Topic 1.13 : Unit Digit, Cyclicity & Last Two Digits Topic 1.13 : इकाई अंक, चक्रीयता एवं अंतिम दो अंक

Learn Unit Digit, Cyclicity and Last Two Digits for JSSC, SSC, Railway and other competitive examinations. Covers unit-digit cycles of powers, exponent-cycle shortcuts, unit digit of products and sums, powers with very large exponents, factorial-related unit-digit observations, last-two-digit calculations using modulo 100, repeated squaring and important exam-oriented shortcuts with solved examples. JSSC, SSC, Railway एवं अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए इकाई अंक, चक्रीयता एवं अंतिम दो अंकों का अध्ययन करें। इसमें घातों के unit-digit cycles, exponent-cycle shortcuts, गुणनफल एवं योग का इकाई अंक, बहुत बड़ी घातों के अंतिम अंक, factorial से संबंधित unit-digit observations, modulo 100 की सहायता से अंतिम दो अंक, repeated squaring तथा महत्वपूर्ण परीक्षा-उपयोगी शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण शामिल हैं।

Chapter 1 : Number System अध्याय 1 : संख्या पद्धति

Unit Digit, Cyclicity & Last Two Digits

The unit digit of a large power usually repeats in a short cycle. By identifying this cycle, even expressions involving extremely large exponents can often be solved without calculating the full number. Similar modular ideas can be extended to determine the last two digits.

1. What is the Unit Digit?

The unit digit is the rightmost digit of an integer.

Examples:

  • Unit digit of 327 is 7.
  • Unit digit of 12,540 is 0.
  • Unit digit of 98,765 is 5.

2. Why Only the Last Digit of the Base Matters

For finding the unit digit of a positive integral power, only the unit digit of the base matters.

Example: The unit digit of 37n is the same as the unit digit of 7n.

This is because:

37 ≡ 7 (mod 10)

3. Meaning of Cyclicity

As powers of a number increase, their unit digits often repeat after a fixed number of steps. This repeating sequence is called the unit-digit cycle or cyclicity.

4. Numbers with Cycle Length 1

Bases ending in 0, 1, 5 or 6 always retain the same unit digit for every positive integral power.

Base Ends InUnit Digit of Every Positive PowerCycle Length
001
111
551
661

5. Example: Power Ending in 6

Find the unit digit of 126999.

The base ends in 6, and every positive power of a number ending in 6 also ends in 6.

Therefore, the unit digit is 6.

6. Unit-Digit Cycle of 2

Powers of 2 have the unit-digit pattern:

2, 4, 8, 6

Then the pattern repeats.

Hence cycle length = 4.

7. Unit-Digit Cycle of 3

Powers of 3:

3, 9, 7, 1

Cycle length = 4.

8. Unit-Digit Cycle of 4

Powers of 4:

4, 6

Cycle length = 2.

9. Unit-Digit Cycle of 7

Powers of 7:

7, 9, 3, 1

Cycle length = 4.

10. Unit-Digit Cycle of 8

Powers of 8:

8, 4, 2, 6

Cycle length = 4.

11. Unit-Digit Cycle of 9

Powers of 9:

9, 1

Cycle length = 2.

12. Complete Unit-Digit Cycle Table

Unit Digit of BaseCycleCycle Length
001
111
22, 4, 8, 64
33, 9, 7, 14
44, 62
551
661
77, 9, 3, 14
88, 4, 2, 64
99, 12

13. How to Use a Cycle of Length 4

For bases ending in 2, 3, 7 or 8, divide the exponent by 4 and use its remainder.

  • Exponent remainder 1 → first cycle term.
  • Exponent remainder 2 → second cycle term.
  • Exponent remainder 3 → third cycle term.
  • Exponent remainder 0 → fourth cycle term.
Important: When exponent mod 4 = 0, do not use a “zeroth” term. Use the 4th term of the cycle.

14. Example: Unit Digit of 7103

Cycle of 7:

7, 9, 3, 1

Now:

103 ÷ 4 leaves remainder 3

Therefore use the third term of the cycle.

Unit digit = 3.

15. Example: Unit Digit when Exponent Remainder is Zero

Find the unit digit of 21000.

Cycle:

2, 4, 8, 6

1000 is divisible by 4, so use the fourth cycle term.

Unit digit = 6.

16. How to Use a Cycle of Length 2

For bases ending in 4 or 9:

  • Odd exponent → first term.
  • Even exponent → second term.

17. Example: Unit Digit of 457

Cycle of 4:

4, 6

57 is odd.

Therefore, unit digit = 4.

18. Example: Unit Digit of 9202

Cycle of 9:

9, 1

202 is even.

Therefore, unit digit = 1.

19. Large Base with a Simple Unit Digit

Find the unit digit of 123,457222.

Only the last digit 7 matters.

Cycle of 7:

7, 9, 3, 1

222 mod 4 = 2.

Therefore, unit digit = second term = 9.

20. Unit Digit of a Product

To find the unit digit of a product:

  1. Find the unit digit of each factor.
  2. Multiply those unit digits.
  3. Keep only the final unit digit.

21. Example: Product of Powers

Find the unit digit of:

2317 × 1411

2317 has the same unit digit as 317.

17 mod 4 = 1 → unit digit = 3.

1411 has the same unit digit as 411.

Odd exponent → unit digit = 4.

Product unit digit:

3 × 4 = 12

Required unit digit = 2.

22. Unit Digit of a Sum

Find the unit digit of each term separately, add them, and retain only the unit digit.

Example:

221 + 318

221: 21 mod 4 = 1 → unit digit 2.

318: 18 mod 4 = 2 → unit digit 9.

2 + 9 = 11.

Required unit digit = 1.

23. Unit Digit of a Difference

Find the individual unit digits and subtract. If the result is negative, convert it to its corresponding digit modulo 10.

Example:

320 − 711

320 → fourth term = 1.

711: 11 mod 4 = 3 → unit digit 3.

1 − 3 = −2.

Standard unit digit = 8.

24. Product Ending in Zero

If a product contains enough factors to provide both a factor 2 and a factor 5, the product is divisible by 10 and therefore has unit digit 0.

Example: 8 × 15 × 37 has unit digit 0 because 8 × 15 contains a factor 10.

25. Product Containing a Multiple of 10

If any factor itself ends in 0, the entire product ends in 0.

Example:

3712 × 250 × 197

Since 250 ends in 0, the complete product has unit digit 0.

26. Powers Ending in 5

Any positive integral power of a number ending in 5 also ends in 5.

5n ends in 5 for every n ≥ 1.

27. Powers Ending in 6

Any positive integral power of a number ending in 6 also ends in 6.

6n ends in 6 for every n ≥ 1.

