Number, Sum & Product of Factors
Once a positive integer is written in prime-factor form, we can determine its number of positive factors, sum of factors, product of factors and several special categories of factors without listing every divisor individually. These formulas are extremely useful in competitive examinations.
1. Basic Prime-Factor Form
Let a positive integer N greater than 1 have the prime factorisation:
N = p1a₁p2a₂...praᵣ
where p1, p2, ..., pr are distinct primes and a₁, a₂, ..., aᵣ are positive integers.
2. How Every Factor is Formed
Every positive factor of N has the form:
d = p1b₁p2b₂...prbᵣ
where:
0 ≤ b₁ ≤ a₁, 0 ≤ b₂ ≤ a₂, ..., 0 ≤ bᵣ ≤ aᵣ
Each exponent can be selected independently.
3. Number of Positive Factors
If:
N = paqbrc...
then the number of positive factors is:
d(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)...
Main Formula: Add 1 to every exponent in the prime factorisation and multiply the results.
4. Why the Formula Works
For a factor of N:
- The exponent of p can be 0, 1, ..., a → a + 1 choices.
- The exponent of q can be 0, 1, ..., b → b + 1 choices.
- The exponent of r can be 0, 1, ..., c → c + 1 choices.
Since these choices are independent, the total number of factors is their product.
5. Example: Number of Factors of 72
72 = 23 × 32
Therefore:
d(72) = (3 + 1)(2 + 1) = 4 × 3 = 12
Hence, 72 has 12 positive factors.
6. Example: Number of Factors of 360
360 = 23 × 32 × 5
Therefore:
d(360) = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24
7. Prime Number and Number of Factors
If p is prime:
p = p1
Therefore:
d(p) = 1 + 1 = 2
This agrees with the definition that a prime has exactly two distinct positive factors: 1 and itself.
8. Prime Square and Three Factors
If N = p2, where p is prime:
d(N) = 2 + 1 = 3
Its factors are:
1, p, p2
Important: A positive integer has exactly three positive factors if and only if it is the square of a prime number.
9. Exactly Four Positive Factors
For d(N) = 4, the exponent pattern can be:
- 4 = 3 + 1 → N = p3
- 4 = 2 × 2 → N = pq, where p and q are distinct primes.
Examples: 8 = 23 and 15 = 3 × 5 each have exactly four positive factors.
10. Exactly Five Positive Factors
Since 5 is prime:
d(N) = 5 ⇒ N = p4
where p is prime.
Example: 16 = 24 has exactly 5 positive factors.
11. Exactly Six Positive Factors
Since 6 can be written as 6 or 3 × 2, the possible exponent patterns are:
- N = p5
- N = p2q, where p and q are distinct primes.
12. General Exact-Factor Pattern
To construct a number having exactly k positive factors, factorise k and relate its factors to exponent-plus-one values.
Example: For exactly 12 factors:
12 = 12 = 6 × 2 = 4 × 3 = 3 × 2 × 2
Possible exponent patterns include:
where distinct letters represent distinct primes.
13. Smallest Number Having a Given Number of Factors
When constructing the smallest number with a specified factor count, assign the largest exponent to the smallest prime, the next-largest exponent to the next-smallest prime, and so on.
Example: Find the smallest number with 6 positive factors.
Possible forms:
p5 or p2q
Smallest values:
25 = 32
22 × 3 = 12
Therefore, the smallest number having exactly 6 positive factors is 12.
14. Why Larger Exponents Go with Smaller Primes
To minimise a product with a fixed exponent pattern, larger exponents should be placed on smaller prime bases.
For example:
23 × 3 = 24
is smaller than:
2 × 33 = 54
15. Factors Occur in Pairs
If d is a positive factor of N, then N/d is also a positive factor.
Thus factors usually occur in pairs:
d × (N/d) = N
16. Perfect Squares Have an Odd Number of Factors
For a non-square, every factor pairs with a different factor, so the number of positive factors is even.
