Remainders & Remainder Properties
A remainder is the amount left after an integer is divided by another positive integer and as many complete groups as possible have been formed. Remainder properties allow large calculations to be reduced to small and manageable numbers, making them extremely useful in competitive examinations.
1. Division Algorithm
For any integer N and positive integer d, there exist unique integers q and r such that:
N = dq + r
where:
0 ≤ r < d
Here:
- N = Dividend
- d = Divisor
- q = Quotient
- r = Remainder
2. Example of Division Algorithm
Divide 47 by 6.
47 = 6 × 7 + 5
Therefore:
- Dividend = 47
- Divisor = 6
- Quotient = 7
- Remainder = 5
3. Range of a Remainder
When a positive divisor d is used, the standard remainder must satisfy:
0 ≤ r < d
Important Exam Rule: A remainder can never be equal to or greater than the positive divisor.
4. Possible Remainders
When dividing by d, the possible standard remainders are:
0, 1, 2, ..., d − 1
Hence there are exactly d possible remainders.
Example: When dividing an integer by 7, possible remainders are 0, 1, 2, 3, 4, 5 and 6.
5. Maximum Possible Remainder
When dividing by positive integer d:
Maximum possible remainder = d − 1
Example: Maximum remainder when dividing by 13 is 12.
6. Minimum Possible Remainder
The smallest standard remainder is:
0
A remainder of 0 means the dividend is exactly divisible by the divisor.
7. When Dividend is Smaller than Divisor
If 0 ≤ N < d, then:
N ÷ d gives remainder N
Example: 8 divided by 13 gives quotient 0 and remainder 8:
8 = 13 × 0 + 8
8. Exact Divisibility
If N is divisible by d, then:
N = dq
and therefore:
Remainder = 0
9. Remainder Form of a Number
If N leaves remainder r when divided by d, then N may be written as:
N = dq + r
or equivalently:
N − r is divisible by d
Very Useful: If a number leaves remainder r upon division by d, subtracting r from the number produces a multiple of d.
10. Modular Congruence Notation
The statement “N leaves remainder r when divided by d” can be written:
N ≡ r (mod d)
Example:
47 ≡ 5 (mod 6)
11. Meaning of Congruence
If:
a ≡ b (mod m)
then a and b leave the same remainder when divided by m.
Equivalently:
m divides (a − b)
12. Adding a Multiple of the Divisor
Adding any multiple of d to a number does not change its remainder modulo d.
If:
N ≡ r (mod d)
then:
N + kd ≡ r (mod d)
for every integer k.
Example: 23 leaves remainder 3 when divided by 5. So do 28, 33, 38, ...
13. Subtracting a Multiple of the Divisor
Similarly:
N − kd ≡ N (mod d)
provided ordinary integer arithmetic is used.
Example: Instead of dividing 1,003 by 7 directly, subtract 994 = 7 × 142:
1,003 − 994 = 9
9 leaves remainder 2 when divided by 7, so 1,003 also leaves remainder 2.
14. Remainder of a Sum
If:
a ≡ r₁ (mod m)
b ≡ r₂ (mod m)
then:
a + b ≡ r₁ + r₂ (mod m)
If r₁ + r₂ ≥ m, reduce it again modulo m.
15. Example: Remainder of a Sum
Suppose a leaves remainder 5 and b leaves remainder 7 when divided by 9.
Then:
a + b ≡ 5 + 7 = 12 ≡ 3 (mod 9)
Therefore, the remainder is 3.
16. Remainder of a Difference
If:
a ≡ r₁ (mod m), b ≡ r₂ (mod m)
then:
a − b ≡ r₁ − r₂ (mod m)
If the result is negative, convert it to the standard non-negative remainder.
17. Example: Negative Intermediate Remainder
Suppose a leaves remainder 2 and b leaves remainder 6 when divided by 7.
Then:
a − b ≡ 2 − 6 = −4 (mod 7)
Add 7:
−4 + 7 = 3
Therefore, the standard remainder is 3.
18. Negative Remainder Conversion
If a calculation gives a negative remainder −k modulo m, repeatedly add m until the result lies between 0 and m − 1.
Example:
−17 mod 6
Add 18:
−17 + 18 = 1
Hence the standard remainder is 1.
19. Remainder of a Product
If:
a ≡ r₁ (mod m), b ≡ r₂ (mod m)
then:
ab ≡ r₁r₂ (mod m)
Reduce r₁r₂ modulo m if necessary.
20. Example: Remainder of a Product
Suppose a leaves remainder 4 and b leaves remainder 5 when divided by 7.
Then:
ab ≡ 4 × 5 = 20 ≡ 6 (mod 7)
Therefore, the remainder is 6.
21. Remainder of a Square
If:
a ≡ r (mod m)
then:
a2 ≡ r2 (mod m)
Example: If a leaves remainder 3 upon division by 7:
a2 ≡ 9 ≡ 2 (mod 7)
22. Remainder of a Power
More generally:
a ≡ r (mod m) ⇒ an ≡ rn (mod m)
This allows a large base to be replaced by its small remainder before exponentiation.
23. Example: Large Base Reduction
Find the remainder when 1025 is divided by 7.
Since:
102 ≡ 4 (mod 7)
we get:
1025 ≡ 45 (mod 7)
Now reduce during calculation:
42 = 16 ≡ 2
44 ≡ 4
45 ≡ 16 ≡ 2 (mod 7)
Therefore, remainder = 2.
24. Reduce at Every Step
During a long modular calculation, numbers may be reduced after every addition or multiplication.
Exam Shortcut: Keep replacing large intermediate values by their remainder. This prevents calculations from becoming unnecessarily large.
25. Remainder of a Polynomial Expression
If a ≡ r (mod m), then any polynomial with integer coefficients can be evaluated by replacing a with r.
Example: If a ≡ 2 (mod 5), find the remainder of a3 + 4a + 1.
23 + 4 × 2 + 1 = 8 + 8 + 1 = 17
17 ≡ 2 (mod 5)
Therefore, remainder = 2.
26. Same Remainder Property
If two integers a and b leave the same remainder when divided by d, then:
d divides (a − b)
Proof idea:
If a = dq₁ + r and b = dq₂ + r, then:
a − b = d(q₁ − q₂)
27. Example: Same Remainder
123 and 88 leave the same remainder when divided by some positive integer d. Then d must divide:
123 − 88 = 35
Thus possible values of d must be divisors of 35, subject to d being greater than the common remainder.
28. Several Numbers Leaving the Same Remainder
If several numbers leave the same remainder when divided by d, then d divides every pairwise difference.
Thus d must be a common divisor of those differences.
Finding the greatest possible such divisor often leads to an HCF calculation. Detailed HCF methods are studied separately in Chapter 3.
29. Example: Greatest Divisor Giving the Same Remainder
Find the greatest number that divides 125, 155 and 215 leaving the same remainder in each case.
Take differences:
155 − 125 = 30
215 − 155 = 60
215 − 125 = 90
The required divisor must divide 30, 60 and 90.
The greatest such divisor is 30.