28. Unit Digit of a Square

The square of an integer can have only the following unit digits:

0, 1, 4, 5, 6 or 9

Exam Use: A perfect square can never end in 2, 3, 7 or 8.

29. Why Squares Cannot End in 2, 3, 7 or 8

Squaring each possible unit digit 0–9 produces only:

Unit DigitSquare's Unit Digit
00
11
24
39
46
55
66
79
84
91

30. Unit Digit of a Perfect Cube

Unlike perfect squares, perfect cubes may end in any digit from 0 to 9.

In fact, the unit digit of the cube determines the possible unit digit of its integer cube root uniquely.

31. Cube Unit-Digit Mapping

Number Ends InCube Ends In
00
11
28
37
44
55
66
73
82
99

32. Unit Digit of Factorial

For n ≥ 5, n! contains at least one factor 2 and one factor 5, so it contains a factor 10.

Therefore:

Unit digit of n! = 0 for every n ≥ 5

Scope Note: Detailed counting of trailing zeros in factorials is reserved for Topic 1.14.

33. What are the Last Two Digits?

The last two digits of an integer are determined by its remainder upon division by 100.

If:

N ≡ r (mod 100)

then r, written using two digits when necessary, gives the last two digits.

Example: If N ≡ 7 (mod 100), the last two digits are 07.

34. Why Modulo 100 Works

Every integer may be written:

N = 100q + r

with 0 ≤ r < 100.

The term 100q contributes only zeros to the final two positions, so r determines the last two digits.

35. Only the Last Two Digits of the Base Matter

For positive powers modulo 100, a base may first be replaced by its last two digits.

Example:

12,347n ≡ 47n (mod 100)

36. Last Two Digits of a Sum

Add only the last two digits of the terms and reduce modulo 100.

Example: Find the last two digits of 1,247 + 8,986.

47 + 86 = 133

Last two digits = 33.

37. Last Two Digits of a Difference

Subtract the last-two-digit residues and reduce modulo 100.

Example:

4,032 − 1,978

Using last two digits:

32 − 78 = −46 ≡ 54 (mod 100)

Therefore, the difference ends in 54.

38. Last Two Digits of a Product

Multiply only the last two digits and reduce modulo 100.

Example: Find the last two digits of 237 × 146.

37 × 46 = 1702

Therefore, last two digits = 02.

39. Repeated Reduction in Products

For a long product, reduce modulo 100 after each multiplication.

Example:

23 × 47 × 68

23 × 47 = 1081 ≡ 81 (mod 100).

81 × 68 = 5508 ≡ 8 (mod 100).

Therefore, the product ends in 08.

40. Last Two Digits of a Power

To find the last two digits of an:

  1. Reduce a modulo 100.
  2. Compute powers efficiently.
  3. Reduce modulo 100 after every multiplication.

41. Repeated Squaring Method

Repeated squaring is especially useful for large exponents.

Example: Find the last two digits of 710.

72 = 49

74 ≡ 492 = 2401 ≡ 1 (mod 100)

Therefore:

78 ≡ 1

and:

710 = 78 × 72 ≡ 1 × 49 = 49

Last two digits = 49.

42. Last Two Digits when a Power Reaches 01

If some power satisfies:

ak ≡ 1 (mod 100)

then exponents may be reduced using that cycle length k.

Exam Strategy: Search for a short cycle before attempting a very large exponent.

43. Example: Last Two Digits of 7202

We know:

74 ≡ 1 (mod 100)

Now:

202 ≡ 2 (mod 4)

Therefore:

7202 ≡ 72 = 49 (mod 100)

Last two digits = 49.

44. Numbers Ending in 01

Any positive power of a number ending in 01 also ends in 01.

Example:

101500

ends in 01.

45. Numbers Ending in 25

Every positive integral power of a number ending in 25 also ends in 25.

Example:

12537

ends in 25.

46. Numbers Ending in 76

Every positive integral power of a number ending in 76 also ends in 76.

This is because:

762 = 5776 ≡ 76 (mod 100)

Hence further multiplication by 76 continues to give remainder 76 modulo 100.

47. Numbers Ending in 99

Since:

99 ≡ −1 (mod 100)

powers alternate:

  • Odd exponent → last two digits 99.
  • Even exponent → last two digits 01.

48. Example: 2992025

299 ≡ 99 ≡ −1 (mod 100).

2025 is odd.

Therefore:

2992025 ≡ −1 ≡ 99 (mod 100)

Last two digits = 99.

49. Numbers Ending in 50

A number ending in 50 has first power ending in 50, but every power from the second onward ends in 00.

Because:

502 = 2500

and subsequent powers continue to contain the factor 100.

50. Example: 35023

Since exponent 23 ≥ 2 and the base ends in 50:

Last two digits = 00.

51. Numbers Ending in 00

Every positive power of a number ending in 00 also ends in 00.

52. Last Two Digits of Squares

To find the last two digits of N2, it is enough to square the last two digits of N and reduce modulo 100.

Example: Last two digits of 3472:

472 = 2209

Therefore, last two digits = 09.

53. Last Two Digits of a Product of Powers

Reduce each power modulo 100, multiply the resulting residues and reduce again.

Example: Find the last two digits of 76 × 34.

74 ≡ 1, so:

76 ≡ 72 = 49

34 = 81.

Therefore:

49 × 81 = 3969

Last two digits = 69.

54. Last Two Digits of a Sum of Powers

Find each power modulo 100 and then add.

Example: Find the last two digits of 710 + 34.

710 ≡ 49 (mod 100).

34 = 81.

Therefore:

49 + 81 = 130

Last two digits = 30.

55. A Useful Short Cycle: Powers of 24

Modulo 100:

241 ≡ 24
242 ≡ 76
243 ≡ 24
244 ≡ 76

Therefore, the last two digits alternate:

24, 76, 24, 76, ...

  • Odd exponent → 24.
  • Even exponent → 76.

56. Example: Last Two Digits of 124501

124 ≡ 24 (mod 100).

The exponent 501 is odd.

Using the 24, 76 cycle:

Last two digits = 24.

57. Do Not Confuse Unit-Digit Cycle with Last-Two-Digit Cycle

A number may have a short unit-digit cycle but a different cycle modulo 100.

Important: For the unit digit work modulo 10. For the last two digits work modulo 100. Do not automatically reuse the mod-10 cycle.

58. Unit Digit versus Last Two Digits

Question Asks ForUseMain Modulus
Unit digit / last digitUnit-digit cycle10
Last two digitsModulo-100 calculation/cycle100

59. Solved Example: Large Unit-Digit Power

Find the unit digit of 82027.

Cycle of 8:

8, 4, 2, 6

2027 mod 4 = 3.

Third cycle term = 2.