For a perfect square, √N pairs with itself, leaving one unpaired factor.
Important Theorem: A positive integer has an odd number of positive factors if and only if it is a perfect square.
17. Example: Odd Number of Factors
144 = 24 × 32
Number of factors:
(4 + 1)(2 + 1) = 15
15 is odd, and 144 is indeed a perfect square.
18. Non-Squares Have an Even Number of Factors
If at least one exponent in the prime factorisation is odd, N is not a perfect square and d(N) is even.
Example:
72 = 23 × 32
d(72) = 4 × 3 = 12, which is even.
19. Number of Odd Factors
Suppose:
N = 2apbqc...
An odd factor cannot contain any factor 2. Therefore its exponent of 2 must be 0.
Hence:
Number of odd factors = (b + 1)(c + 1)...
20. Example: Odd Factors of 360
360 = 23 × 32 × 5
Ignore the power of 2:
Number of odd factors = (2 + 1)(1 + 1) = 6
21. Number of Even Factors
For an even positive integer:
Number of even factors = Total factors − Odd factors
22. Example: Even Factors of 360
Total factors of 360 = 24.
Odd factors = 6.
Therefore:
Even factors = 24 − 6 = 18
23. Direct Formula for Even Factors
If:
N = 2apbqc...
an even factor must contain 2 to exponent 1, 2, ..., a, giving a choices.
Therefore:
Even factors = a(b + 1)(c + 1)...
24. Number of Factors Divisible by a Given Divisor
Let:
N = paqbrc
and suppose we want factors of N divisible by:
M = pxqyrz
where M divides N.
The exponent of p in such a factor can range from x to a, giving a − x + 1 choices, and similarly for the other primes.
Hence:
Number = (a − x + 1)(b − y + 1)(c − z + 1)
25. Example: Factors of 360 Divisible by 12
360 = 23 × 32 × 5
12 = 22 × 3
For a factor of 360 to be divisible by 12:
- Exponent of 2 can be 2 or 3 → 2 choices.
- Exponent of 3 can be 1 or 2 → 2 choices.
- Exponent of 5 can be 0 or 1 → 2 choices.
Therefore:
2 × 2 × 2 = 8 factors
26. Factors Not Divisible by a Prime
If:
N = paqb...
then factors not divisible by p must contain p to exponent 0.
So their count is obtained by fixing the exponent of p at 0 and varying the remaining prime exponents.
27. Example: Factors of 360 Not Divisible by 3
360 = 23 × 32 × 5
To avoid divisibility by 3, exponent of 3 must be 0.
Choices:
(3 + 1) × 1 × (1 + 1) = 8
Therefore, 8 positive factors of 360 are not divisible by 3.
28. Number of Perfect-Square Factors
A factor is a perfect square only when every prime exponent in that factor is even.
If:
N = paqbrc...
then the allowed even exponents of p are:
0, 2, 4, ..., 2⌊a/2⌋
giving:
⌊a/2⌋ + 1 choices
Therefore:
Number of perfect-square factors = (⌊a/2⌋ + 1)(⌊b/2⌋ + 1)...
29. Example: Perfect-Square Factors of 360
360 = 23 × 32 × 51
Number of square factors:
(⌊3/2⌋ + 1)(⌊2/2⌋ + 1)(⌊1/2⌋ + 1)
= (1 + 1)(1 + 1)(0 + 1) = 4
The square factors are 1, 4, 9 and 36.
30. Number of Perfect-Cube Factors
A factor is a perfect cube when each exponent is a multiple of 3.
Thus:
Number of perfect-cube factors = (⌊a/3⌋ + 1)(⌊b/3⌋ + 1)...
31. Example: Perfect-Cube Factors
For:
N = 25 × 34
Number of cube factors:
(⌊5/3⌋ + 1)(⌊4/3⌋ + 1) = 2 × 2 = 4
32. Sum of All Positive Factors
If:
N = paqbrc...
then the sum of all positive factors is:
σ(N) = (1 + p + p2 + ... + pa)(1 + q + q2 + ... + qb)...