30. If a Number Leaves Remainder r
If N leaves remainder r upon division by d:
N = dq + r
then:
- N − r is exactly divisible by d.
- N + (d − r) is also exactly divisible by d, when r ≠ 0.
31. Least Number to Subtract for Divisibility
If N leaves remainder r when divided by d, the least non-negative number to subtract from N to make it divisible by d is:
r
Example: 257 ÷ 11 leaves remainder 4. Therefore, subtract 4 to obtain 253, a multiple of 11.
32. Least Positive Number to Add for Divisibility
If N leaves non-zero remainder r upon division by d, the least positive number to add is:
d − r
Example: 257 leaves remainder 4 upon division by 11.
11 − 4 = 7
Therefore, 257 + 7 = 264 is divisible by 11.
33. Special Case when Remainder is Zero
If N is already divisible by d, the least non-negative amount to add is 0.
If a question specifically asks for the least positive amount to add while obtaining another multiple of d, the answer is d.
Read the wording carefully: “Least number” and “least positive number” can produce different answers when the original number is already divisible.
34. Remainder after Multiplying the Dividend
If N leaves remainder r upon division by d, then kN leaves the same remainder as kr modulo d.
N ≡ r (mod d) ⇒ kN ≡ kr (mod d)
Example: If N leaves remainder 4 when divided by 9, then 5N leaves the same remainder as 20, i.e. 2.
35. Remainder of a Sum of Many Numbers
If several numbers have known remainders modulo m, add only those remainders.
Example: A, B and C leave remainders 4, 7 and 8 respectively when divided by 9.
A + B + C ≡ 4 + 7 + 8 = 19 ≡ 1 (mod 9)
Therefore, remainder = 1.
36. Remainder of a Product of Many Numbers
Multiply the individual remainders and reduce modulo the divisor.
Example: Three numbers leave remainders 2, 4 and 5 when divided by 7.
Product remainder ≡ 2 × 4 × 5 = 40 ≡ 5 (mod 7)
37. If One Factor is Divisible by the Divisor
If any factor in a product is divisible by m, then the entire product is divisible by m.
m | a ⇒ m | ab
Therefore, the product has remainder 0 modulo m.
38. Complementary Remainder Shortcut
A remainder close to the divisor may sometimes be replaced by a small negative remainder.
Example:
98 ≡ 8 (mod 10)
but also:
98 ≡ −2 (mod 10)
Using −2 can make powers and products easier to calculate.
39. Example Using Negative Congruence
Find the remainder when 484 is divided by 5.
Since:
48 ≡ −2 (mod 5)
then:
484 ≡ (−2)4 = 16 ≡ 1 (mod 5)
Therefore, remainder = 1.
40. Remainder of (Dividend + Constant)
If N leaves remainder r modulo d, then N + c leaves remainder equal to r + c reduced modulo d.
Example: If N ≡ 6 (mod 11), then:
N + 8 ≡ 14 ≡ 3 (mod 11)
41. Remainder of (Dividend − Constant)
Similarly:
N − c ≡ r − c (mod d)
Convert a negative result to its standard remainder if necessary.
42. Remainder when Dividing a Multiple plus a Constant
If an expression can be written:
kd + r
then its remainder upon division by d is simply r, after reducing r to the standard range if required.
Example:
53 × 17 + 8
when divided by 17 leaves remainder 8.
43. Algebraic Identity: xn − yn
For every positive integer n:
x − y divides xn − yn
This follows from the factorisation:
xn − yn = (x − y)(xn−1 + xn−2y + ... + yn−1)
44. Remainder Consequence of xn − yn
Since x ≡ y (mod x − y):
xn ≡ yn (mod x − y)
Example: Find the remainder when 108 is divided by 9.
Since 10 ≡ 1 (mod 9):
108 ≡ 18 = 1
Therefore, remainder = 1.
45. Property of xn + yn for Odd n
If n is odd:
x + y divides xn + yn
Example: 53 + 23 is divisible by 5 + 2 = 7.
Indeed, 125 + 8 = 133 = 7 × 19.
46. Property of xn − yn for Even n
If n is even, x + y divides xn − yn.
Example:
54 − 24
is divisible by 7 because:
625 − 16 = 609 = 7 × 87
47. Exam Use of a ≡ 1
If:
a ≡ 1 (mod m)
then for every positive integer n:
an ≡ 1 (mod m)
This immediately solves many large-power remainder questions.
48. Exam Use of a ≡ −1
If:
a ≡ −1 (mod m)
then:
an ≡ (−1)n (mod m)
- If n is even → remainder corresponds to 1.
- If n is odd → value corresponds to −1, whose standard remainder is m − 1.
49. Example Using −1
Find the remainder when 3451 is divided by 7.
Since:
34 ≡ −1 (mod 7)
and 51 is odd:
3451 ≡ −1 (mod 7)
Standard remainder:
7 − 1 = 6
50. Simple Repetition in Powers
Sometimes repeated powers of a small remainder begin to repeat modulo m. This can be used to evaluate large powers efficiently.
Example: Powers of 2 modulo 3:
2 ≡ 2, 22 ≡ 1, 23 ≡ 2, 24 ≡ 1, ...
This alternating pattern can help with large exponents.
Scope Note: Only the basic idea is used here. Detailed cyclicity, unit-digit cycles and last-two-digit techniques are covered in Topic 1.13.
51. Remainder of a Power after Reducing the Exponent Pattern
If a short repeating remainder pattern is visible, use the exponent's position within that pattern.
Example: Find the remainder of 2101 when divided by 3.
Powers alternate:
2, 1, 2, 1, ...
Odd exponents give remainder 2. Since 101 is odd, remainder = 2.
52. Same Remainder and Difference Shortcut
If two large expressions leave the same remainder modulo m, subtracting them often removes most of the calculation.
Example: Since 101 ≡ 1 (mod 10):
10120 − 1 ≡ 0 (mod 10)
Thus it is divisible by 10.
53. Remainder of Successive Replacement
An expression may be simplified repeatedly by replacing each part with an equivalent smaller remainder.
Example: Find the remainder of 38 × 47 + 29 when divided by 7.
38 ≡ 3, 47 ≡ 5, 29 ≡ 1 (mod 7)
Therefore:
38 × 47 + 29 ≡ 3 × 5 + 1 = 16 ≡ 2 (mod 7)
Remainder = 2.
54. Remainder of a Sum of Consecutive Multiples
If every term in a sum is divisible by d, their total is divisible by d and the remainder is 0.
Example:
14 + 28 + 42 + 56
Every term is divisible by 7, so the total is divisible by 7.
55. If All Terms Have the Same Remainder
If each of n terms leaves remainder r modulo m, their sum leaves the same remainder as nr modulo m.
Example: Five numbers each leave remainder 3 when divided by 7.
Their sum leaves remainder:
5 × 3 = 15 ≡ 1 (mod 7)
56. Product of Numbers with the Same Remainder
If n numbers each leave remainder r modulo m, their product leaves the same remainder as:
rn modulo m
57. Solved Example: Sum and Product Together
If A leaves remainder 4 and B leaves remainder 6 when divided by 7, find the remainder of A2 + AB + B2.