60. Solved Example: Unit Digit of Mixed Expression

Find the unit digit of:

751 + 842 + 917

751: 51 mod 4 = 3 → unit digit 3.

842: 42 mod 4 = 2 → unit digit 4.

917: odd exponent → unit digit 9.

Sum:

3 + 4 + 9 = 16

Required unit digit = 6.

61. Solved Example: Last Two Digits

Find the last two digits of 99100 + 257.

99100: even exponent → last two digits 01.

257 → last two digits 25.

Therefore:

01 + 25 = 26

Last two digits = 26.

62. Common Exam Traps

Trap 1: For unit-digit questions, only the unit digit of the base matters.
Trap 2: Bases ending in 2, 3, 7 and 8 have a unit-digit cycle of length 4.
Trap 3: When exponent mod 4 = 0, use the fourth term of a four-term cycle.
Trap 4: Bases ending in 4 and 9 have cycle length 2; exponent parity is enough.
Trap 5: Bases ending in 0, 1, 5 or 6 have cycle length 1.
Trap 6: For a product, find the final digit of each factor before multiplying.
Trap 7: A perfect square cannot end in 2, 3, 7 or 8.
Trap 8: For n ≥ 5, n! has unit digit 0, but detailed trailing-zero counting is a separate topic.
Trap 9: Last-two-digit questions require modulo 100, not merely the ordinary unit-digit cycle.
Trap 10: When a remainder modulo 100 is a single digit, write a leading zero if the question asks for the last two digits; e.g. remainder 7 means last two digits 07.

63. Quick Revision

  • For unit digit, reduce the base modulo 10.
  • 0, 1, 5 and 6 have unit-digit cycle length 1.
  • 4 and 9 have unit-digit cycle length 2.
  • 2, 3, 7 and 8 have unit-digit cycle length 4.
  • Cycle of 2: 2, 4, 8, 6.
  • Cycle of 3: 3, 9, 7, 1.
  • Cycle of 4: 4, 6.
  • Cycle of 7: 7, 9, 3, 1.
  • Cycle of 8: 8, 4, 2, 6.
  • Cycle of 9: 9, 1.
  • For a four-term cycle, exponent remainder 0 means use the fourth term.
  • For 4 and 9, exponent parity determines the unit digit.
  • Unit digit of a product depends only on the unit digits of its factors.
  • Unit digit of a sum can be obtained by adding the unit digits of the terms.
  • A perfect square may end only in 0, 1, 4, 5, 6 or 9.
  • Perfect cubes may end in any digit from 0 to 9.
  • For n ≥ 5, unit digit of n! is 0.
  • For last two digits, work modulo 100.
  • Only the last two digits of a base matter when computing positive powers modulo 100.
  • Reduce after every multiplication to keep calculations small.
  • Repeated squaring is useful for large powers modulo 100.
  • A number ending in 01 keeps last two digits 01 under every positive power.
  • A number ending in 25 keeps last two digits 25 under every positive power.
  • A number ending in 76 keeps last two digits 76 under every positive power.
  • Powers of a number ending in 99 alternate between 99 and 01 according to exponent parity.
  • A number ending in 50 has last two digits 00 from its second positive power onward.
  • Do not confuse a unit-digit cycle modulo 10 with a last-two-digit cycle modulo 100.

Previous Year Questions (PYQs)

Practice these verified previous-year questions based on unit-digit cycles, powers, sums and products, factorials and last-two-digit properties. Try each question before opening the answer and explanation.

SSC CHSL PYQ19 March 2018 · Shift I

Q1. Find the unit digit of:

153144 − 115123 − 111510 + 21625

A. 1
B. 5
C. 6
D. 3
Correct Answer: A. 1
Explanation:
Consider only the unit digits of the bases.

153144 → 3144. Since 144 is divisible by 4, unit digit = 1.

115123 always ends in 5.

111510 always ends in 1.

21625 always ends in 6.

Therefore:

1 − 5 − 1 + 6 = 1.

Hence the required unit digit is 1.
SSC CHSL PYQ25 March 2018 · Shift III

Q2. Find the unit digit of:

82102 + 183103

A. 1
B. 6
C. 8
D. 9
Correct Answer: A. 1
Explanation:
For 82102, consider 2102.

Cycle of 2 = 2, 4, 8, 6.
102 mod 4 = 2 → unit digit = 4.

For 183103, consider 3103.

Cycle of 3 = 3, 9, 7, 1.
103 mod 4 = 3 → unit digit = 7.

Therefore:

4 + 7 = 11.

Required unit digit = 1.
RRB NTPC PYQ22 February 2021 · Shift II

Q3. What is the digit in the unit's place of the product:

61 × 62 × 63 × 64 × 65 × 66 × 67 × 68 × 69?

A. 4
B. 0
C. 2
D. 3
Correct Answer: B. 0
Explanation:
The product contains the factor 65, which provides a factor 5, and several even factors such as 62, 64, 66 and 68, which provide factor 2.

Therefore the product contains a factor:

2 × 5 = 10

Hence the complete product is divisible by 10 and its unit digit is 0.
SSC Selection Post PYQ3 February 2022 · Shift II · Matriculation Level

Q4. If N = 30738 + 52420, what is the unit digit of N?

A. 6
B. 5
C. 3
D. 4
Correct Answer: B. 5
Explanation:
For 30738, consider 738.

Cycle of 7 = 7, 9, 3, 1.
38 mod 4 = 2 → unit digit = 9.

For 52420, consider 420.
Since 20 is even, unit digit = 6.

Therefore:

9 + 6 = 15.

Hence the unit digit of N is 5.
RRB NTPC PYQ28 April 2016 · Shift II

Q5. Find the unit digit of:

1234102 + 1234103

A. 2
B. 4
C. 0
D. 1
Correct Answer: C. 0
Explanation:
Only the unit digit 4 of the base matters.

Powers of 4 alternate:

4, 6, 4, 6, ...

102 is even → unit digit of 1234102 = 6.
103 is odd → unit digit of 1234103 = 4.

Therefore:

6 + 4 = 10.

Required unit digit = 0.
UP Police SI PYQ14 December 2017 · Shift II

Q6. What are the last two digits of:

56283 × 141283 × 125254?

A. 25
B. 10
C. 01
D. 00
Correct Answer: D. 00
Explanation:
To end in 00, the product must contain a factor 100 = 22 × 52.

56283 contributes a very large number of factors 2 because 56 = 23 × 7.

125254 contributes a very large number of factors 5 because 125 = 53.

Therefore the product contains far more than the two factors 2 and two factors 5 needed to form 100.

Hence the entire product is divisible by 100 and its last two digits are 00.

