³ × 3² × 5।
आवश्यक गुणक = 3 × 5² = 75।
360 × 75 = 27000 = 30³।
6.3.2 Perfect Cube के लिए Least Divisor
प्रत्येक अभाज्य घातांक को 3 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के बराबर घातांक हटाएँ।
उदाहरण: 864 को किस न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक से भाग दें?
864 = 2⁵ × 3³।
2 का घातांक 3 करने के लिए 2² हटाएँ।
Least Divisor = 4।
864 ÷ 4 = 216 = 6³।
Least Multiplier और Least Divisor समान होना आवश्यक नहीं है।
72 के लिए Least Multiplier = 3, लेकिन Least Divisor = 9।
6.3.3 कई Numbers से Divisible Least Perfect Cube
पहले दिए गए numbers का LCM ज्ञात करें। फिर प्रत्येक अभाज्य घातांक को अगले 3 के गुणज तक बढ़ाएँ। जो घातांक पहले से 3 का गुणज है, उसे न बदलें।
उदाहरण: 12, 18 एवं 30 से विभाज्य न्यूनतम धनात्मक पूर्ण घन।
LCM = 180 = 2² × 3² × 5।
आवश्यक पूर्ण घन = 2³ × 3³ × 5³ = 27000।
6.3.4 Least Addition एवं Subtraction
Least Addition = अगला पूर्ण घन − दी गई संख्या।
Least Subtraction = दी गई संख्या − पिछला पूर्ण घन।
उदाहरण: 200 के लिए।
5³ = 125 और 6³ = 216।
Least Addition = 216 − 200 = 16।
Least Subtraction = 200 − 125 = 75।
यदि संख्या पहले से पूर्ण घन है, तो न्यूनतम गैर-ऋणात्मक जोड़ या घटाव 0 होगा।
6.3.5 Known Perfect Cubes के लिए Cube-Root Shortcut
यह विधि ज्ञात धनात्मक पूर्ण घन के लिए है, जिसका पूर्णांक घनमूल 10 से 99 के बीच हो।
1. दाईं ओर के अंतिम तीन अंक अलग करें।
2. बाएँ समूह से छोटा या बराबर सबसे बड़ा घन खोजें। उसका घनमूल tens digit देता है।
3. मूल संख्या के अंतिम अंक से घनमूल का units digit ज्ञात करें।
उदाहरण: ∛389017 ज्ञात करें।
समूह: 389 | 017।
7³ = 343 ≤ 389 < 512 = 8³, इसलिए tens digit = 7।
मूल संख्या का अंतिम अंक 7 है, इसलिए root का अंतिम अंक 3।
घनमूल = 73।
जाँच: 73³ = 389017।
सीमा:
यह विधि मानती है कि संख्या पूर्ण घन है। किसी भी संख्या पर इसे लागू करके पूर्ण घन होना सिद्ध नहीं कर सकते।
1001 पर केवल digit steps लगाने से 10 का अनुमान हो सकता है, लेकिन 10³ = 1000 है।
6.3.6 Integer Cube Root में Digits की संख्या
यदि धनात्मक पूर्ण घन में d अंक हैं, तो उसके पूर्णांक घनमूल में ceil(d/3) अंक होते हैं।
अर्थात 3n−2, 3n−1 या 3n अंकों वाले पूर्ण घन का पूर्णांक घनमूल n अंकों का होता है।
512 में 3 अंक → ∛512 = 8 में 1 अंक।
1728 में 4 अंक → ∛1728 = 12 में 2 अंक।
389017 में 6 अंक → ∛389017 = 73 में 2 अंक।
6.4.1 उपयोगी Cube Identities
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³।
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³।
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)।
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)।
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b)।
उदाहरण:
यदि a + b = 7 और ab = 10:
a³ + b³ = 7³ − 3 × 10 × 7 = 133।
6.4.2 Consecutive Cubes एवं Sum of Cubes
(n + 1)³ − n³ = 3n² + 3n + 1।
1³ + 2³ + … + n³ = [n(n + 1)/2]²।
उदाहरण:
6³ − 5³ = 3 × 25 + 15 + 1 = 91।
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 15² = 225।
6.4.3 BODMAS एवं Mixed Expressions
उदाहरण:
∛1728 + 3³ ÷ 9 − ∛0.008
= 12 + 27 ÷ 9 − 0.2
= 12 + 3 − 0.2
= 14.8।
सामान्य जोड़-घटाव से पहले powers एवं roots ज्ञात करें। Division और multiplication की priority समान है; इन्हें बाएँ से दाएँ हल करें। Addition और subtraction पर भी यही नियम लागू होता है।
6.4.4 Equations एवं Comparison
Equation:
यदि x³ = −3375, तो x = −15।
Comparison:
Cube तथा वास्तविक cube-root functions strictly increasing होते हैं।
