Mathematics MCQs for Railway

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Mensuration • Area of Square and Circle

3 सेमी भुजा वाले एक वर्ग के अंदर एक वृत्त इस प्रकार अंकित है कि वह वर्ग की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है। वर्ग के अंदर लेकिन वृत्त के बाहर स्थित छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। A circle is inscribed inside a square of side 3 cm so that it touches all four sides. Find the area inside the square but outside the circle.

A. (36 + 9π)/4 वर्ग सेमी (36 + 9π)/4 square cm B. (40 - 9π)/4 वर्ग सेमी (40 - 9π)/4 square cm C. (36 - 9π)/4 वर्ग सेमी (36 - 9π)/4 square cm D. (40 + 9π)/4 वर्ग सेमी (40 + 9π)/4 square cm

सही उत्तर: C Correct Answer: C

वर्ग का क्षेत्रफल = 3² = 9 वर्ग सेमी। अंकित वृत्त की त्रिज्या = 3/2 सेमी। वृत्त का क्षेत्रफल = π(3/2)² = 9π/4। अतः छायांकित क्षेत्रफल = 9 - 9π/4 = (36 - 9π)/4 वर्ग सेमी।

Area of the square = 3² = 9 square cm. The radius of the inscribed circle is 3/2 cm, so its area is π(3/2)² = 9π/4. Therefore, the shaded area is 9 - 9π/4 = (36 - 9π)/4 square cm.

102

Trigonometry • Heights and Distances

एक टावर के शीर्ष से नाव का अवनमन कोण 30° है। यदि टावर के आधार से नाव की क्षैतिज दूरी 20 मीटर है, तो टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। From the top of a tower, the angle of depression of a boat is 30°. If the horizontal distance of the boat from the foot of the tower is 20 metres, find the height of the tower.

A. 10/√3 मीटर 10/√3 metres B. 20/√3 मीटर 20/√3 metres C. 40/√3 मीटर 40/√3 metres D. 50/√3 मीटर 50/√3 metres

सही उत्तर: B Correct Answer: B

नाव से टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण भी 30° होगा। यदि ऊँचाई h है, तो tan 30° = h/20। अतः 1/√3 = h/20 और h = 20/√3 मीटर।

The angle of elevation from the boat to the top of the tower is also 30°. If the height is h, then tan 30° = h/20. Therefore, 1/√3 = h/20 and h = 20/√3 metres.

103

Trigonometry • Heights and Distances

भूमि पर स्थित बिंदु A से दो टावरों के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° हैं। दोनों टावर बिंदु A की विपरीत दिशाओं में हैं तथा दोनों के आधारों की बिंदु A से दूरी समान है। यदि 45° का कोण बनाने वाले छोटे टावर की ऊँचाई 45 मीटर है, तो लंबे टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। From a point A on the ground, the angles of elevation of two towers are 60° and 45°. The towers are on opposite sides of A and their feet are equally distant from A. If the shorter tower, which subtends 45°, is 45 metres high, find the height of the taller tower.

A. 48√3 मीटर 48√3 metres B. 42√3 मीटर 42√3 metres C. 45√3 मीटर 45√3 metres D. 44√3 मीटर 44√3 metres

सही उत्तर: C Correct Answer: C

छोटे टावर के लिए tan 45° = 45/d, इसलिए d = 45 मीटर। लंबे टावर के लिए tan 60° = h/45। अतः √3 = h/45 और h = 45√3 मीटर।

For the shorter tower, tan 45° = 45/d, giving d = 45 metres. For the taller tower, tan 60° = h/45. Therefore, √3 = h/45 and h = 45√3 metres.

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Mensuration • Pipes and Cross-sectional Area

4 सेमी व्यास वाले तीन पाइपों को एक ऐसे पाइप से बदलना है जो समान गति से उतनी ही मात्रा में पानी प्रवाहित करे। नए पाइप का व्यास कितना होना चाहिए? Three pipes, each having a diameter of 4 cm, are replaced by a single pipe that discharges the same quantity of water at the same speed. What should be the diameter of the new pipe?

A. 2√3 सेमी 2√3 cm B. 3√3 सेमी 3√3 cm C. 4√3 सेमी 4√3 cm D. 2√5 सेमी 2√5 cm

सही उत्तर: C Correct Answer: C

समान गति पर जल-प्रवाह अनुप्रस्थ क्षेत्रफल के समानुपाती होगा। यदि नए पाइप का व्यास D है, तो πD²/4 = 3 × π(4²)/4। अतः D² = 48 और D = 4√3 सेमी।

At the same speed, discharge is proportional to cross-sectional area. If D is the diameter of the new pipe, then πD²/4 = 3 × π(4²)/4. Thus, D² = 48 and D = 4√3 cm.

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Algebra • Arithmetic Progression

S पहले दिन 1 टॉफी, दूसरे दिन 1.5 टॉफी, तीसरे दिन 2 टॉफी और चौथे दिन 2.5 टॉफी खाता है तथा इसी क्रम में प्रतिदिन 0.5 टॉफी अधिक खाता है। जून के 30 दिनों में वह कुल कितनी टॉफियाँ खाएगा? S eats 1 toffee on the first day, 1.5 on the second, 2 on the third and 2.5 on the fourth, increasing the quantity by 0.5 toffee each day. How many toffees will S eat during the 30 days of June?