Practice MCQs

Practice these exam-oriented questions covering unit-digit cycles, sums and products of powers, negative differences, factorials, modulo-100 cycles and last-two-digit calculations.

Practice MCQ

Q1. What is the unit digit of 357?

A. 1
B. 3
C. 7
D. 9
Correct Answer: B. 3
Explanation:
Cycle of 3:

3, 9, 7, 1.

57 mod 4 = 1.

Therefore use the first term of the cycle.

Unit digit = 3.
Practice MCQ

Q2. What is the unit digit of 72026?

A. 1
B. 3
C. 7
D. 9
Correct Answer: D. 9
Explanation:
Cycle of 7:

7, 9, 3, 1.

2026 mod 4 = 2.

The second term of the cycle is 9.
Practice MCQ

Q3. What is the unit digit of 2317 × 1411?

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
Correct Answer: A. 2
Explanation:
2317 has the same unit digit as 317.

17 mod 4 = 1 → unit digit = 3.

1411 has the same unit digit as 411.
11 is odd → unit digit = 4.

Therefore:

3 × 4 = 12.

Required unit digit = 2.
Practice MCQ

Q4. What is the unit digit of 231 + 322?

A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
Correct Answer: C. 7
Explanation:
For 231:
31 mod 4 = 3 → unit digit = 8.

For 322:
22 mod 4 = 2 → unit digit = 9.

Therefore:

8 + 9 = 17.

Required unit digit = 7.
Practice MCQ

Q5. What is the unit digit of 9101 − 834?

A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
Correct Answer: B. 5
Explanation:
9101: odd exponent → unit digit = 9.

For 834, cycle is 8, 4, 2, 6.
34 mod 4 = 2 → unit digit = 4.

Therefore:

9 − 4 = 5.
Practice MCQ

Q6. What are the last two digits of 72026?

A. 01
B. 07
C. 43
D. 49
Correct Answer: D. 49
Explanation:
Modulo 100, powers of 7 follow:

71 ≡ 07
72 ≡ 49
73 ≡ 43
74 ≡ 01

and the cycle repeats.

2026 mod 4 = 2.

Therefore the last two digits are 49.
Practice MCQ

Q7. What are the last two digits of 9951 + 258?

A. 24
B. 25
C. 26
D. 00
Correct Answer: A. 24
Explanation:
99 ≡ −1 (mod 100). Since 51 is odd:

9951 ≡ 99 (mod 100).

Every positive power of a number ending in 25 ends in 25, so:

258 ≡ 25 (mod 100).

Therefore:

99 + 25 = 124.

Last two digits = 24.
Practice MCQ

Q8. What are the last two digits of 1241001?

A. 24
B. 36
C. 76
D. 96
Correct Answer: A. 24
Explanation:
124 ≡ 24 (mod 100).

Now:

241 ≡ 24
242 ≡ 76
243 ≡ 24
244 ≡ 76

Thus odd powers end in 24 and even powers end in 76.

1001 is odd, so the last two digits are 24.
Practice MCQ

Q9. What are the last two digits of 76 × 34?

A. 29
B. 49
C. 69
D. 89
Correct Answer: C. 69
Explanation:
Since 74 ≡ 1 (mod 100):

76 ≡ 72 = 49.

Also:

34 = 81.

Therefore:

49 × 81 = 3969.

Last two digits = 69.
Practice MCQ

Q10. What is the unit digit of:

1! + 2! + 3! + ... + 50!?

A. 0
B. 1
C. 3
D. 5
Correct Answer: C. 3
Explanation:
For every n ≥ 5, n! ends in 0.

Therefore only the first four factorials affect the unit digit:

1! + 2! + 3! + 4!
= 1 + 2 + 6 + 24
= 33.

All terms from 5! to 50! contribute unit digit 0.

Hence the required unit digit is 3.

इकाई अंक, चक्रीयता एवं अंतिम दो अंक

किसी बड़ी घात का इकाई अंक प्रायः एक छोटे निश्चित चक्र में दोहराता है। इस cycle को पहचानकर बहुत बड़ी powers का अंतिम अंक पूरी संख्या निकाले बिना ज्ञात किया जा सकता है। इसी modular idea को आगे बढ़ाकर किसी संख्या के अंतिम दो अंक भी निकाले जा सकते हैं।

1. इकाई अंक क्या है?

किसी पूर्णांक का सबसे दाहिना अंक उसका इकाई अंक (Unit Digit) कहलाता है।

उदाहरण:

  • 327 का unit digit = 7।
  • 12,540 का unit digit = 0।
  • 98,765 का unit digit = 5।

2. Base का केवल अंतिम अंक क्यों महत्वपूर्ण है?

किसी धनात्मक पूर्णांक घात का unit digit ज्ञात करने के लिए base का केवल अंतिम अंक पर्याप्त होता है।

उदाहरण: 37n का unit digit वही होगा जो 7n का है, क्योंकि:

37 ≡ 7 (mod 10)

3. Cyclicity का अर्थ

किसी संख्या की लगातार powers के unit digits कुछ चरणों के बाद उसी क्रम में दोहराने लगते हैं। इस repeating sequence को unit-digit cycle या cyclicity कहा जाता है।

4. Cycle Length 1 वाली संख्याएँ

जिन bases का अंतिम अंक 0, 1, 5 या 6 होता है, उनकी प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक power का unit digit समान रहता है।

Base का अंतिम अंकप्रत्येक Positive Power का Unit DigitCycle Length
001
111
551
661

5. उदाहरण: 6 पर समाप्त होने वाली Power

126999 का unit digit ज्ञात करें।

Base का अंतिम अंक 6 है और 6 पर समाप्त होने वाली प्रत्येक positive power का अंतिम अंक 6 ही होता है।

अतः unit digit = 6।

6. 2 का Unit-Digit Cycle

2 की powers के unit digits:

2, 4, 8, 6

इसके बाद यही pattern दोहरता है।

Cycle length = 4।

7. 3 का Unit-Digit Cycle

3 की powers:

3, 9, 7, 1

Cycle length = 4।

8. 4 का Unit-Digit Cycle

4 की powers:

4, 6

Cycle length = 2।

9. 7 का Unit-Digit Cycle

7 की powers:

7, 9, 3, 1

Cycle length = 4।

10. 8 का Unit-Digit Cycle

8 की powers:

8, 4, 2, 6

Cycle length = 4।

11. 9 का Unit-Digit Cycle

9 की powers:

9, 1

Cycle length = 2।

12. Complete Unit-Digit Cycle Table

Base का Unit DigitCycleCycle Length
001
111
22, 4, 8, 64
33, 9, 7, 14
44, 62
551
661
77, 9, 3, 14
88, 4, 2, 64
99, 12