Sum-of-Divisors Formula: Form one geometric-sum factor for each distinct prime and multiply them.
33. Geometric-Series Form
Using:
1 + p + p2 + ... + pa = (pa+1 − 1)/(p − 1)
we obtain:
σ(N) = [(pa+1 − 1)/(p − 1)] × [(qb+1 − 1)/(q − 1)] × ...
34. Example: Sum of Factors of 12
12 = 22 × 3
Therefore:
σ(12) = (1 + 2 + 4)(1 + 3)
= 7 × 4 = 28
Indeed, 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.
35. Example: Sum of Factors of 72
72 = 23 × 32
Therefore:
σ(72) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)
= 15 × 13 = 195
36. Sum of Proper Factors
Proper positive factors of N are all positive factors except N itself.
Therefore:
Sum of proper factors = σ(N) − N
Example: For 12:
28 − 12 = 16
The proper factors 1, 2, 3, 4 and 6 indeed sum to 16.
37. Sum of Odd Factors
If:
N = 2apbqc...
odd factors contain no factor 2. Therefore:
Sum of odd factors = (1 + p + ... + pb)(1 + q + ... + qc)...
38. Example: Sum of Odd Factors of 360
360 = 23 × 32 × 5
Ignore the 2-power:
Sum of odd factors = (1 + 3 + 9)(1 + 5)
= 13 × 6 = 78
39. Sum of Even Factors
For an even number:
Sum of even factors = Sum of all factors − Sum of odd factors
40. Example: Sum of Even Factors of 360
First:
σ(360) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)(1 + 5)
= 15 × 13 × 6 = 1170
Sum of odd factors = 78.
Therefore:
Sum of even factors = 1170 − 78 = 1092
41. Product of All Positive Factors
Let the number of positive factors of N be d(N). Pair each factor d with N/d.
Each pair has product N.
This leads to the general formula:
Product of all positive factors = Nd(N)/2
42. Product Formula for a Non-Square
If N is not a perfect square, d(N) is even. Therefore factors form d(N)/2 distinct pairs.
Hence:
P(N) = Nd(N)/2
43. Example: Product of Factors of 12
12 has 6 positive factors.
Therefore:
P(12) = 126/2 = 123 = 1728
Its factors are 1, 2, 3, 4, 6 and 12, whose product is 1728.
44. Product Formula for a Perfect Square
If N is a perfect square, √N pairs with itself. If d(N) is odd, then:
P(N) = N(d(N)−1)/2 × √N
This is equivalent to the compact expression Nd(N)/2.
45. Example: Product of Factors of 36
36 has:
d(36) = (2 + 1)(2 + 1) = 9 factors
Therefore:
P(36) = 36(9−1)/2 × √36
= 364 × 6
46. Product of Proper Factors
Since the product of all positive factors includes N itself:
Product of proper positive factors = P(N)/N
for N > 1.
47. Example: Product of Proper Factors of 12
Product of all factors of 12 = 1728.
Therefore:
Product of proper factors = 1728/12 = 144
Indeed:
1 × 2 × 3 × 4 × 6 = 144
48. Number of Factors Greater than √N
For every factor below √N there is a paired factor above √N.
If N is not a square:
Factors below √N = Factors above √N = d(N)/2
49. Factors Relative to √N for a Perfect Square
If N is a perfect square, √N itself is a factor.
Hence:
Factors below √N = Factors above √N = [d(N) − 1]/2
and exactly one factor equals √N.
50. Example: Factors Around √100
100 = 22 × 52
d(100) = 3 × 3 = 9.
Therefore:
- Factors below 10 = (9 − 1)/2 = 4.
- Factor equal to 10 = 1.
- Factors above 10 = 4.
51. Factors that are Multiples of a Prime Power
Suppose N contains pa and we want factors divisible by pk, where k ≤ a.