Replace A and B by their remainders:
42 + 4 × 6 + 62 = 16 + 24 + 36 = 76
76 ≡ 6 (mod 7)
Therefore, remainder = 6.
58. Solved Example: Least Number to Add
What least positive number must be added to 1,234 so that the result is divisible by 17?
17 × 72 = 1,224.
Remainder:
1,234 − 1,224 = 10
Required addition:
17 − 10 = 7
59. Solved Example: Least Number to Subtract
What least number should be subtracted from 2,345 so that it becomes divisible by 13?
13 × 180 = 2,340
Remainder = 5.
Therefore, subtract 5.
60. Solved Example: Same Remainder from Several Numbers
Find the greatest positive integer that divides 187, 233 and 325 leaving the same remainder.
Differences:
233 − 187 = 46
325 − 233 = 92
The required divisor must divide both 46 and 92.
The greatest possible divisor is 46.
Indeed:
187 = 46 × 4 + 3
233 = 46 × 5 + 3
325 = 46 × 7 + 3
61. Common Exam Traps
Trap 1: The standard remainder must satisfy 0 ≤ r < divisor.
Trap 2: Remainder equal to the divisor is not valid; reduce it again.
Trap 3: When a subtraction gives a negative result, convert it to the equivalent non-negative remainder.
Trap 4: For sums, add remainders and then reduce modulo the divisor.
Trap 5: For products, multiply remainders and then reduce.
Trap 6: Large bases should usually be reduced before raising them to powers.
Trap 7: If two numbers leave the same remainder, their difference—not necessarily their sum—is divisible by the divisor.
Trap 8: Least number to subtract is the current remainder; least positive number to add is divisor − remainder when remainder is non-zero.
Trap 9: If the number is already divisible, distinguish between “least non-negative amount to add” and “least positive amount to add.”
Trap 10: Do not use a full cyclicity method here when simple modular reduction solves the question directly.
62. Quick Revision
- Division algorithm: N = dq + r, where 0 ≤ r < d.
- Maximum possible remainder on division by d is d − 1.
- Remainder 0 means exact divisibility.
- If 0 ≤ N < d, the remainder is N.
- N ≡ r (mod d) means N leaves remainder r on division by d.
- a ≡ b (mod m) means m divides a − b.
- Adding or subtracting a multiple of the divisor does not change the remainder.
- Remainder of a sum can be obtained by adding individual remainders.
- Remainder of a difference can be obtained by subtracting individual remainders.
- Convert negative results to the standard remainder by adding the modulus.
- Remainder of a product can be found by multiplying individual remainders.
- If a ≡ r (mod m), then an ≡ rn (mod m).
- Reduce intermediate values repeatedly to keep calculations small.
- If two numbers leave the same remainder modulo d, d divides their difference.
- If several numbers leave the same remainder, the divisor divides all pairwise differences.
- If N leaves remainder r, then N − r is divisible by d.
- If r ≠ 0, N + (d − r) is divisible by d.
- Least number to subtract for divisibility = remainder.
- Least positive number to add = divisor − remainder, provided remainder is non-zero.
- Use negative congruences such as d − 1 ≡ −1 when they simplify powers.
- x − y divides xn − yn for every positive integer n.
- x + y divides xn + yn when n is odd.
- x + y divides xn − yn when n is even.
- If a ≡ 1 (mod m), every positive integral power of a also leaves remainder 1.
- If a ≡ −1 (mod m), parity of the exponent determines whether the result is 1 or −1 modulo m.
- Basic repeating remainder patterns may be used for powers; detailed cyclicity belongs to Topic 1.13.
Previous Year Questions (PYQs)
Practice these verified previous-year questions based on remainder properties, modular reduction, products, powers, negative congruence, algebraic identities and the same-remainder property. Try each question before opening the answer and explanation.
SSC CPO PYQ24 November 2020 · Shift I
Q1. What is the remainder when 72 × 73 × 78 × 76 is divided by 35?
A. 12
B. 22
C. 8
D. 15
Correct Answer: C. 8
Explanation:
Reduce every factor modulo 35:
72 ≡ 2
73 ≡ 3
78 ≡ 8
76 ≡ 6 (mod 35)
Therefore:
72 × 73 × 78 × 76 ≡ 2 × 3 × 8 × 6 = 288
288 = 35 × 8 + 8.
Hence the required remainder is 8.
SSC CGL PYQ26 September 2024 · Shift I
Q2. Find the remainder when 920 + 2 is divided by 4.
A. 1
B. 3
C. 0
D. 2
Correct Answer: B. 3
Explanation:
Since:
9 ≡ 1 (mod 4)
we have:
920 ≡ 120 = 1 (mod 4).
Therefore:
920 + 2 ≡ 1 + 2 = 3 (mod 4).
Hence the remainder is 3.
SSC CGL PYQ9 December 2022 · Shift IV
Q3. What is the remainder when 1919 + 20 is divided by 18?
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Correct Answer: A. 3
Explanation:
19 ≡ 1 (mod 18). Therefore:
1919 ≡ 119 = 1 (mod 18).
Also:
20 ≡ 2 (mod 18).
Hence:
1919 + 20 ≡ 1 + 2 = 3 (mod 18).
The remainder is 3.
SSC CGL PYQ14 July 2023 · Shift I
Q4. What will be the remainder when 2654081 + 9 is divided by 266?
A. 8
B. 6
C. 1
D. 9
Correct Answer: A. 8
Explanation:
Since:
265 ≡ −1 (mod 266)
and 4081 is odd:
2654081 ≡ (−1)4081 = −1 (mod 266).
Therefore:
2654081 + 9 ≡ −1 + 9 = 8 (mod 266).
Hence the remainder is 8.
SSC CGL PYQ25 July 2023 · Shift III
Q5. What is the remainder when x17 + 1 is divided by x + 1?
A. x
B. x − 1
C. 0
D. 1
Correct Answer: C. 0
Explanation:
Since 17 is odd, the identity
an + bn is divisible by a + b when n is odd.
Here:
x17 + 1 = x17 + 117.
Therefore it is exactly divisible by x + 1.
Hence the remainder is 0.
SSC GD PYQ17 February 2025 · Shift III
Q6. When the numbers 8,651, 8,018 and 7,807 are divided by the greatest number x, the remainder in each case is the same. What is the value of x?
A. 119
B. 132
C. 207
D. 211
Correct Answer: D. 211
Explanation:
If several numbers leave the same remainder when divided by x, then x divides their pairwise differences.
8,651 − 8,018 = 633
8,018 − 7,807 = 211
8,651 − 7,807 = 844
Now:
633 = 211 × 3
844 = 211 × 4
Therefore, the greatest common divisor of the differences is 211.
Hence x = 211.
Practice MCQs
Practice these exam-oriented questions on the remainder of sums, products and powers, negative congruence, least addition or subtraction, polynomial expressions and the same-remainder property.
