1 Trigonometry • Trigonometric Identities [(1 - cot θ) ÷ (1 - tan θ)]² + 1 का मान क्या होगा? What is the value of [(1 - cot θ) ÷ (1 - tan θ)]² + 1? A. cos² θ cos² θ B. sin² θ sin² θ C. tan² θ tan² θ D. cosec² θ cosec² θ उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: D Correct Answer: D यदि tan θ = t, तो (1 - cot θ)/(1 - tan θ) = (1 - 1/t)/(1 - t) = -1/t = -cot θ। अतः इसका वर्ग करके 1 जोड़ने पर cot² θ + 1 = cosec² θ प्राप्त होता है। मूल प्रश्नपत्र में विकल्प D को sec² θ छापा गया था, जिसे गणितीय रूप से सही बनाने के लिए cosec² θ किया गया है। Let tan θ = t. Then (1 - cot θ)/(1 - tan θ) = (1 - 1/t)/(1 - t) = -1/t = -cot θ. Therefore, squaring and adding 1 gives cot² θ + 1 = cosec² θ. Option D was printed as sec² θ in the paper and has been corrected to cosec² θ to make the question mathematically valid.
2 Trigonometry • Trigonometric Identities सरल कीजिए: cosec²(90° - θ) - tan²θ + cos²(90° - θ) - sin²θ Simplify: cosec²(90° - θ) - tan²θ + cos²(90° - θ) - sin²θ A. 1 1 B. 2 2 C. 0 0 D. -2 -2 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A पूरक कोण संबंधों से cosec(90° - θ) = secθ और cos(90° - θ) = sinθ। अतः व्यंजक sec²θ - tan²θ + sin²θ - sin²θ = 1 हो जाता है। Using complementary-angle identities, cosec(90° - θ) = secθ and cos(90° - θ) = sinθ. The expression becomes sec²θ - tan²θ + sin²θ - sin²θ = 1.
3 Trigonometry • Trigonometric Identities सरल कीजिए: sin(x + π) + sin(x - π) Simplify: sin(x + π) + sin(x - π) A. -2 sin x -2 sin x B. 2 sin x 2 sin x C. -sin x -sin x D. 0 0 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A sin(x + π) = -sin x और sin(x - π) = -sin x। अतः दोनों का योग -sin x - sin x = -2 sin x होगा। sin(x + π) = -sin x and sin(x - π) = -sin x. Therefore, their sum is -sin x - sin x = -2 sin x.