Mathematics MCQs for JSSC

201

Trigonometry • Trigonometric Identities

[(1 - cot θ) ÷ (1 - tan θ)]² + 1 का मान क्या होगा? What is the value of [(1 - cot θ) ÷ (1 - tan θ)]² + 1?

A. cos² θ cos² θ B. sin² θ sin² θ C. tan² θ tan² θ D. cosec² θ cosec² θ

सही उत्तर: D Correct Answer: D

यदि tan θ = t, तो (1 - cot θ)/(1 - tan θ) = (1 - 1/t)/(1 - t) = -1/t = -cot θ। अतः इसका वर्ग करके 1 जोड़ने पर cot² θ + 1 = cosec² θ प्राप्त होता है। मूल प्रश्नपत्र में विकल्प D को sec² θ छापा गया था, जिसे गणितीय रूप से सही बनाने के लिए cosec² θ किया गया है।

Let tan θ = t. Then (1 - cot θ)/(1 - tan θ) = (1 - 1/t)/(1 - t) = -1/t = -cot θ. Therefore, squaring and adding 1 gives cot² θ + 1 = cosec² θ. Option D was printed as sec² θ in the paper and has been corrected to cosec² θ to make the question mathematically valid.

202

Arithmetic • Mixture and Alligation

60 रुपये प्रति किलोग्राम वाली चीनी को 42 रुपये प्रति किलोग्राम वाली चीनी के साथ किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि मिश्रण को 56 रुपये प्रति किलोग्राम पर बेचने से 12% लाभ हो? In what ratio should sugar costing Rs. 60 per kg be mixed with sugar costing Rs. 42 per kg so that selling the mixture at Rs. 56 per kg gives a profit of 12%?

A. 8 : 9 8 : 9 B. 4 : 5 4 : 5 C. 5 : 7 5 : 7 D. 5 : 6 5 : 6

सही उत्तर: B Correct Answer: B

मिश्रण का क्रय मूल्य = 56 ÷ 1.12 = 50 रुपये प्रति किग्रा। एलिगेशन के अनुसार 60 रुपये वाली चीनी और 42 रुपये वाली चीनी का अनुपात = (50 - 42) : (60 - 50) = 8 : 10 = 4 : 5।

The cost price of the mixture is 56 ÷ 1.12 = Rs. 50 per kg. By alligation, the ratio of Rs. 60 sugar to Rs. 42 sugar is (50 - 42) : (60 - 50) = 8 : 10 = 4 : 5.

203

Arithmetic • Profit and Loss

अन्ना ने अपनी कार बन्ना को 20% लाभ पर बेची और बन्ना ने उसे चन्ना को 10% लाभ पर बेच दिया। चन्ना ने उसे मन्ना को 9.09% हानि पर बेचा। मन्ना ने अपने खरीद मूल्य का 10% खर्च किया और फिर उसे 8.33% लाभ पर अन्ना को बेच दिया। अन्ना की अनुमानित हानि कितनी है? Anna sold his car to Banna at a profit of 20%, and Banna sold it to Channa at a profit of 10%. Channa sold it to Manna at a loss of 9.09%. Manna spent 10% of his purchase price and sold it back to Anna at a profit of 8.33%. What is Anna's approximate loss?

A. 23% 23% B. 29% 29% C. 50% 50% D. 40% 40%

सही उत्तर: D Correct Answer: D

प्रारंभिक मूल्य 100 मानें। क्रमशः विक्रय मूल्य लगभग 120, 132 और 120 होगा। मन्ना का कुल लागत मूल्य 120 + 12 = 132 होगा। 8.33% लाभ पर अन्ना को पुनः विक्रय मूल्य लगभग 143 होगा। अन्ना ने 120 में बेचकर लगभग 143 में वापस खरीदा, इसलिए उसकी हानि लगभग 23 है। इसे मूल लागत 100 के सापेक्ष देखें तो लगभग 43% है, जिसका निकटतम विकल्प 40% है।

Assume the original price is 100. The successive selling prices are approximately 120, 132 and 120. Manna's total cost becomes 120 + 12 = 132. After an 8.33% profit, the resale price to Anna is approximately 143. Anna sold it for 120 and bought it back for about 143. Relative to the original value of 100, the resulting loss is about 43%, whose nearest option is 40%.

