61 Trigonometry • Trigonometric Equations यदि sin 2A = cos(A - 60°) में दोनों कोणों को पूरक मानें, तो A का मान ज्ञात कीजिए। If the angles in sin 2A = cos(A - 60°) are taken as complementary, find the value of A. A. 15° 15° B. 50° 50° C. 45° 45° D. 30° 30° उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B sin θ = cos(90° - θ) के अनुसार sin 2A = cos(90° - 2A)। इसलिए 90° - 2A = A - 60°। इससे 3A = 150° और A = 50° प्राप्त होता है। प्रश्न को एकल उत्तर वाला बनाने के लिए पूरक कोण की शर्त स्पष्ट की गई है। Using sin θ = cos(90° - θ), sin 2A = cos(90° - 2A). Therefore, 90° - 2A = A - 60°, giving 3A = 150° and A = 50°. The complementary-angle condition has been stated explicitly to ensure a unique answer.
62 Geometry • Quadrilaterals एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल 420 वर्ग मीटर है। किसी एक विकर्ण पर सम्मुख शीर्षों से खींचे गए लंबों की लंबाइयाँ 18 मीटर और 12 मीटर हैं। विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए। The area of a quadrilateral is 420 m². The perpendiculars drawn to one diagonal from the opposite vertices are 18 m and 12 m. Find the length of the diagonal. A. 24 मीटर 24 m B. 28 मीटर 28 m C. 26 मीटर 26 m D. 15 मीटर 15 m उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × विकर्ण × दोनों लंबों का योग। अतः 420 = 1/2 × d × (18 + 12) = 15d। इसलिए d = 28 मीटर। Area of the quadrilateral = 1/2 × diagonal × sum of the perpendiculars. Thus, 420 = 1/2 × d × (18 + 12) = 15d, giving d = 28 m.
63 Trigonometry • Trigonometric Ratios यदि sin θ = 8/17 है और θ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, तो cot θ का मान ज्ञात कीजिए। If sin θ = 8/17 and θ lies in the second quadrant, find the value of cot θ. A. 8/15 8/15 B. 15/17 15/17 C. -15/8 -15/8 D. -8/15 -8/15 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C sin θ = 8/17 होने पर समकोण त्रिभुज संबंध से भुजाएँ 8, 15 और 17 होंगी। द्वितीय चतुर्थांश में cos θ ऋणात्मक होता है, इसलिए cos θ = -15/17। अतः cot θ = cos θ/sin θ = -15/8। With sin θ = 8/17, the corresponding sides follow the 8-15-17 triangle. Cosine is negative in the second quadrant, so cos θ = -15/17. Therefore, cot θ = cos θ/sin θ = -15/8.
64 Algebra • Polynomial Division (x³ - 3x² + 4x - 2) को (x - 1) से भाग देने पर भागफल क्या होगा? What is the quotient when (x³ - 3x² + 4x - 2) is divided by (x - 1)? A. x² - 2x - 2 x² - 2x - 2 B. x² + 2x + 2 x² + 2x + 2 C. x² - x + 2 x² - x + 2 D. x² - 2x + 2 x² - 2x + 2 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: D Correct Answer: D बहुपद का गुणनखंड (x - 1)(x² - 2x + 2) है। अतः (x³ - 3x² + 4x - 2) ÷ (x - 1) = x² - 2x + 2 और शेषफल शून्य है। The polynomial factors as (x - 1)(x² - 2x + 2). Therefore, the quotient is x² - 2x + 2, with zero remainder.
65 Geometry • Chords of a Circle 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 12 सेमी लंबी जीवा खींची गई है। केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए। A chord of length 12 cm is drawn in a circle of radius 10 cm. Find the distance of the chord from the centre. A. 6 सेमी 6 cm B. 8 सेमी 8 cm C. 5 सेमी 5 cm D. 10 सेमी 10 cm उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को दो बराबर भागों में बाँटता है। आधी जीवा 6 सेमी होगी। अतः दूरी = √(10² - 6²) = √64 = 8 सेमी। The perpendicular from the centre bisects the chord, so half the chord is 6 cm. Therefore, distance = √(10² - 6²) = √64 = 8 cm.