13. Cycle Length 4 का उपयोग कैसे करें?

2, 3, 7 और 8 पर समाप्त होने वाले bases के लिए exponent को 4 से divide करें और remainder देखें।

  • Exponent remainder 1 → cycle का पहला term।
  • Exponent remainder 2 → दूसरा term।
  • Exponent remainder 3 → तीसरा term।
  • Exponent remainder 0 → चौथा term।
महत्वपूर्ण: यदि exponent mod 4 = 0 हो, तो “0th term” नहीं लेना है। Cycle का 4th term लिया जाएगा।

14. उदाहरण: 7103 का Unit Digit

7 का cycle:

7, 9, 3, 1

अब:

103 को 4 से भाग देने पर remainder 3

अतः cycle का तीसरा term लें।

Unit digit = 3।

15. उदाहरण: जब Exponent का Remainder Zero हो

21000 का unit digit ज्ञात करें।

Cycle:

2, 4, 8, 6

1000, 4 से पूर्णतः divisible है। इसलिए cycle का चौथा term लें।

Unit digit = 6।

16. Cycle Length 2 का उपयोग

4 या 9 पर समाप्त होने वाले bases के लिए exponent की parity पर्याप्त है:

  • Odd exponent → cycle का पहला term।
  • Even exponent → cycle का दूसरा term।

17. उदाहरण: 457 का Unit Digit

4 का cycle:

4, 6

57 विषम है।

अतः unit digit = 4।

18. उदाहरण: 9202 का Unit Digit

9 का cycle:

9, 1

202 सम है।

अतः unit digit = 1।

19. बड़ी Base का Unit Digit

123,457222 का unit digit ज्ञात करें।

केवल अंतिम अंक 7 महत्वपूर्ण है।

7 का cycle:

7, 9, 3, 1

222 mod 4 = 2।

अतः cycle का दूसरा term = 9।

20. Product का Unit Digit

किसी product का unit digit निकालने के लिए:

  1. प्रत्येक factor का unit digit ज्ञात करें।
  2. इन unit digits को multiply करें।
  3. Product का केवल अंतिम अंक रखें।

21. उदाहरण: Powers के Product का Unit Digit

Unit digit ज्ञात करें:

2317 × 1411

2317 का unit digit = 317 का unit digit।

17 mod 4 = 1 → unit digit = 3।

1411 का unit digit = 411 का unit digit।

Exponent odd है → unit digit = 4।

अब:

3 × 4 = 12

Required unit digit = 2।

22. Sum का Unit Digit

प्रत्येक term का unit digit अलग-अलग ज्ञात करें, उन्हें जोड़ें और प्राप्त sum का अंतिम अंक लें।

उदाहरण:

221 + 318

221: 21 mod 4 = 1 → unit digit 2।

318: 18 mod 4 = 2 → unit digit 9।

2 + 9 = 11।

Required unit digit = 1।

23. Difference का Unit Digit

दोनों terms के unit digits ज्ञात करके subtract करें। यदि result negative हो, तो modulo 10 का corresponding non-negative digit लें।

उदाहरण:

320 − 711

320 → cycle का चौथा term = 1।

711: 11 mod 4 = 3 → unit digit 3।

1 − 3 = −2।

−2 ≡ 8 (mod 10)।

अतः unit digit = 8।

24. Product का Unit Digit Zero कब होगा?

यदि किसी product के factors मिलकर कम-से-कम एक factor 2 और एक factor 5 प्रदान करते हैं, तो product में factor 10 होगा और उसका unit digit 0 होगा।

उदाहरण: 8 × 15 × 37 का unit digit 0 है क्योंकि 8 × 15 में factor 10 मौजूद है।

25. यदि किसी Factor का अंतिम अंक 0 हो

यदि product का कोई एक factor ही 0 पर समाप्त होता है, तो पूरा product 0 पर समाप्त होगा।

उदाहरण:

3712 × 250 × 197

250 का unit digit 0 है, इसलिए पूरे product का unit digit 0 होगा।

26. 5 पर समाप्त होने वाली Powers

5 पर समाप्त होने वाली संख्या की प्रत्येक positive integral power भी 5 पर समाप्त होती है।

5n का unit digit = 5, प्रत्येक n ≥ 1 के लिए।

27. 6 पर समाप्त होने वाली Powers

6 पर समाप्त होने वाली संख्या की प्रत्येक positive integral power भी 6 पर समाप्त होती है।

6n का unit digit = 6, प्रत्येक n ≥ 1 के लिए।

28. किसी Square का Unit Digit

किसी पूर्णांक के square का unit digit केवल इनमें से कोई हो सकता है:

0, 1, 4, 5, 6 या 9

परीक्षा में उपयोग: कोई perfect square कभी भी 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त नहीं हो सकता।

29. Square 2, 3, 7 या 8 पर क्यों समाप्त नहीं हो सकता?

0 से 9 तक प्रत्येक possible unit digit का square लेने पर:

संख्या का Unit DigitSquare का Unit Digit
00
11
24
39
46
55
66
79
84
91

30. Perfect Cube का Unit Digit

Perfect square के विपरीत, किसी perfect cube का unit digit 0 से 9 तक कोई भी digit हो सकता है।

इसके अतिरिक्त cube के unit digit से integer cube root का possible unit digit uniquely निर्धारित किया जा सकता है।

31. Cube Unit-Digit Mapping

संख्या का Unit Digitउसके Cube का Unit Digit
00
11
28
37
44
55
66
73
82
99

32. Factorial का Unit Digit

n ≥ 5 होने पर n! में कम-से-कम एक factor 2 और एक factor 5 मौजूद होता है, इसलिए उसमें factor 10 अवश्य होता है।

अतः:

n! का unit digit = 0, प्रत्येक n ≥ 5 के लिए

Scope Note: Factorial में trailing zeros की संख्या का detailed study Topic 1.14 में किया जाएगा।

33. अंतिम दो अंक क्या हैं?