204

Mensuration • Cylinder and Cube

एक ठोस लकड़ी के घन से अधिकतम आयतन वाला एक लंब वृत्तीय बेलन काटा जाता है। घन के मूल आयतन का लगभग कितना प्रतिशत पदार्थ व्यर्थ होगा? A right circular cylinder of maximum volume is cut from a solid wooden cube. Approximately what percentage of the original cube's volume is wasted?

A. 21% 21% B. 38% 38% C. 23% 23% D. 12% 12%

सही उत्तर: A Correct Answer: A

यदि घन की भुजा a है, तो अधिकतम बेलन की त्रिज्या a/2 और ऊँचाई a होगी। बेलन का आयतन πa³/4 तथा घन का आयतन a³ है। व्यर्थ प्रतिशत = [1 - π/4] × 100 ≈ 21.46%, जिसका निकटतम पूर्णांक 21% है।

If the side of the cube is a, the maximum cylinder has radius a/2 and height a. Its volume is πa³/4, while the cube's volume is a³. Wasted percentage = [1 - π/4] × 100 ≈ 21.46%, whose nearest integer is 21%.

205

Mensuration • Cone

यदि एक शंकु के आधार की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाती है और नए शंकु का आयतन मूल शंकु के आयतन का तीन गुना है, तो मूल शंकु की ऊँचाई और नए शंकु की ऊँचाई का अनुपात क्या होगा? If the radius of the base of a cone is doubled and the volume of the new cone is three times that of the original cone, what is the ratio of the original cone's height to the new cone's height?

A. 2 : 7 2 : 7 B. 5 : 6 5 : 6 C. 4 : 3 4 : 3 D. 1 : 3 1 : 3

सही उत्तर: C Correct Answer: C

शंकु का आयतन V = (1/3)πr²h होता है। नई त्रिज्या 2r होने पर नया आयतन (1/3)π(2r)²H = 4(1/3)πr²H होगा। इसे मूल आयतन का तीन गुना रखने पर 4H = 3h, अतः h : H = 4 : 3।

The volume of a cone is V = (1/3)πr²h. When the new radius is 2r, the new volume is 4(1/3)πr²H. Since this equals three times the original volume, 4H = 3h. Therefore, h : H = 4 : 3.

206

Arithmetic • Simple Interest

8,400 रुपये की राशि एक निश्चित समय में 8.75% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से 11,046 रुपये हो जाती है। समान दर और समान समय के लिए 9,600 रुपये पर साधारण ब्याज कितना होगा? A sum of Rs. 8,400 amounts to Rs. 11,046 at 8.75% per annum simple interest in a certain time. What will be the simple interest on Rs. 9,600 at the same rate for the same time?

A. 3,012 रुपये Rs. 3,012 B. 3,090 रुपये Rs. 3,090 C. 5,696 रुपये Rs. 5,696 D. 3,024 रुपये Rs. 3,024

सही उत्तर: D Correct Answer: D

8,400 रुपये पर ब्याज = 11,046 - 8,400 = 2,646 रुपये। समान दर और समय पर ब्याज मूलधन के समानुपाती होगा। अतः 9,600 रुपये पर ब्याज = 2,646 × 9,600/8,400 = 3,024 रुपये।

The interest on Rs. 8,400 is 11,046 - 8,400 = Rs. 2,646. At the same rate and for the same time, interest is proportional to the principal. Therefore, interest on Rs. 9,600 = 2,646 × 9,600/8,400 = Rs. 3,024.

207

Number System • HCF and LCM

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 21 है और उनका लघुत्तम समापवर्त्य महत्तम समापवर्तक का 221 गुना है। यदि उनमें से एक संख्या 200 और 300 के बीच है, तो दूसरी संख्या के अंकों का योग क्या है? The HCF of two numbers is 21 and their LCM is 221 times their HCF. If one number lies between 200 and 300, what is the sum of the digits of the other number?