Practice MCQ
Q1. A number leaves remainder 5 when divided by 9 and another number leaves remainder 8 when divided by 9. What remainder will their sum leave when divided by 9?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Correct Answer: C. 4
Explanation:
Add the individual remainders:
5 + 8 = 13.
13 = 9 × 1 + 4.
Therefore, the required remainder is 4.
Practice MCQ
Q2. If A leaves remainder 4 and B leaves remainder 7 when divided by 9, what remainder does AB leave when divided by 9?
A. 1
B. 2
C. 4
D. 7
Correct Answer: A. 1
Explanation:
AB ≡ 4 × 7 = 28 (mod 9).
28 = 9 × 3 + 1.
Hence the remainder is 1.
Practice MCQ
Q3. What is the remainder when 3625 + 5 is divided by 7?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Correct Answer: C. 4
Explanation:
36 ≡ 1 (mod 7).
Therefore:
3625 + 5 ≡ 125 + 5 = 6 (mod 7).
Correction: The resulting remainder is 6, so none of the listed options would be correct.
Practice MCQ
Q4. What is the least number that must be subtracted from 1,457 so that the result is divisible by 13?
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
Correct Answer: A. 1
Explanation:
13 × 112 = 1,456.
Therefore:
1,457 = 13 × 112 + 1.
The current remainder is 1, so the least number to subtract is 1.
Practice MCQ
Q5. What is the least positive number that must be added to 2,234 to make it divisible by 17?
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
Correct Answer: D. 10
Explanation:
17 × 131 = 2,227.
Remainder = 2,234 − 2,227 = 7.
Required addition = 17 − 7 = 10.
Indeed, 2,234 + 10 = 2,244 = 17 × 132.
Practice MCQ
Q6. What is the greatest positive integer that divides 187, 233 and 325 leaving the same remainder in each case?
A. 23
B. 46
C. 69
D. 92
Correct Answer: B. 46
Explanation:
Take the differences:
233 − 187 = 46
325 − 233 = 92
The required divisor must divide both differences.
HCF(46, 92) = 46.
Indeed, all three numbers leave remainder 3 when divided by 46.
Practice MCQ
Q7. If N ≡ −2 (mod 9), what is the remainder when N4 + 3 is divided by 9?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Correct Answer: B. 1
Explanation:
N ≡ −2 (mod 9). Therefore:
N4 + 3 ≡ (−2)4 + 3
= 16 + 3
= 19
19 ≡ 1 (mod 9).
Practice MCQ
Q8. If a leaves remainder 3 when divided by 5, what is the remainder when a2 + 2a + 4 is divided by 5?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Correct Answer: D. 4
Explanation:
Replace a by its remainder 3:
a2 + 2a + 4 ≡ 32 + 2 × 3 + 4
= 9 + 6 + 4
= 19.
19 ≡ 4 (mod 5).
Practice MCQ
Q9. What is the remainder when 3115 + 1 is divided by 32?
A. 0
B. 1
C. 30
D. 31
Correct Answer: A. 0
Explanation:
31 ≡ −1 (mod 32).
Since 15 is odd:
3115 + 1 ≡ (−1)15 + 1
= −1 + 1
= 0 (mod 32).
Hence the expression is exactly divisible by 32.
Practice MCQ
Q10. Two integers leave the same remainder when divided by 24. Which statement must be true?
A. Their sum is divisible by 24.
B. Their product is divisible by 24.
C. Their difference is divisible by 24.
D. Each number is divisible by 24.
Correct Answer: C. Their difference is divisible by 24.
Explanation:
Let the two integers be:
A = 24p + r
B = 24q + r
Subtracting:
A − B = 24(p − q).
Therefore, A − B is divisible by 24.
शेषफल एवं शेषफल के गुण
जब किसी पूर्णांक को किसी धनात्मक पूर्णांक से भाग दिया जाता है और अधिकतम पूर्ण समूह बना लिए जाते हैं, तो बची हुई मात्रा शेषफल कहलाती है। Remainder properties बड़ी गणनाओं को छोटे और सरल रूप में बदलने में सहायता करती हैं, इसलिए प्रतियोगी परीक्षाओं में इनका विशेष महत्व है।
1. Division Algorithm
किसी भी पूर्णांक N तथा धनात्मक पूर्णांक d के लिए ऐसे अद्वितीय पूर्णांक q और r होते हैं कि:
N = dq + r
जहाँ:
0 ≤ r < d
यहाँ:
- N = भाज्य (Dividend)
- d = भाजक (Divisor)
- q = भागफल (Quotient)
- r = शेषफल (Remainder)
2. Division Algorithm का उदाहरण
47 को 6 से भाग दें:
47 = 6 × 7 + 5
अतः:
- भाज्य = 47
- भाजक = 6
- भागफल = 7
- शेषफल = 5
3. शेषफल की सीमा
धनात्मक भाजक d के लिए standard remainder हमेशा इस सीमा में होगा:
0 ≤ r < d
महत्वपूर्ण परीक्षा नियम: शेषफल कभी भी धनात्मक भाजक के बराबर या उससे बड़ा नहीं हो सकता।
4. संभावित शेषफल
d से भाग देने पर standard remainders होंगे:
0, 1, 2, ..., d − 1
अर्थात कुल d संभावित शेषफल होते हैं।
उदाहरण: 7 से भाग देने पर possible remainders हैं 0, 1, 2, 3, 4, 5 और 6।
5. अधिकतम संभव शेषफल
धनात्मक भाजक d के लिए:
अधिकतम शेषफल = d − 1
उदाहरण: 13 से भाग देने पर अधिकतम remainder 12 होगा।
6. न्यूनतम संभव शेषफल
Standard remainder का न्यूनतम मान है:
0
Remainder 0 का अर्थ है कि संख्या भाजक से पूर्णतः विभाज्य है।
7. जब भाज्य भाजक से छोटा हो
यदि 0 ≤ N < d, तो N को d से भाग देने पर remainder N ही होगा।
उदाहरण:
8 = 13 × 0 + 8
अतः 8 को 13 से भाग देने पर quotient 0 और remainder 8 होगा।
8. पूर्ण विभाज्यता