The exponent of p may be:
k, k+1, ..., a
giving:
a − k + 1 choices
Multiply this by the unrestricted choices for all other prime exponents.
52. Example: Factors of 720 Divisible by 8
720 = 24 × 32 × 5
8 = 23.
The exponent of 2 can be 3 or 4 → 2 choices.
Exponent of 3: 0, 1, 2 → 3 choices.
Exponent of 5: 0 or 1 → 2 choices.
Therefore:
2 × 3 × 2 = 12 factors
53. Factors Divisible by One Number but Not Another
A useful counting method is:
Required count = Count satisfying first condition − Count satisfying both conditions
This avoids listing individual factors.
54. Example: Factors of 360 Divisible by 3 but Not 9
360 = 23 × 32 × 5
For divisibility by 3 but not 9, the exponent of 3 must be exactly 1.
Choices:
- Exponent of 2: 0–3 → 4 choices.
- Exponent of 3: exactly 1 → 1 choice.
- Exponent of 5: 0–1 → 2 choices.
Therefore:
4 × 1 × 2 = 8 factors
55. Number of Factors that are Multiples of Both a and b
A factor must be divisible by both a and b exactly when it is divisible by LCM(a, b).
Therefore, provided LCM(a, b) divides N, count the factors of N divisible by that LCM using prime exponents.
This use of LCM is only a counting observation here; systematic HCF-LCM methods are studied separately in Chapter 3.
56. Minimum Number with Exactly 8 Factors
Possible exponent patterns arise from:
8 = 8 = 4 × 2 = 2 × 2 × 2
Thus:
Smallest candidates:
27 = 128
23 × 3 = 24
2 × 3 × 5 = 30
Hence the smallest positive integer with exactly 8 positive factors is 24.
57. Minimum Number with Exactly 9 Factors
Possible patterns:
9 = 9 or 3 × 3
Thus:
Smallest candidates:
28 = 256
22 × 32 = 36
Therefore, the smallest number with exactly 9 positive factors is 36.
58. Minimum Number with Exactly 10 Factors
Possible patterns:
10 = 10 or 5 × 2
Thus:
Smallest candidates:
29 = 512
24 × 3 = 48
Therefore, the smallest number with exactly 10 positive factors is 48.
59. Minimum Number with Exactly 12 Factors
Useful patterns are:
p11, p5q, p3q2, p2qr
Smallest candidates include:
211 = 2048
25 × 3 = 96
23 × 32 = 72
22 × 3 × 5 = 60
Therefore, the smallest positive integer with exactly 12 factors is 60.
60. Important Exact-Factor Patterns
| Number of Positive Factors | Possible Prime-Exponent Pattern |
|---|
| 2 | p |
| 3 | p2 |
| 4 | p3 or pq |
| 5 | p4 |
| 6 | p5 or p2q |
| 7 | p6 |
| 8 | p7, p3q or pqr |
| 9 | p8 or p2q2 |
| 10 | p9 or p4q |
| 12 | p11, p5q, p3q2 or p2qr |
Here p, q and r denote distinct prime numbers.
61. Common Exam Traps
Trap 1: Use prime factorisation before applying the divisor-count formula.
Trap 2: The formula (a + 1)(b + 1)... gives the number of positive factors.
Trap 3: Do not add the exponent-plus-one terms; multiply them.
Trap 4: A number has an odd number of positive factors only when it is a perfect square.
Trap 5: To count odd factors, the exponent of 2 must be fixed at 0.
Trap 6: Even factors = total factors − odd factors.
Trap 7: The sum-of-factors formula uses geometric sums, not exponent-plus-one terms.
Trap 8: The product formula uses the total number of positive factors: Nd(N)/2.
Trap 9: When counting factors divisible by a given number, required prime exponents must be treated as minimum exponents.
Trap 10: For the smallest number with a fixed divisor count, larger exponents should be assigned to smaller primes.
62. Quick Revision
- If N = paqbrc, then d(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1).
- Every positive divisor is formed by independently selecting prime exponents between 0 and their maximum values.