चूँकि −9 < −8, इसलिए ∛(−9) < ∛(−8)।
6.4.5 Greatest एवं Smallest n-Digit Perfect Cubes
आवश्यक अंकों वाली सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या के आसपास के पूर्णांक घनों की तुलना करें।
सबसे छोटा चार अंकों का पूर्ण घन:
9³ = 729; 10³ = 1000 → 1000।
सबसे बड़ा चार अंकों का पूर्ण घन:
21³ = 9261; 22³ = 10648 → 9261।
6.4.6 Geometrical Applications
घन का आयतन = भुजा³।
घन की भुजा = ∛आयतन।
उदाहरण:
किसी घन का आयतन 2744 सेमी³ है।
भुजा = ∛2744 = 14 सेमी।
भुजा दोगुनी करने पर आयतन 2³ = 8 गुना हो जाता है।
Common Exam Traps
• ∛64 = ±4 लिखना।
• a³ को 3a समझना।
• हर संख्या के घन को मूल संख्या से बड़ा मानना।
• केवल इकाई अंक देखकर पूर्ण घन घोषित करना।
• Least Multiplier और Least Divisor को समान मानना।
• Perfect-cube condition की पुष्टि किए बिना two-digit shortcut लगाना।
• ∛(a + b) = ∛a + ∛b लिखना।
• ऋणात्मक चिह्न भूलना या decimal point गलत लगाना।
Quick Revision
• पूर्ण घन के अभाज्य घातांक 3 के गुणज होते हैं।
• प्रत्येक वास्तविक a के लिए ∛(a³) = a।
• ऋणात्मक संख्या का वास्तविक घनमूल ऋणात्मक होता है।
• Cube-root digit grouping में तीन-तीन अंकों के समूह बनते हैं।
• Multiplier से prime-factor triples पूरे करते हैं; divisor से अधूरे triples हटाते हैं।
• ∛(1000N) = 10∛N।
• धनात्मक पूर्णांक के वर्ग और घन दोनों होने पर वह छठी घात होता है।
• भुजा के scale factor का घन, आयतन का scale factor देता है।
Practice MCQs
ये मौलिक अभ्यास प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं हैं।
Practice MCQ
प्रश्न 1. 247³ का इकाई अंक ज्ञात करें।
A. 1
B. 3
C. 7
D. 9
सही उत्तर: B. 3
अंतिम अंक 7 है और 7³ = 343 का अंतिम अंक 3 है।
Practice MCQ
प्रश्न 2. 360 को किस न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक से गुणा करने पर पूर्ण घन मिलेगा?
A. 15
B. 25
C. 45
D. 75
सही उत्तर: D. 75
360 = 2³ × 3² × 5। आवश्यक गुणक 3 × 5² = 75 है। परिणाम 30³ होगा।
Practice MCQ
प्रश्न 3. 864 को किस न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक से भाग देने पर पूर्ण घन मिलेगा?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
सही उत्तर: A. 4
864 = 2⁵ × 3³। 2² = 4 से भाग देने पर 216 = 6³ मिलता है।
Practice MCQ
प्रश्न 4. ∛(−343/512) ज्ञात करें।
A. 7/8
B. −8/7
C. −7/8
D. 8/7
सही उत्तर: C. −7/8
∛(−343) = −7 और ∛512 = 8।
Practice MCQ
प्रश्न 5. ∛0.000216 ज्ञात करें।
A. 0.006
B. 0.06
C. 0.6
D. 6
सही उत्तर: B. 0.06
0.000216 = 216/1000000। घनमूल = 6/100 = 0.06।
Practice MCQ
प्रश्न 6. ∛389017 ज्ञात करें।
A. 63
B. 67
C. 77
D. 73
सही उत्तर: D. 73
389 | 017 में बायाँ समूह tens digit 7 देता है। अंतिम अंक 7 होने से root का units digit 3 है। जाँच: 73³ = 389017।
Practice MCQ
प्रश्न 7. 12, 18 एवं 30 से विभाज्य न्यूनतम धनात्मक पूर्ण घन कौन-सा है?
A. 27000
B. 9000
C. 5400
D. 1800
सही उत्तर: A. 27000
LCM = 180 = 2² × 3² × 5। प्रत्येक घातांक को 3 का गुणज बनाने पर 2³ × 3³ × 5³ = 27000 मिलता है।
Practice MCQ
प्रश्न 8. यदि a + b = 7 एवं ab = 10 है, तो a³ + b³ ज्ञात करें।
A. 123
B. 143
C. 133
D. 153
सही उत्तर: C. 133
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 343 − 210 = 133।
Practice MCQ
प्रश्न 9. सबसे बड़ा चार अंकों का पूर्ण घन कौन-सा है?
A. 8000
B. 9261
C. 9999
D. 10648
सही उत्तर: B. 9261
21³ = 9261, जबकि 22³ = 10648 पाँच अंकों की संख्या है।
Practice MCQ
प्रश्न 10. ∛1728 + 3³ ÷ 9 − ∛0.008 ज्ञात करें।
A. 12.8
B. 13.8
C. 15.2
D. 14.8
सही उत्तर: D. 14.8
12 + 27 ÷ 9 − 0.2 = 12 + 3 − 0.2 = 14.8।