किसी integer के अंतिम दो अंक उसके modulo 100 remainder से निर्धारित होते हैं।

यदि:

N ≡ r (mod 100)

तो r, आवश्यकता होने पर दो digits में लिखकर, N के अंतिम दो अंक देता है।

उदाहरण: यदि N ≡ 7 (mod 100), तो N के अंतिम दो अंक 07 होंगे।

34. Modulo 100 क्यों काम करता है?

हर integer को इस रूप में लिखा जा सकता है:

N = 100q + r

जहाँ 0 ≤ r < 100।

100q का अंतिम दो positions पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता, इसलिए r ही last two digits निर्धारित करता है।

35. Base के केवल अंतिम दो अंक महत्वपूर्ण हैं

Modulo 100 में positive powers निकालते समय base को पहले उसके अंतिम दो अंकों से replace किया जा सकता है।

उदाहरण:

12,347n ≡ 47n (mod 100)

36. Sum के अंतिम दो अंक

Terms के केवल अंतिम दो अंक जोड़ें और result को modulo 100 reduce करें।

उदाहरण: 1,247 + 8,986 के अंतिम दो अंक:

47 + 86 = 133

अतः अंतिम दो अंक = 33।

37. Difference के अंतिम दो अंक

Last-two-digit residues को subtract करें और modulo 100 में reduce करें।

उदाहरण:

4,032 − 1,978

केवल अंतिम दो digits:

32 − 78 = −46 ≡ 54 (mod 100)

अतः difference के अंतिम दो अंक = 54।

38. Product के अंतिम दो अंक

केवल अंतिम दो digits को multiply करें और modulo 100 reduce करें।

उदाहरण: 237 × 146 के अंतिम दो अंक:

37 × 46 = 1702

अतः अंतिम दो अंक = 02।

39. Product में बार-बार Reduction

लंबे product में प्रत्येक multiplication के बाद modulo 100 reduce करना calculation को छोटा रखता है।

उदाहरण:

23 × 47 × 68

23 × 47 = 1081 ≡ 81 (mod 100)।

81 × 68 = 5508 ≡ 8 (mod 100)।

अतः अंतिम दो अंक = 08।

40. किसी Power के अंतिम दो अंक

an के last two digits निकालने के लिए:

  1. a को modulo 100 reduce करें।
  2. Power को efficient तरीके से calculate करें।
  3. हर multiplication के बाद modulo 100 reduce करते रहें।

41. Repeated Squaring Method

बड़ी powers के लिए repeated squaring बहुत उपयोगी है।

उदाहरण: 710 के अंतिम दो अंक ज्ञात करें।

72 = 49

74 ≡ 492 = 2401 ≡ 1 (mod 100)

इसलिए:

78 ≡ 1

और:

710 = 78 × 72 ≡ 1 × 49 = 49

अतः अंतिम दो अंक = 49।

42. जब कोई Power 01 पर पहुँच जाए

यदि किसी k के लिए:

ak ≡ 1 (mod 100)

तो powers उस cycle के अनुसार repeat हो सकती हैं और exponent को cycle length के अनुसार reduce किया जा सकता है।

Exam Strategy: बहुत बड़े exponent पर सीधी calculation करने से पहले short modulo-100 cycle खोजें।

43. उदाहरण: 7202 के अंतिम दो अंक

हम जानते हैं:

74 ≡ 1 (mod 100)

अब:

202 ≡ 2 (mod 4)

अतः:

7202 ≡ 72 = 49 (mod 100)

अंतिम दो अंक = 49।

44. 01 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ

01 पर समाप्त होने वाली संख्या की प्रत्येक positive integral power भी 01 पर समाप्त होती है।

उदाहरण:

101500

के अंतिम दो अंक = 01।

45. 25 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ

25 पर समाप्त होने वाली संख्या की प्रत्येक positive integral power भी 25 पर समाप्त होती है।

उदाहरण:

12537

के अंतिम दो अंक = 25।

46. 76 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ

76 पर समाप्त होने वाली संख्या की प्रत्येक positive integral power भी 76 पर समाप्त होती है।

क्योंकि:

762 = 5776 ≡ 76 (mod 100)

इसके बाद 76 से multiply करने पर remainder फिर 76 ही रहता है।

47. 99 पर समाप्त होने वाली Powers

चूँकि:

99 ≡ −1 (mod 100)

इसलिए powers alternate करती हैं:

  • Odd exponent → अंतिम दो अंक 99।
  • Even exponent → अंतिम दो अंक 01।

48. उदाहरण: 2992025

299 ≡ 99 ≡ −1 (mod 100)।

2025 विषम है।

इसलिए:

2992025 ≡ −1 ≡ 99 (mod 100)

अंतिम दो अंक = 99।

49. 50 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ

50 पर समाप्त होने वाली संख्या की पहली power 50 पर समाप्त होती है, लेकिन दूसरी power से आगे प्रत्येक positive integral power के अंतिम दो अंक 00 होते हैं।

क्योंकि:

502 = 2500

और इसके बाद प्रत्येक higher power में factor 100 मौजूद रहता है।

50. उदाहरण: 35023

Base 50 पर समाप्त होता है और exponent 23 ≥ 2 है।

अतः अंतिम दो अंक = 00।

51. 00 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ

00 पर समाप्त होने वाली संख्या की प्रत्येक positive integral power भी 00 पर समाप्त होती है।

52. किसी Square के अंतिम दो अंक

N2 के अंतिम दो अंक ज्ञात करने के लिए केवल N के अंतिम दो digits का square लेकर modulo 100 reduce करना पर्याप्त है।

उदाहरण: 3472 के अंतिम दो अंक:

472 = 2209

अतः अंतिम दो अंक = 09।

53. Powers के Product के अंतिम दो अंक

प्रत्येक power को modulo 100 reduce करें, फिर residues को multiply करके फिर से modulo 100 reduce करें।

उदाहरण: 76 × 34 के अंतिम दो अंक ज्ञात करें।

74 ≡ 1 (mod 100), इसलिए:

76 ≡ 72 = 49

और:

34 = 81

अब:

49 × 81 = 3969

अतः अंतिम दो अंक = 69।

54. Powers के Sum के अंतिम दो अंक

हर power को modulo 100 में निकालें, फिर residues को जोड़ें।

उदाहरण: 710 + 34 के अंतिम दो अंक ज्ञात करें।

710 ≡ 49 (mod 100)।

34 = 81।

अतः:

49 + 81 = 130

Last two digits = 30।

55. एक उपयोगी Short Cycle: 24 की Powers

Modulo 100 में:

241 ≡ 24
242 ≡ 76
243 ≡ 24
244 ≡ 76

इसलिए last two digits का cycle है:

24, 76, 24, 76, ...