- A prime has exactly 2 positive factors.
- p2 has exactly 3 positive factors.
- Exactly 4 factors imply p3 or pq.
- A positive integer has an odd number of factors if and only if it is a perfect square.
- For an even N, count odd factors by fixing the exponent of 2 at 0.
- Even factors = total factors − odd factors.
- For factors divisible by pk, the exponent of p must be at least k.
- Square factors use only even prime exponents.
- Number of square factors = ∏(⌊a/2⌋ + 1).
- Cube factors use prime exponents divisible by 3.
- Number of cube factors = ∏(⌊a/3⌋ + 1).
- σ(N) = ∏(1 + p + p2 + ... + pa).
- Sum of proper factors = σ(N) − N.
- For an even N, sum of even factors = total factor sum − odd factor sum.
- Product of all positive factors = Nd(N)/2.
- For a perfect square, this may be written as N(d−1)/2√N.
- For a non-square, exactly half the factors lie below √N and half above √N.
- For a square, one factor equals √N and the remaining factors split equally on either side.
- To construct the smallest number with a given factor count, compare all possible exponent patterns.
- Assign larger exponents to smaller primes when minimising the number.
Previous Year Questions (PYQs)
Practice these verified previous-year questions based on the number of factors, even factors, perfect-square factors, sum of odd factors and prime-exponent methods. Try each question before opening the answer and explanation.
RRB NTPC PYQ23 July 2021 · Shift I
Q1. How many positive factors does the number 12,288 have?
A. 22
B. 26
C. 24
D. 28
Correct Answer: B. 26
Explanation:
Prime factorisation:
12,288 = 212 × 3
Therefore, the number of positive factors is:
(12 + 1)(1 + 1) = 13 × 2 = 26.
SSC CGL Tier-II PYQ9 March 2018
Q2. If N = 411 + 412 + 413 + 414, how many positive factors does N have?
A. 92
B. 48
C. 50
D. 51
Correct Answer: A. 92
Explanation:
Factor out 411:
N = 411(1 + 4 + 16 + 64)
= 411 × 85
Since 411 = 222 and 85 = 5 × 17:
N = 222 × 5 × 17
Number of positive factors:
(22 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 23 × 2 × 2 = 92.
RRB NTPC PYQ31 January 2021 · Shift I
Q3. How many factors of 27 × 33 × 54 × 7 are even?
A. 320
B. 40
C. 280
D. 84
Correct Answer: C. 280
Explanation:
An even factor must contain at least one factor 2.
For 2, the allowed exponents are 1 through 7 → 7 choices.
For 3 → 4 choices.
For 5 → 5 choices.
For 7 → 2 choices.
Therefore:
7 × 4 × 5 × 2 = 280
Hence there are 280 even factors.
RRB Group D PYQ18 September 2018 · Shift II
Q4. How many factors of 1,296 are perfect squares?
A. 8
B. 9
C. 12
D. 10
Correct Answer: B. 9
Explanation:
Prime factorisation:
1,296 = 24 × 34
A perfect-square factor must contain only even exponents.
For 2, possible exponents are 0, 2, 4 → 3 choices.
For 3, possible exponents are 0, 2, 4 → 3 choices.
Therefore:
3 × 3 = 9 perfect-square factors.
SSC CPO PYQ11 November 2022 · Shift I
Q5. What is the sum of the odd divisors of 216?
A. 16
B. 14
C. 40
D. 600
Correct Answer: C. 40
Explanation:
216 = 23 × 33.
An odd divisor cannot contain a factor 2, so only the powers of 3 are relevant.
Sum of odd divisors = 1 + 3 + 32 + 33
= 1 + 3 + 9 + 27
= 40.
SSC Selection Post PYQ30 July 2025 · Shift III · Graduate Level
Q6. What is the total number of positive factors of 3,600?