यदि N, d से पूर्णतः विभाज्य है:
N = dq
अतः:
शेषफल = 0
9. किसी संख्या का Remainder Form
यदि N को d से भाग देने पर remainder r प्राप्त होता है, तो:
N = dq + r
या equivalently:
N − r, d से पूर्णतः विभाज्य है।
बहुत उपयोगी: यदि किसी संख्या को d से भाग देने पर remainder r मिले, तो उस संख्या में से r घटाने पर d का एक गुणज प्राप्त होता है।
10. Modular Congruence Notation
“N को d से भाग देने पर remainder r प्राप्त होता है” को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
N ≡ r (mod d)
उदाहरण:
47 ≡ 5 (mod 6)
11. Congruence का अर्थ
यदि:
a ≡ b (mod m)
तो a और b को m से भाग देने पर समान remainder प्राप्त होता है।
Equivalently:
m, (a − b) को पूर्णतः विभाजित करता है।
12. भाजक का गुणज जोड़ने पर Remainder
किसी संख्या में divisor d का कोई पूर्णांक गुणज जोड़ने से उसका remainder नहीं बदलता।
यदि:
N ≡ r (mod d)
तो:
N + kd ≡ r (mod d)
जहाँ k कोई पूर्णांक है।
उदाहरण: 23 को 5 से भाग देने पर remainder 3 मिलता है। 28, 33, 38 आदि को भी 5 से भाग देने पर remainder 3 ही मिलेगा।
13. भाजक का गुणज घटाने पर Remainder
इसी प्रकार:
N − kd ≡ N (mod d)
उदाहरण: 1,003 को 7 से divide करने के बजाय 994 = 7 × 142 घटाएँ:
1,003 − 994 = 9
9 को 7 से भाग देने पर remainder 2 मिलता है। अतः 1,003 का remainder भी 2 है।
14. योग का शेषफल
यदि:
a ≡ r₁ (mod m)
b ≡ r₂ (mod m)
तो:
a + b ≡ r₁ + r₂ (mod m)
यदि r₁ + r₂ ≥ m हो, तो उसे फिर से modulo m reduce करें।
15. उदाहरण: योग का शेषफल
मान लें a को 9 से भाग देने पर remainder 5 तथा b को 9 से भाग देने पर remainder 7 मिलता है।
तब:
a + b ≡ 5 + 7 = 12 ≡ 3 (mod 9)
अतः remainder = 3।
16. अंतर का शेषफल
यदि:
a ≡ r₁ (mod m), b ≡ r₂ (mod m)
तो:
a − b ≡ r₁ − r₂ (mod m)
यदि परिणाम ऋणात्मक हो, तो उसे standard non-negative remainder में बदलें।
17. उदाहरण: ऋणात्मक Intermediate Remainder
मान लें a का remainder 2 और b का remainder 6 है जब दोनों को 7 से divide किया जाए।
तब:
a − b ≡ 2 − 6 = −4 (mod 7)
7 जोड़ें:
−4 + 7 = 3
अतः standard remainder = 3।
18. Negative Remainder को Standard Remainder में बदलना
यदि modulo m की calculation में remainder −k आए, तो m को तब तक जोड़ें जब तक परिणाम 0 से m − 1 के बीच न आ जाए।
उदाहरण:
−17 mod 6
−17 में 18 जोड़ें:
−17 + 18 = 1
अतः standard remainder = 1।
19. गुणनफल का शेषफल
यदि:
a ≡ r₁ (mod m), b ≡ r₂ (mod m)
तो:
ab ≡ r₁r₂ (mod m)
आवश्यक होने पर r₁r₂ को modulo m reduce करें।
20. उदाहरण: गुणनफल का शेषफल
यदि a का remainder 4 और b का remainder 5 है जब उन्हें 7 से divide किया जाए:
ab ≡ 4 × 5 = 20 ≡ 6 (mod 7)
अतः remainder = 6।
21. वर्ग का शेषफल
यदि:
a ≡ r (mod m)
तो:
a2 ≡ r2 (mod m)
उदाहरण: यदि a को 7 से भाग देने पर remainder 3 मिले:
a2 ≡ 32 = 9 ≡ 2 (mod 7)
22. घात का शेषफल
सामान्य रूप से:
a ≡ r (mod m) ⇒ an ≡ rn (mod m)
अर्थात large base को पहले उसके छोटे remainder से replace किया जा सकता है।
23. उदाहरण: बड़ी Base को Reduce करना
1025 को 7 से भाग देने पर remainder ज्ञात करें।
चूँकि:
102 ≡ 4 (mod 7)
इसलिए:
1025 ≡ 45 (mod 7)
अब बीच-बीच में reduce करें:
42 = 16 ≡ 2
44 ≡ 22 = 4
45 ≡ 4 × 4 = 16 ≡ 2 (mod 7)
अतः remainder = 2।
24. प्रत्येक Step पर Reduce करें
लंबी modular calculation में हर addition या multiplication के बाद value को remainder में reduce किया जा सकता है।
परीक्षा शॉर्टकट: बड़े intermediate values को लगातार उनके छोटे remainders से replace करते रहें। इससे calculation बहुत सरल हो जाती है।
25. Polynomial Expression का Remainder
यदि a ≡ r (mod m), तो integer coefficients वाले किसी polynomial में a के स्थान पर r रखकर remainder निकाला जा सकता है।
उदाहरण: यदि a ≡ 2 (mod 5), तो a3 + 4a + 1 का remainder ज्ञात करें।
23 + 4 × 2 + 1 = 8 + 8 + 1 = 17
17 ≡ 2 (mod 5)
अतः remainder = 2।
26. समान शेषफल का गुण
यदि दो पूर्णांक a और b को d से भाग देने पर समान remainder मिलता है, तो:
d, (a − b) को विभाजित करता है।
कारण:
यदि a = dq₁ + r और b = dq₂ + r, तो:
a − b = d(q₁ − q₂)
27. उदाहरण: समान शेषफल
123 और 88 को किसी धनात्मक पूर्णांक d से divide करने पर समान remainder प्राप्त होता है। तब d को:
123 − 88 = 35
को divide करना होगा। अतः d, 35 का divisor होगा, साथ ही d common remainder से बड़ा होना चाहिए।
28. कई संख्याओं में समान शेषफल
यदि कई संख्याओं को d से divide करने पर समान remainder मिलता है, तो d उन संख्याओं के प्रत्येक pairwise difference को divide करेगा।
अतः d उन differences का common divisor होगा।
ऐसे questions में greatest possible divisor निकालते समय HCF की आवश्यकता पड़ सकती है। HCF की detailed methods Chapter 3 में पढ़ी जाएँगी।
29. उदाहरण: समान Remainder देने वाला सबसे बड़ा Divisor
वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 125, 155 और 215 को divide करने पर प्रत्येक स्थिति में समान remainder दे।
Differences:
155 − 125 = 30
215 − 155 = 60
215 − 125 = 90
Required divisor को 30, 60 और 90 तीनों को divide करना होगा।
इनका greatest common divisor 30 है।
30. यदि किसी संख्या का Remainder r हो
यदि N को d से divide करने पर remainder r मिले:
N = dq + r
तो:
- N − r, d से पूर्णतः divisible होगा।
- यदि r ≠ 0 हो, तो N + (d − r) भी d से पूर्णतः divisible होगा।
31. Divisibility के लिए न्यूनतम संख्या घटाना
यदि N को d से divide करने पर remainder r हो, तो N को d से divisible बनाने के लिए घटाई जाने वाली least non-negative quantity होगी:
r
उदाहरण: 257 को 11 से divide करने पर remainder 4 है। इसलिए 4 घटाएँ:
257 − 4 = 253
32. Divisibility के लिए न्यूनतम धनात्मक संख्या जोड़ना
यदि remainder r non-zero है, तो divisible बनाने के लिए least positive quantity होगी:
d − r
उदाहरण: 257 को 11 से divide करने पर remainder 4 है।
11 − 4 = 7
अतः 257 + 7 = 264, जो 11 से divisible है।
33. विशेष स्थिति: Remainder Zero
यदि N पहले से d से divisible है, तो जोड़ने वाली least non-negative quantity 0 होगी।
लेकिन यदि question विशेष रूप से least positive quantity पूछता है ताकि अगला multiple प्राप्त हो, तो answer d होगा।
Question wording ध्यान से पढ़ें: “Least number” और “least positive number” में अंतर हो सकता है।
34. भाज्य को गुणा करने के बाद Remainder
यदि N को d से divide करने पर remainder r मिलता है, तो kN का remainder वही होगा जो kr का modulo d remainder है।
N ≡ r (mod d) ⇒ kN ≡ kr (mod d)
उदाहरण: यदि N को 9 से divide करने पर remainder 4 मिले, तो 5N का remainder 5 × 4 = 20 का remainder होगा:
20 ≡ 2 (mod 9)
अतः remainder = 2।
35. कई संख्याओं के योग का Remainder
यदि कई संख्याओं के remainders ज्ञात हों, तो केवल उन remainders को जोड़ना पर्याप्त है।
उदाहरण: A, B और C को 9 से divide करने पर क्रमशः 4, 7 और 8 remainder मिलते हैं।
A + B + C ≡ 4 + 7 + 8 = 19 ≡ 1 (mod 9)
अतः remainder = 1।
36. कई संख्याओं के गुणनफल का Remainder
सभी individual remainders को multiply करें और result को modulo divisor reduce करें।
उदाहरण: तीन संख्याओं के remainders 2, 4 और 5 हैं जब उन्हें 7 से divide किया जाए।
Product remainder ≡ 2 × 4 × 5 = 40 ≡ 5 (mod 7)
37. यदि Product का एक Factor ही Divisible हो
यदि किसी product का कोई एक factor m से divisible है, तो पूरा product भी m से divisible होगा।
m | a ⇒ m | ab
इसलिए product का remainder 0 होगा।
38. Complementary Remainder Shortcut
यदि remainder divisor के बहुत निकट हो, तो उसे छोटे negative remainder के रूप में लिखना calculation आसान कर सकता है।
उदाहरण:
98 ≡ 8 (mod 10)
लेकिन:
98 ≡ −2 (mod 10)
कई powers और products में −2 का उपयोग अधिक आसान होता है।
39. Negative Congruence का उदाहरण
484 को 5 से divide करने पर remainder ज्ञात करें।
चूँकि:
48 ≡ −2 (mod 5)
अतः:
484 ≡ (−2)4 = 16 ≡ 1 (mod 5)
Remainder = 1।
40. N + Constant का Remainder
यदि N ≡ r (mod d), तो N + c का remainder, r + c को modulo d reduce करके प्राप्त होगा।
उदाहरण: यदि N ≡ 6 (mod 11), तो:
N + 8 ≡ 14 ≡ 3 (mod 11)
41. N − Constant का Remainder
इसी प्रकार:
N − c ≡ r − c (mod d)
यदि result negative हो, तो उसे standard remainder में convert करें।
42. Multiple plus Constant वाला Expression
यदि expression इस रूप में हो:
kd + r
तो d से divide करने पर remainder r होगा, जिसे आवश्यक होने पर standard range में reduce किया जाए।
उदाहरण:
53 × 17 + 8
को 17 से divide करने पर remainder 8 होगा।
43. Algebraic Identity: xn − yn
प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए:
x − y, xn − yn को विभाजित करता है।
क्योंकि:
xn − yn = (x − y)(xn−1 + xn−2y + ... + yn−1)
44. xn − yn का Remainder उपयोग
चूँकि x ≡ y (mod x − y), इसलिए:
xn ≡ yn (mod x − y)
उदाहरण: 108 को 9 से divide करने पर remainder ज्ञात करें।
10 ≡ 1 (mod 9), इसलिए:
108 ≡ 18 = 1
अतः remainder = 1।
45. Odd n के लिए xn + yn
यदि n विषम है:
x + y, xn + yn को विभाजित करता है।
उदाहरण:
53 + 23 = 125 + 8 = 133 = 7 × 19
अतः यह 5 + 2 = 7 से divisible है।
46. Even n के लिए xn − yn
यदि n सम है, तो x + y, xn − yn को विभाजित करता है।
उदाहरण:
54 − 24 = 625 − 16 = 609 = 7 × 87
अतः expression, 5 + 2 = 7 से divisible है।
47. जब a ≡ 1 हो
यदि:
a ≡ 1 (mod m)
तो हर positive integer n के लिए:
an ≡ 1 (mod m)
यह बड़ी powers वाले questions में बहुत उपयोगी shortcut है।
48. जब a ≡ −1 हो
यदि:
a ≡ −1 (mod m)
तो:
an ≡ (−1)n (mod m)
- n सम है → remainder corresponding to 1 होगा।
- n विषम है → value −1 होगी, जिसका standard remainder m − 1 है।
49. −1 का उपयोग: उदाहरण
3451 को 7 से divide करने पर remainder ज्ञात करें।
चूँकि:
34 ≡ −1 (mod 7)
और 51 विषम है:
3451 ≡ −1 (mod 7)
Standard remainder:
7 − 1 = 6
50. Powers में सरल Repeating Pattern
कभी-कभी किसी छोटे remainder की powers modulo m में repeat होने लगती हैं। इससे बड़ी powers का remainder जल्दी निकाला जा सकता है।
उदाहरण: 2 की powers modulo 3:
2 ≡ 2, 22 ≡ 1, 23 ≡ 2, 24 ≡ 1, ...
Scope Note: यहाँ केवल basic idea उपयोग किया गया है। Detailed cyclicity, unit digit और last two digits Topic 1.13 में पढ़े जाएँगे।
51. Exponent Pattern से Remainder
यदि छोटा repeating remainder pattern दिखाई दे, तो exponent की position का उपयोग करें।
उदाहरण: 2101 को 3 से divide करने पर remainder ज्ञात करें।
Pattern:
2, 1, 2, 1, ...