  • Odd exponent → 24।
  • Even exponent → 76।

56. उदाहरण: 124501 के अंतिम दो अंक

124 ≡ 24 (mod 100)।

Exponent 501 विषम है।

24, 76 cycle के अनुसार:

अंतिम दो अंक = 24।

57. Unit-Digit Cycle और Last-Two-Digit Cycle को न मिलाएँ

किसी base का unit-digit cycle छोटा हो सकता है, लेकिन modulo 100 में उसका last-two-digit cycle अलग हो सकता है।

महत्वपूर्ण: Unit digit के लिए modulo 10 का उपयोग करें। Last two digits के लिए modulo 100 का। Modulo 10 वाला cycle सीधे modulo 100 पर लागू न करें।

58. Unit Digit बनाम Last Two Digits

Question क्या पूछता है?MethodMain Modulus
Unit digit / अंतिम अंकUnit-digit cycle10
अंतिम दो अंकModulo-100 calculation या cycle100

59. हल किया गया उदाहरण: बड़ी Power का Unit Digit

82027 का unit digit ज्ञात करें।

8 का cycle:

8, 4, 2, 6

2027 mod 4 = 3।

Cycle का तीसरा term = 2।

60. हल किया गया उदाहरण: Mixed Expression का Unit Digit

Unit digit ज्ञात करें:

751 + 842 + 917

751: 51 mod 4 = 3 → unit digit 3।

842: 42 mod 4 = 2 → unit digit 4।

917: odd exponent → unit digit 9।

अब:

3 + 4 + 9 = 16

Required unit digit = 6।

61. हल किया गया उदाहरण: Last Two Digits

99100 + 257 के अंतिम दो अंक ज्ञात करें।

99100: exponent even है → अंतिम दो अंक 01।

257 → अंतिम दो अंक 25।

अतः:

01 + 25 = 26

Last two digits = 26।

62. परीक्षा में होने वाली सामान्य गलतियाँ

गलती 1: Unit-digit questions में base का केवल अंतिम अंक महत्वपूर्ण होता है।
गलती 2: 2, 3, 7 और 8 पर समाप्त होने वाले bases का unit-digit cycle length 4 होता है।
गलती 3: Exponent mod 4 = 0 होने पर four-term cycle का चौथा term लें।
गलती 4: 4 और 9 पर समाप्त होने वाले bases का cycle length 2 है; exponent की parity पर्याप्त है।
गलती 5: 0, 1, 5 और 6 पर समाप्त होने वाले bases का cycle length 1 है।
गलती 6: Product का unit digit निकालते समय पहले प्रत्येक factor का unit digit निकालें।
गलती 7: कोई perfect square 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त नहीं हो सकता।
गलती 8: n ≥ 5 के लिए n! का unit digit 0 है, लेकिन trailing zeros की संख्या अलग topic है।
गलती 9: Last-two-digit questions में modulo 100 आवश्यक है; केवल ordinary unit-digit cycle पर्याप्त नहीं है।
गलती 10: यदि modulo 100 remainder single digit हो, तो last two digits लिखते समय leading zero रखें। उदाहरण: remainder 7 का अर्थ last two digits 07 है।

63. त्वरित पुनरावृत्ति

  • Unit digit के लिए base को modulo 10 reduce करें।
  • 0, 1, 5 और 6 का unit-digit cycle length 1 है।
  • 4 और 9 का cycle length 2 है।
  • 2, 3, 7 और 8 का cycle length 4 है।
  • 2 का cycle: 2, 4, 8, 6।
  • 3 का cycle: 3, 9, 7, 1।
  • 4 का cycle: 4, 6।
  • 7 का cycle: 7, 9, 3, 1।
  • 8 का cycle: 8, 4, 2, 6।
  • 9 का cycle: 9, 1।
  • Four-term cycle में exponent remainder 0 का अर्थ cycle का चौथा term है।
  • 4 और 9 के लिए exponent की parity ही unit digit निर्धारित करती है।
  • Product का unit digit केवल factors के unit digits पर निर्भर करता है।
  • Sum का unit digit terms के unit digits जोड़कर निकाला जा सकता है।
  • Perfect square का अंतिम अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हो सकता है।
  • Perfect cube 0 से 9 तक किसी भी digit पर समाप्त हो सकता है।
  • n ≥ 5 के लिए n! का unit digit 0 होता है।
  • Last two digits के लिए modulo 100 का उपयोग करें।
  • Positive powers modulo 100 में base के केवल अंतिम दो digits महत्वपूर्ण हैं।
  • Calculations छोटी रखने के लिए प्रत्येक multiplication के बाद reduce करें।
  • Large powers modulo 100 के लिए repeated squaring उपयोगी है।
  • 01 पर समाप्त होने वाली संख्या की हर positive power 01 पर समाप्त होती है।
  • 25 पर समाप्त होने वाली संख्या की हर positive power 25 पर समाप्त होती है।
  • 76 पर समाप्त होने वाली संख्या की हर positive power 76 पर समाप्त होती है।
  • 99 पर समाप्त होने वाली संख्या की powers exponent parity के अनुसार 99 और 01 के बीच alternate करती हैं।
  • 50 पर समाप्त होने वाली संख्या की दूसरी और उससे आगे की powers के अंतिम दो digits 00 होते हैं।
  • Modulo 10 के unit-digit cycle और modulo 100 के last-two-digit cycle को अलग रखें।

पिछले वर्षों में पूछे गए प्रश्न (PYQs)

इकाई अंक, cyclicity, powers, sums, products, factorial तथा अंतिम दो अंकों पर आधारित इन पिछले वर्षों के प्रश्नों का अभ्यास करें। उत्तर एवं व्याख्या देखने से पहले प्रत्येक प्रश्न स्वयं हल करने का प्रयास करें।

SSC CHSL PYQ19 मार्च 2018 · Shift I

प्रश्न 1. निम्न expression का इकाई अंक ज्ञात करें:

153144 − 115123 − 111510 + 21625

A. 1
B. 5
C. 6
D. 3
सही उत्तर: A. 1
व्याख्या:
केवल bases के unit digits पर विचार करें।

153144 → 3144। 144, 4 से divisible है, इसलिए unit digit = 1।

115123 का unit digit हमेशा 5 होगा।

111510 का unit digit हमेशा 1 होगा।

21625 का unit digit हमेशा 6 होगा।

अतः:

1 − 5 − 1 + 6 = 1।

इसलिए required unit digit = 1।
SSC CHSL PYQ25 मार्च 2018 · Shift III

प्रश्न 2. निम्न expression का इकाई अंक ज्ञात करें:

82102 + 183103

A. 1
B. 6
C. 8
D. 9
सही उत्तर: A. 1
व्याख्या:
82102 के लिए केवल 2102 का unit digit देखें।

2 का cycle: 2, 4, 8, 6।
102 mod 4 = 2 → unit digit = 4।

183103 के लिए केवल 3103 देखें।

3 का cycle: 3, 9, 7, 1।
103 mod 4 = 3 → unit digit = 7।

अतः:

4 + 7 = 11।

Required unit digit = 1।
RRB NTPC PYQ22 फरवरी 2021 · Shift II

प्रश्न 3. निम्न गुणनफल का इकाई अंक क्या होगा?