A. 240.5 टॉफियाँ 240.5 toffees B. 244.5 टॉफियाँ 244.5 toffees C. 247.5 टॉफियाँ 247.5 toffees D. 252.5 टॉफियाँ 252.5 toffees

सही उत्तर: C Correct Answer: C

यह समानांतर श्रेणी है जिसमें a = 1, d = 0.5 और n = 30 है। योग S₃₀ = n/2[2a + (n-1)d] = 30/2[2 + 29 × 0.5] = 15 × 16.5 = 247.5।

This is an arithmetic progression with a = 1, d = 0.5 and n = 30. Its sum is S₃₀ = n/2[2a + (n-1)d] = 30/2[2 + 29 × 0.5] = 15 × 16.5 = 247.5.

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Algebra • Pair of Linear Equations

यदि 4x + 5y = 7 और 5x + 4y = 8 है, तो x और y के हल की प्रकृति क्या होगी? If 4x + 5y = 7 and 5x + 4y = 8, what is the nature of the solution for x and y?

A. अनंत हल होंगे Have infinitely many solutions B. एक अद्वितीय हल होगा Have a unique solution C. कोई हल नहीं होगा Have no solution D. निर्धारित नहीं किया जा सकता Cannot be determined

सही उत्तर: B Correct Answer: B

दोनों समीकरणों के गुणांक समानुपाती नहीं हैं। निर्धारक 4 × 4 - 5 × 5 = 16 - 25 = -9 है, जो शून्य नहीं है। इसलिए समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा।

The coefficients of the equations are not proportional. Their determinant is 4 × 4 - 5 × 5 = 16 - 25 = -9, which is non-zero. Therefore, the equations have a unique solution.

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Arithmetic • Square Roots and Simplification

निम्नलिखित व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: (√0.36 + √0.81) × √0.01 Evaluate the expression: (√0.36 + √0.81) × √0.01

A. 1.2 1.2 B. 1.05 1.05 C. 0.25 0.25 D. 0.15 0.15

सही उत्तर: D Correct Answer: D

√0.36 = 0.6, √0.81 = 0.9 और √0.01 = 0.1। अतः (0.6 + 0.9) × 0.1 = 1.5 × 0.1 = 0.15।

√0.36 = 0.6, √0.81 = 0.9 and √0.01 = 0.1. Therefore, (0.6 + 0.9) × 0.1 = 1.5 × 0.1 = 0.15.

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Mensuration • Area of Four Walls

100 सेमी लंबाई, 60 सेमी चौड़ाई और 40 सेमी ऊँचाई वाले कमरे की चार दीवारों को रंगने की लागत ज्ञात कीजिए, यदि रंगाई की दर ₹5 प्रति वर्ग सेमी है। Find the cost of painting the four walls of a room having length 100 cm, breadth 60 cm and height 40 cm, if the painting rate is INR 5 per square centimetre.

A. ₹64,000 INR 64,000 B. ₹60,000 INR 60,000 C. ₹58,000 INR 58,000 D. ₹68,000 INR 68,000

सही उत्तर: A Correct Answer: A

चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l + b) = 2 × 40 × (100 + 60) = 12,800 वर्ग सेमी। कुल लागत = 12,800 × ₹5 = ₹64,000।

Area of the four walls = 2h(l + b) = 2 × 40 × (100 + 60) = 12,800 square cm. Total cost = 12,800 × INR 5 = INR 64,000.

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Algebra • Pair of Linear Equations

यदि 3x + 4y = 7 और 6x + 8y = 14 है, तो x और y के हल की प्रकृति क्या होगी? If 3x + 4y = 7 and 6x + 8y = 14, what is the nature of the solution for x and y?

A. अनंत हल होंगे Have infinitely many solutions B. एक अद्वितीय हल होगा Have a unique solution C. कोई हल नहीं होगा Have no solution D. निर्धारित नहीं किया जा सकता Cannot be determined

सही उत्तर: A Correct Answer: A

दूसरा समीकरण पहले समीकरण का ठीक दोगुना है: 2(3x + 4y = 7) से 6x + 8y = 14 मिलता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत हल हैं।

The second equation is exactly twice the first: multiplying 3x + 4y = 7 by 2 gives 6x + 8y = 14. Therefore, both represent the same line and have infinitely many solutions.

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Algebra • Nature of Quadratic Roots

निम्नलिखित में से कौन-सा द्विघात समीकरण काल्पनिक मूल प्रदान करेगा? Which of the following quadratic equations will have imaginary roots?

A. 3z² - 4z - 4 = 0 3z² - 4z - 4 = 0 B. 2k² - 2k + 8 = 0 2k² - 2k + 8 = 0 C. n² - 3n + 2 = 0 n² - 3n + 2 = 0 D. j² + 2j - 5 = 0 j² + 2j - 5 = 0

सही उत्तर: B Correct Answer: B

काल्पनिक मूलों के लिए विविक्तकर b² - 4ac ऋणात्मक होना चाहिए। विकल्प B में विविक्तकर = (-2)² - 4 × 2 × 8 = 4 - 64 = -60 है। इसलिए इसके मूल काल्पनिक होंगे।

For imaginary roots, the discriminant b² - 4ac must be negative. For option B, the discriminant is (-2)² - 4 × 2 × 8 = 4 - 64 = -60. Therefore, its roots are imaginary.

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