A. 45
B. 30
C. 35
D. 20
Correct Answer: A. 45
Explanation:
Prime factorisation:
3,600 = 24 × 32 × 52
Therefore:
d(3600) = (4 + 1)(2 + 1)(2 + 1)
= 5 × 3 × 3
= 45.
Practice MCQs
Practice these exam-oriented questions on divisor count, odd and even factors, perfect-square and perfect-cube factors, sum of divisors, product of factors and factors satisfying specified divisibility conditions.
Practice MCQ
Q1. How many positive factors does 840 have?
A. 24
B. 30
C. 32
D. 36
Correct Answer: C. 32
Explanation:
840 = 23 × 3 × 5 × 7.
Therefore:
d(840) = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)
= 4 × 2 × 2 × 2 = 32.
Practice MCQ
Q2. How many odd positive factors does 720 have?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
Correct Answer: B. 6
Explanation:
720 = 24 × 32 × 5.
For an odd factor, the exponent of 2 must be 0.
Therefore:
Number of odd factors = (2 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 = 6.
Practice MCQ
Q3. How many even positive factors does 720 have?
A. 18
B. 20
C. 24
D. 30
Correct Answer: C. 24
Explanation:
720 = 24 × 32 × 5.
Total factors = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 5 × 3 × 2 = 30.
Odd factors = 6.
Even factors = 30 − 6 = 24.
Practice MCQ
Q4. How many factors of 1,800 are perfect squares?
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
Correct Answer: B. 8
Explanation:
1,800 = 23 × 32 × 52.
For a perfect-square factor, every exponent must be even.
For 2: 0 or 2 → 2 choices.
For 3: 0 or 2 → 2 choices.
For 5: 0 or 2 → 2 choices.
Therefore:
2 × 2 × 2 = 8.
Practice MCQ
Q5. How many factors of 1,728 are perfect cubes?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
Correct Answer: C. 6
Explanation:
1,728 = 26 × 33.
For a cube factor, each exponent must be a multiple of 3.
For 2: exponents 0, 3, 6 → 3 choices.
For 3: exponents 0, 3 → 2 choices.
Therefore:
3 × 2 = 6 perfect-cube factors.
Practice MCQ
Q6. What is the sum of all positive factors of 60?
A. 148
B. 160
C. 168
D. 180
Correct Answer: C. 168
Explanation:
60 = 22 × 3 × 5.
Sum of factors:
(1 + 2 + 4)(1 + 3)(1 + 5)
= 7 × 4 × 6
= 168.
Practice MCQ
Q7. What is the sum of all odd positive factors of 360?
A. 72
B. 78
C. 84
D. 90
Correct Answer: B. 78
Explanation:
360 = 23 × 32 × 5.
Odd factors do not contain 2.
Sum of odd factors:
(1 + 3 + 9)(1 + 5)
= 13 × 6
= 78.
Practice MCQ
Q8. What is the product of all positive factors of 18?
A. 1,944
B. 3,240
C. 5,832
D. 10,497
Correct Answer: C. 5,832
Explanation:
18 = 2 × 32.
Number of positive factors = (1 + 1)(2 + 1) = 6.
Product of all factors = Nd(N)/2.
Therefore:
186/2 = 183 = 5,832.
Practice MCQ
Q9. What is the smallest positive integer having exactly 9 positive factors?
A. 24
B. 32
C. 36
D. 48
Correct Answer: C. 36
Explanation:
For exactly 9 factors, possible exponent patterns are:
p8 or p2q2.
Smallest candidates:
28 = 256
22 × 32 = 36
Therefore, the smallest such number is 36.
Practice MCQ
Q10. How many positive factors of 720 are divisible by 12?
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16
Correct Answer: C. 12
Explanation:
720 = 24 × 32 × 5 and 12 = 22 × 3.
For a factor to be divisible by 12:
Exponent of 2 can be 2, 3 or 4 → 3 choices.
Exponent of 3 can be 1 or 2 → 2 choices.
Exponent of 5 can be 0 or 1 → 2 choices.
Therefore:
3 × 2 × 2 = 12 factors.