61 × 62 × 63 × 64 × 65 × 66 × 67 × 68 × 69

A. 4
B. 0
C. 2
D. 3
सही उत्तर: B. 0
व्याख्या:
Product में 65 factor 5 प्रदान करता है और 62, 64, 66, 68 जैसे even factors factor 2 प्रदान करते हैं।

इसलिए product में factor:

2 × 5 = 10

अवश्य मौजूद है। अतः पूरा product 10 से divisible होगा और उसका unit digit 0 होगा।
SSC Selection Post PYQ3 फरवरी 2022 · Shift II · Matriculation Level

प्रश्न 4. यदि N = 30738 + 52420, तो N का इकाई अंक क्या होगा?

A. 6
B. 5
C. 3
D. 4
सही उत्तर: B. 5
व्याख्या:
30738 के लिए 738 देखें।

7 का cycle: 7, 9, 3, 1।
38 mod 4 = 2 → unit digit = 9।

52420 के लिए 420 देखें।
Exponent even है → unit digit = 6।

अतः:

9 + 6 = 15।

N का unit digit = 5।
RRB NTPC PYQ28 अप्रैल 2016 · Shift II

प्रश्न 5. निम्न expression का इकाई अंक ज्ञात करें:

1234102 + 1234103

A. 2
B. 4
C. 0
D. 1
सही उत्तर: C. 0
व्याख्या:
Base का केवल unit digit 4 महत्वपूर्ण है।

4 की powers का cycle:

4, 6, 4, 6, ...

102 even है → 1234102 का unit digit = 6।
103 odd है → 1234103 का unit digit = 4।

अतः:

6 + 4 = 10।

Required unit digit = 0।
UP Police SI PYQ14 दिसंबर 2017 · Shift II

प्रश्न 6. निम्न expression के अंतिम दो अंक क्या होंगे?

56283 × 141283 × 125254

A. 25
B. 10
C. 01
D. 00
सही उत्तर: D. 00
व्याख्या:
किसी संख्या के अंतिम दो अंक 00 होने के लिए product में factor 100 = 22 × 52 होना चाहिए।

56283 बहुत सारे factors 2 देता है क्योंकि 56 = 23 × 7।

125254 बहुत सारे factors 5 देता है क्योंकि 125 = 53।

इसलिए product में 100 का factor निश्चित रूप से मौजूद है।

अतः पूरा expression 100 से divisible है और अंतिम दो अंक 00 हैं।

अभ्यास प्रश्न (Practice MCQs)

Unit-digit cycles, powers के sum और product, factorial तथा modulo 100 की सहायता से last-two-digit calculations पर आधारित इन परीक्षा-उपयोगी प्रश्नों का अभ्यास करें।

Practice MCQ

प्रश्न 1. 357 का इकाई अंक क्या होगा?

A. 1
B. 3
C. 7
D. 9
सही उत्तर: B. 3
व्याख्या:
3 का cycle:

3, 9, 7, 1।

57 mod 4 = 1।

इसलिए cycle का पहला term लिया जाएगा।

Unit digit = 3।
Practice MCQ

प्रश्न 2. 72026 का इकाई अंक क्या होगा?

A. 1
B. 3
C. 7
D. 9
सही उत्तर: D. 9
व्याख्या:
7 का cycle:

7, 9, 3, 1।

2026 mod 4 = 2।

Cycle का दूसरा term 9 है।
Practice MCQ

प्रश्न 3. 2317 × 1411 का इकाई अंक क्या होगा?

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
सही उत्तर: A. 2
व्याख्या:
2317 का unit digit 317 के समान होगा।

17 mod 4 = 1 → unit digit = 3।

1411 का unit digit 411 के समान होगा।
11 odd है → unit digit = 4।

अतः:

3 × 4 = 12।

Required unit digit = 2।
Practice MCQ

प्रश्न 4. 231 + 322 का इकाई अंक क्या होगा?

A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
सही उत्तर: C. 7
व्याख्या:
231: 31 mod 4 = 3 → unit digit = 8।

322: 22 mod 4 = 2 → unit digit = 9।

अतः:

8 + 9 = 17।

Required unit digit = 7।
Practice MCQ

प्रश्न 5. 9101 − 834 का इकाई अंक क्या होगा?

A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
सही उत्तर: B. 5
व्याख्या:
9101: exponent odd है → unit digit = 9।

8 का cycle: 8, 4, 2, 6।
34 mod 4 = 2 → 834 का unit digit = 4।

अतः:

9 − 4 = 5।
Practice MCQ

प्रश्न 6. 72026 के अंतिम दो अंक क्या होंगे?

A. 01
B. 07
C. 43
D. 49
सही उत्तर: D. 49
व्याख्या:
Modulo 100 में 7 की powers का cycle देखें:

71 ≡ 07
72 ≡ 49
73 ≡ 43
74 ≡ 01

इसके बाद cycle repeat होता है।

2026 mod 4 = 2।

अतः अंतिम दो अंक = 49।
Practice MCQ

प्रश्न 7. 9951 + 258 के अंतिम दो अंक क्या होंगे?

A. 24
B. 25
C. 26
D. 00
सही उत्तर: A. 24
व्याख्या:
99 ≡ −1 (mod 100)। 51 odd है, इसलिए:

9951 ≡ 99 (mod 100)।

25 पर समाप्त होने वाली प्रत्येक positive power के अंतिम दो अंक 25 होते हैं। इसलिए:

258 ≡ 25 (mod 100)।

अब:

99 + 25 = 124।

अंतिम दो अंक = 24।
Practice MCQ

प्रश्न 8. 1241001 के अंतिम दो अंक क्या होंगे?

A. 24
B. 36
C. 76
D. 96
सही उत्तर: A. 24
व्याख्या:
124 ≡ 24 (mod 100)।

अब:

241 ≡ 24
242 ≡ 76
243 ≡ 24
244 ≡ 76

अतः odd powers 24 पर तथा even powers 76 पर समाप्त होती हैं।

1001 odd है। इसलिए अंतिम दो अंक = 24।
Practice MCQ

प्रश्न 9. 76 × 34 के अंतिम दो अंक क्या होंगे?

A. 29
B. 49
C. 69
D. 89
सही उत्तर: C. 69
व्याख्या:
74 ≡ 1 (mod 100), इसलिए:

76 ≡ 72 = 49।

और:

34 = 81।

अतः:

49 × 81 = 3969।

अंतिम दो अंक = 69।
Practice MCQ

प्रश्न 10. निम्न योग का इकाई अंक ज्ञात करें:

1! + 2! + 3! + ... + 50!

A. 0
B. 1
C. 3
D. 5
सही उत्तर: C. 3
व्याख्या:
हर n ≥ 5 के लिए n! का unit digit 0 होता है।

इसलिए केवल पहले चार factorials unit digit को प्रभावित करेंगे:

1! + 2! + 3! + 4!
= 1 + 2 + 6 + 24
= 33।

5! से 50! तक सभी terms का unit digit 0 होगा।

अतः required unit digit = 3।
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