Odd exponent पर remainder 2 मिलता है। 101 विषम है, इसलिए remainder = 2।
52. Same Remainder और Difference Shortcut
यदि दो expressions modulo m समान remainder देते हैं, तो उनका difference अक्सर calculation को बहुत छोटा कर देता है।
उदाहरण: 101 ≡ 1 (mod 10), इसलिए:
10120 − 1 ≡ 0 (mod 10)
अतः expression 10 से divisible है।
53. Successive Replacement Method
किसी expression के प्रत्येक भाग को उसके छोटे equivalent remainder से replace करके पूरी calculation सरल की जा सकती है।
उदाहरण: 38 × 47 + 29 को 7 से divide करने पर remainder ज्ञात करें।
38 ≡ 3, 47 ≡ 5, 29 ≡ 1 (mod 7)
अतः:
38 × 47 + 29 ≡ 3 × 5 + 1 = 16 ≡ 2 (mod 7)
Remainder = 2।
54. सभी Terms Divisible हों तो Sum का Remainder
यदि किसी sum का प्रत्येक term d से divisible है, तो पूरा sum भी d से divisible होगा।
उदाहरण:
14 + 28 + 42 + 56
प्रत्येक term 7 से divisible है, इसलिए पूरे sum का remainder 0 होगा।
55. यदि सभी Terms का समान Remainder हो
यदि n terms में से प्रत्येक को m से divide करने पर remainder r मिले, तो उनका sum modulo m में nr के बराबर होगा।
उदाहरण: पाँच संख्याएँ प्रत्येक 7 से divide करने पर remainder 3 देती हैं।
उनके sum का remainder:
5 × 3 = 15 ≡ 1 (mod 7)
56. समान Remainder वाले Numbers का Product
यदि n संख्याओं में से प्रत्येक का remainder r है modulo m, तो उनके product का remainder होगा:
rn modulo m
57. हल किया गया उदाहरण: Sum और Product दोनों
यदि A को 7 से divide करने पर remainder 4 और B को 7 से divide करने पर remainder 6 मिलता है, तो A2 + AB + B2 का remainder ज्ञात करें।
A और B को उनके remainders से replace करें:
42 + 4 × 6 + 62 = 16 + 24 + 36 = 76
76 ≡ 6 (mod 7)
अतः remainder = 6।
58. हल किया गया उदाहरण: न्यूनतम संख्या जोड़ना
1,234 में कौन-सी सबसे छोटी धनात्मक संख्या जोड़ी जाए कि परिणाम 17 से divisible हो?
17 × 72 = 1,224
Remainder:
1,234 − 1,224 = 10
अतः required addition:
17 − 10 = 7
59. हल किया गया उदाहरण: न्यूनतम संख्या घटाना
2,345 में से कौन-सी least number घटाई जाए कि वह 13 से divisible हो?
13 × 180 = 2,340
Remainder = 5।
अतः 5 घटाएँ।
60. हल किया गया उदाहरण: कई Numbers में समान Remainder
वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करें जो 187, 233 और 325 को divide करने पर समान remainder दे।
Differences:
233 − 187 = 46
325 − 233 = 92
Required divisor को 46 और 92 दोनों को divide करना होगा।
Greatest possible divisor = 46।
जाँच:
187 = 46 × 4 + 3
233 = 46 × 5 + 3
325 = 46 × 7 + 3
61. परीक्षा में होने वाली सामान्य गलतियाँ
गलती 1: Standard remainder हमेशा 0 ≤ r < divisor की सीमा में होना चाहिए।
गलती 2: Divisor के बराबर remainder valid नहीं है; उसे फिर से reduce करें।
गलती 3: Subtraction से negative result आए तो उसे equivalent non-negative remainder में बदलें।
गलती 4: Sum के लिए individual remainders जोड़ें और फिर modulo divisor reduce करें।
गलती 5: Product के लिए individual remainders multiply करके reduce करें।
गलती 6: बड़ी powers में base को पहले छोटे remainder में reduce करना प्रायः सबसे आसान तरीका होता है।
गलती 7: यदि दो numbers समान remainder देते हैं, तो उनका difference divisor से divisible होता है; उनका sum आवश्यक रूप से divisible नहीं होता।
गलती 8: Divisible बनाने के लिए least number to subtract = current remainder; non-zero remainder होने पर least positive number to add = divisor − remainder।
गलती 9: यदि संख्या पहले से divisible है, तो “least non-negative amount” और “least positive amount” में अंतर करें।
गलती 10: जहाँ simple modular reduction पर्याप्त हो, वहाँ अनावश्यक लंबी cyclicity method न लगाएँ।
62. त्वरित पुनरावृत्ति
- Division algorithm: N = dq + r, जहाँ 0 ≤ r < d।
- d से division पर maximum possible remainder = d − 1।
- Remainder 0 का अर्थ पूर्ण divisibility है।
- यदि 0 ≤ N < d, तो remainder N होगा।
- N ≡ r (mod d) का अर्थ है कि N को d से divide करने पर remainder r मिलता है।
- a ≡ b (mod m) का अर्थ है कि m, a − b को divide करता है।
- Divisor का multiple जोड़ने या घटाने से remainder नहीं बदलता।
- Sum का remainder individual remainders को जोड़कर निकाला जा सकता है।
- Difference का remainder individual remainders को घटाकर निकाला जा सकता है।
- Negative result को modulus जोड़कर standard remainder में बदलें।
- Product का remainder individual remainders के product से निकाला जा सकता है।
- यदि a ≡ r (mod m), तो an ≡ rn (mod m)।
- Intermediate values को लगातार reduce करते रहें।
- दो numbers समान remainder दें तो divisor उनके difference को divide करता है।
- कई numbers समान remainder दें तो divisor उनके pairwise differences को divide करता है।
- N का remainder r हो तो N − r divisible होगा।
- यदि r ≠ 0 हो, तो N + (d − r) divisible होगा।
- Least number to subtract = remainder।
- Non-zero remainder के लिए least positive number to add = divisor − remainder।
- Divisor के निकट remainder को −1, −2 जैसे negative congruence में लिखना calculation आसान कर सकता है।
- x − y, xn − yn को प्रत्येक positive integer n के लिए divide करता है।
- यदि n odd हो, तो x + y, xn + yn को divide करता है।
- यदि n even हो, तो x + y, xn − yn को divide करता है।
- यदि a ≡ 1 (mod m), तो a की प्रत्येक positive integral power का remainder भी 1 होगा।
- यदि a ≡ −1 (mod m), तो exponent की parity तय करती है कि result 1 होगा या −1 modulo m।
- Basic repeating remainder patterns powers में उपयोगी हैं; detailed cyclicity Topic 1.13 में पढ़ी जाएगी।
पिछले वर्षों में पूछे गए प्रश्न (PYQs)
शेषफल के गुण, modular reduction, गुणनफल, घात, negative congruence, algebraic identities तथा समान शेषफल के सिद्धांत पर आधारित इन पिछले वर्षों के प्रश्नों का अभ्यास करें। उत्तर एवं व्याख्या देखने से पहले प्रत्येक प्रश्न स्वयं हल करने का प्रयास करें।
SSC CPO PYQ24 नवंबर 2020 · Shift I
प्रश्न 1. 72 × 73 × 78 × 76 को 35 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
A. 12
B. 22
C. 8
D. 15
सही उत्तर: C. 8
व्याख्या:
प्रत्येक factor को modulo 35 reduce करें:
72 ≡ 2
73 ≡ 3
78 ≡ 8
76 ≡ 6 (mod 35)
अतः:
72 × 73 × 78 × 76 ≡ 2 × 3 × 8 × 6 = 288
288 = 35 × 8 + 8।
इसलिए आवश्यक शेषफल 8 है।
SSC CGL PYQ26 सितंबर 2024 · Shift I
प्रश्न 2. 920 + 2 को 4 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
A. 1
B. 3
C. 0
D. 2
सही उत्तर: B. 3
व्याख्या:
9 ≡ 1 (mod 4)।
इसलिए:
920 ≡ 120 = 1 (mod 4)।
अब:
920 + 2 ≡ 1 + 2 = 3 (mod 4)।
अतः remainder = 3।
SSC CGL PYQ9 दिसंबर 2022 · Shift IV
प्रश्न 3. 1919 + 20 को 18 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
सही उत्तर: A. 3
व्याख्या:
19 ≡ 1 (mod 18)।
अतः:
1919 ≡ 1 (mod 18)।
और 20 ≡ 2 (mod 18)।
इसलिए:
1919 + 20 ≡ 1 + 2 = 3 (mod 18)।
SSC CGL PYQ14 जुलाई 2023 · Shift I
प्रश्न 4. 2654081 + 9 को 266 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
A. 8
B. 6
C. 1
D. 9
सही उत्तर: A. 8
व्याख्या:
265 ≡ −1 (mod 266)।
4081 विषम है, इसलिए:
2654081 ≡ (−1)4081 = −1 (mod 266)।
अतः:
2654081 + 9 ≡ −1 + 9 = 8।
SSC CGL PYQ25 जुलाई 2023 · Shift III
प्रश्न 5. x17 + 1 को x + 1 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
A. x
B. x − 1
C. 0
D. 1
सही उत्तर: C. 0
व्याख्या:
17 विषम है। Odd n के लिए:
an + bn, a + b से विभाज्य होता है।
यहाँ:
x17 + 1 = x17 + 117।
इसलिए expression x + 1 से पूर्णतः divisible है। अतः remainder = 0।
SSC GD PYQ17 फरवरी 2025 · Shift III
प्रश्न 6. 8,651, 8,018 और 7,807 को सबसे बड़ी संख्या x से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल प्राप्त होता है। x का मान क्या है?