66 Mensuration • Circle and Square r त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि, x भुजा वाले वर्ग के परिमाप के बराबर है। r:x का अनुपात ज्ञात कीजिए। The circumference of a circle of radius r is equal to the perimeter of a square of side x. Find the ratio r:x. A. 7:11 7:11 B. 7:12 7:12 C. 7:16 7:16 D. 11:7 11:7 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A प्रश्नानुसार 2πr = 4x। इसलिए r/x = 2/π। π = 22/7 रखने पर r/x = 2 × 7/22 = 7/11। अतः अनुपात 7:11 है। Given 2πr = 4x, we obtain r/x = 2/π. Taking π = 22/7 gives r/x = 2 × 7/22 = 7/11. Therefore, the ratio is 7:11.
67 Geometry • Polygons निम्नलिखित में से किस ज्यामितीय आकृति की भुजाओं की संख्या सबसे अधिक है? Which of the following geometrical shapes has the greatest number of sides? A. सप्तभुज Heptagon B. त्रिभुज Triangle C. अष्टभुज Octagon D. वर्ग Square उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C अष्टभुज की 8 भुजाएँ होती हैं। सप्तभुज की 7, वर्ग की 4 और त्रिभुज की 3 भुजाएँ होती हैं। इसलिए अष्टभुज की भुजाएँ सबसे अधिक हैं। An octagon has eight sides, a heptagon has seven, a square has four and a triangle has three. Therefore, the octagon has the greatest number of sides.
68 Trigonometry • Trigonometric Identities सरल कीजिए: sin(x + π) + sin(x - π) Simplify: sin(x + π) + sin(x - π) A. -2 sin x -2 sin x B. 2 sin x 2 sin x C. -sin x -sin x D. 0 0 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A sin(x + π) = -sin x और sin(x - π) = -sin x। अतः दोनों का योग -sin x - sin x = -2 sin x होगा। sin(x + π) = -sin x and sin(x - π) = -sin x. Therefore, their sum is -sin x - sin x = -2 sin x.
69 Geometry • Angles of a Triangle किसी त्रिभुज के कोणों की माप पूर्णांक में है। निम्नलिखित में से कौन-सा अनुपात उसके कोणों का अनुपात नहीं हो सकता? The angle measures of a triangle are integers. Which of the following cannot be the ratio of its angles? A. 2:3:4 2:3:4 B. 2:5:7 2:5:7 C. 3:4:5 3:4:5 D. 4:5:6 4:5:6 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B 2:5:7 के पदों का योग 14 है। प्रत्येक अनुपात इकाई 180/14 = 90/7 होगी, जिससे कोण पूर्णांक नहीं बनेंगे। अन्य विकल्पों में अनुपात के पदों का योग 180 को पूर्णतः विभाजित करता है। The terms of 2:5:7 add to 14. Each ratio unit would be 180/14 = 90/7, which does not produce integer-valued angles. The sums in the other options divide 180 exactly.
70 Algebra • Pair of Linear Equations यदि समीकरण 6x - 5y + 11 = 0 और 15x + ky - 9 = 0 का कोई हल नहीं है, तो k का मान ज्ञात कीजिए। If the equations 6x - 5y + 11 = 0 and 15x + ky - 9 = 0 have no solution, find the value of k. A. 12.5 12.5 B. 18 18 C. -12.5 -12.5 D. -18 -18 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C दो रैखिक समीकरणों का कोई हल न होने के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होना चाहिए। अतः 6/15 = -5/k। इससे 6k = -75 और k = -12.5 प्राप्त होता है। For two linear equations to have no solution, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂. Thus, 6/15 = -5/k, giving 6k = -75 and k = -12.5.