A. 15 15 B. 24 24 C. 07 07 D. 13 13

सही उत्तर: A Correct Answer: A

संख्याएँ 21a और 21b मानें, जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं। तब ab = 221 = 13 × 17। संख्याएँ 21 × 13 = 273 और 21 × 17 = 357 होंगी। 273 संख्या 200 और 300 के बीच है, इसलिए दूसरी संख्या 357 है और उसके अंकों का योग 3 + 5 + 7 = 15 है।

Let the numbers be 21a and 21b, where a and b are coprime. Then ab = 221 = 13 × 17. The numbers are 21 × 13 = 273 and 21 × 17 = 357. Since 273 lies between 200 and 300, the other number is 357, whose digit sum is 3 + 5 + 7 = 15.

208

Geometry • Triangle and Incentre

त्रिभुज PQR में I अंतःकेंद्र है। यदि ∠QIR = 107° है, तो ∠P का मान क्या होगा? In triangle PQR, I is the incentre. If ∠QIR = 107°, what is the measure of ∠P?

A. 31° 31° B. 32° 32° C. 34° 34° D. 33° 33°

सही उत्तर: C Correct Answer: C

त्रिभुज के अंतःकेंद्र के लिए ∠QIR = 90° + (∠P/2) होता है। अतः 107° = 90° + ∠P/2, जिससे ∠P/2 = 17° और ∠P = 34° प्राप्त होता है।

For the incentre of a triangle, ∠QIR = 90° + (∠P/2). Therefore, 107° = 90° + ∠P/2, giving ∠P/2 = 17° and ∠P = 34°.

209

Geometry • Circle and Secants

एक वृत्त में AB और DC दो जीवाएँ हैं। इन्हें बढ़ाने पर वे बाहरी बिंदु P पर मिलती हैं। यदि PC = 5.6 सेमी, PB = 6.3 सेमी और AB = 7.7 सेमी है, तो CD की लंबाई कितनी है? In a circle, AB and DC are two chords. When produced, they meet at an external point P. If PC = 5.6 cm, PB = 6.3 cm and AB = 7.7 cm, what is the length of CD?

A. 9 सेमी 9 cm B. 9.15 सेमी 9.15 cm C. 10.15 सेमी 10.15 cm D. 11.35 सेमी 11.35 cm

सही उत्तर: C Correct Answer: C

बाहरी छेदक प्रमेय के अनुसार PB × PA = PC × PD। यहाँ PA = 6.3 + 7.7 = 14 सेमी। इसलिए 6.3 × 14 = 5.6 × PD, जिससे PD = 15.75 सेमी। अतः CD = PD - PC = 15.75 - 5.6 = 10.15 सेमी।

By the external secant theorem, PB × PA = PC × PD. Here, PA = 6.3 + 7.7 = 14 cm. Thus, 6.3 × 14 = 5.6 × PD, giving PD = 15.75 cm. Therefore, CD = PD - PC = 15.75 - 5.6 = 10.15 cm.

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Trigonometry • Heights and Distances

दो टावर P और Q के पादों के ठीक मध्य स्थित एक बिंदु से उनके शीर्षों के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। P की ऊँचाई और Q की ऊँचाई का अनुपात क्या है? From a point exactly midway between the feet of two towers P and Q, the angles of elevation of their tops are 30° and 60° respectively. What is the ratio of the height of P to the height of Q?

A. 1 : 2 1 : 2 B. 1 : 2√3 1 : 2√3 C. 1 : 3 1 : 3 D. 1 : 3√3 1 : 3√3

सही उत्तर: C Correct Answer: C

मध्य बिंदु से दोनों टावरों की क्षैतिज दूरी समान मान लें। तब ऊँचाइयों का अनुपात tan 30° : tan 60° = (1/√3) : √3 = 1 : 3 होगा।

The horizontal distances of both towers from the midpoint are equal. Therefore, the ratio of their heights is tan 30° : tan 60° = (1/√3) : √3 = 1 : 3.

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