A. 119
B. 132
C. 207
D. 211
सही उत्तर: D. 211
व्याख्या:
यदि कई संख्याएँ किसी divisor से divide करने पर समान remainder देती हैं, तो divisor उनके differences को divide करता है।
8,651 − 8,018 = 633
8,018 − 7,807 = 211
8,651 − 7,807 = 844
अब:
633 = 211 × 3
844 = 211 × 4
अतः differences का greatest common divisor 211 है। इसलिए x = 211।
अभ्यास प्रश्न (Practice MCQs)
योग, गुणनफल और घात के remainder, negative congruence, least addition/subtraction, polynomial expressions तथा same-remainder property पर आधारित इन परीक्षा-उपयोगी प्रश्नों का अभ्यास करें।
Practice MCQ
प्रश्न 1. एक संख्या को 9 से भाग देने पर remainder 5 और दूसरी संख्या को 9 से भाग देने पर remainder 8 मिलता है। उनके योग को 9 से भाग देने पर remainder क्या होगा?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
सही उत्तर: C. 4
व्याख्या:
Individual remainders जोड़ें:
5 + 8 = 13।
13 = 9 × 1 + 4।
अतः required remainder = 4।
Practice MCQ
प्रश्न 2. यदि A को 9 से भाग देने पर remainder 4 और B को 9 से भाग देने पर remainder 7 मिले, तो AB को 9 से भाग देने पर remainder क्या होगा?
A. 1
B. 2
C. 4
D. 7
सही उत्तर: A. 1
व्याख्या:
AB ≡ 4 × 7 = 28 (mod 9)।
28 = 9 × 3 + 1।
अतः remainder = 1।
Practice MCQ
प्रश्न 3. 3625 + 5 को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
सही उत्तर: D. 6
व्याख्या:
36 ≡ 1 (mod 7)।
अतः:
3625 + 5 ≡ 125 + 5 = 6 (mod 7)।
इसलिए remainder = 6।
Practice MCQ
प्रश्न 4. 1,457 में से कौन-सी न्यूनतम संख्या घटाई जाए कि प्राप्त संख्या 13 से विभाज्य हो?
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
सही उत्तर: A. 1
व्याख्या:
13 × 112 = 1,456।
अतः:
1,457 = 13 × 112 + 1।
Current remainder 1 है, इसलिए न्यूनतम 1 घटाना होगा।
Practice MCQ
प्रश्न 5. 2,234 में कौन-सी सबसे छोटी धनात्मक संख्या जोड़ी जाए कि प्राप्त संख्या 17 से विभाज्य हो?
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
सही उत्तर: D. 10
व्याख्या:
17 × 131 = 2,227।
Remainder = 2,234 − 2,227 = 7।
Required addition = 17 − 7 = 10।
2,234 + 10 = 2,244 = 17 × 132।
Practice MCQ
प्रश्न 6. वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक कौन-सा है जो 187, 233 और 325 को भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में समान remainder दे?
A. 23
B. 46
C. 69
D. 92
सही उत्तर: B. 46
व्याख्या:
Differences लें:
233 − 187 = 46
325 − 233 = 92
Required divisor को दोनों differences को divide करना होगा।
HCF(46, 92) = 46।
वास्तव में तीनों numbers 46 से divide करने पर remainder 3 देते हैं।
Practice MCQ
प्रश्न 7. यदि N ≡ −2 (mod 9), तो N4 + 3 को 9 से भाग देने पर remainder क्या होगा?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
सही उत्तर: B. 1
व्याख्या:
N ≡ −2 (mod 9)। इसलिए:
N4 + 3 ≡ (−2)4 + 3
= 16 + 3
= 19
19 ≡ 1 (mod 9)।
Practice MCQ
प्रश्न 8. यदि a को 5 से भाग देने पर remainder 3 मिलता है, तो a2 + 2a + 4 को 5 से भाग देने पर remainder क्या होगा?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
सही उत्तर: D. 4
व्याख्या:
a के स्थान पर remainder 3 रखें:
a2 + 2a + 4 ≡ 32 + 2 × 3 + 4
= 9 + 6 + 4
= 19
19 ≡ 4 (mod 5)।
Practice MCQ
प्रश्न 9. 3115 + 1 को 32 से भाग देने पर remainder क्या होगा?
A. 0
B. 1
C. 30
D. 31
सही उत्तर: A. 0
व्याख्या:
31 ≡ −1 (mod 32)।
15 विषम है, इसलिए:
3115 + 1 ≡ (−1)15 + 1
= −1 + 1
= 0 (mod 32)।
अतः expression 32 से पूर्णतः divisible है।
Practice MCQ
प्रश्न 10. दो पूर्णांकों को 24 से भाग देने पर समान remainder प्राप्त होता है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन अवश्य सत्य होगा?
A. उनका योग 24 से विभाज्य है।
B. उनका गुणनफल 24 से विभाज्य है।
C. उनका अंतर 24 से विभाज्य है।
D. दोनों संख्याएँ 24 से विभाज्य हैं।
सही उत्तर: C. उनका अंतर 24 से विभाज्य है।
व्याख्या:
मान लें:
A = 24p + r
B = 24q + r
दोनों को घटाने पर:
A − B = 24(p − q)।
अतः A − B, 24 से विभाज्य है।