गुणनखंडों की संख्या, योग एवं गुणनफल
किसी धनात्मक पूर्ण संख्या को अभाज्य गुणनखंड रूप में लिखने के बाद उसके सभी गुणनखंडों को अलग-अलग सूचीबद्ध किए बिना ही धनात्मक गुणनखंडों की संख्या, उनका योग, गुणनफल तथा कई विशेष प्रकार के गुणनखंड ज्ञात किए जा सकते हैं। प्रतियोगी परीक्षाओं में ये सूत्र अत्यंत उपयोगी हैं।
1. मूल अभाज्य गुणनखंड रूप
मान लें 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्या N का अभाज्य गुणनखंडन है:
N = p1a₁p2a₂...praᵣ
जहाँ p1, p2, ..., pr भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं तथा a₁, a₂, ..., aᵣ धनात्मक पूर्णांक हैं।
2. प्रत्येक गुणनखंड कैसे बनता है?
N का प्रत्येक धनात्मक गुणनखंड इस रूप में लिखा जा सकता है:
d = p1b₁p2b₂...prbᵣ
जहाँ:
0 ≤ b₁ ≤ a₁, 0 ≤ b₂ ≤ a₂, ..., 0 ≤ bᵣ ≤ aᵣ
प्रत्येक prime exponent का चुनाव स्वतंत्र रूप से किया जा सकता है।
3. धनात्मक गुणनखंडों की संख्या
यदि:
N = paqbrc...
तो N के धनात्मक गुणनखंडों की संख्या होगी:
d(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)...
मुख्य सूत्र: Prime factorisation के प्रत्येक exponent में 1 जोड़ें और प्राप्त संख्याओं को आपस में गुणा करें।
4. यह सूत्र क्यों काम करता है?
N के किसी factor में:
- p का exponent 0, 1, ..., a हो सकता है → a + 1 विकल्प।
- q का exponent 0, 1, ..., b हो सकता है → b + 1 विकल्प।
- r का exponent 0, 1, ..., c हो सकता है → c + 1 विकल्प।
सभी चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल factors की संख्या इन विकल्पों का गुणनफल होगी।
5. उदाहरण: 72 के गुणनखंडों की संख्या
72 = 23 × 32
अतः:
d(72) = (3 + 1)(2 + 1) = 4 × 3 = 12
इसलिए 72 के 12 धनात्मक गुणनखंड हैं।
6. उदाहरण: 360 के गुणनखंडों की संख्या
360 = 23 × 32 × 5
अतः:
d(360) = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24
7. अभाज्य संख्या और गुणनखंडों की संख्या
यदि p अभाज्य है:
p = p1
इसलिए:
d(p) = 1 + 1 = 2
अर्थात किसी अभाज्य संख्या के ठीक दो भिन्न धनात्मक गुणनखंड होते हैं: 1 और स्वयं वह संख्या।
8. अभाज्य संख्या का वर्ग और तीन गुणनखंड
यदि N = p2, जहाँ p अभाज्य है:
d(N) = 2 + 1 = 3
इसके गुणनखंड होंगे:
1, p, p2
महत्वपूर्ण: किसी धनात्मक पूर्णांक के ठीक तीन धनात्मक गुणनखंड तभी होते हैं जब वह किसी अभाज्य संख्या का वर्ग हो।
9. ठीक चार धनात्मक गुणनखंड
यदि d(N) = 4 है, तो exponent pattern दो प्रकार का हो सकता है:
- 4 = 3 + 1 → N = p3
- 4 = 2 × 2 → N = pq, जहाँ p और q भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं।
उदाहरण: 8 = 23 तथा 15 = 3 × 5, दोनों के ठीक चार धनात्मक गुणनखंड हैं।
10. ठीक पाँच धनात्मक गुणनखंड
चूँकि 5 स्वयं अभाज्य है:
d(N) = 5 ⇒ N = p4
जहाँ p अभाज्य है।
उदाहरण: 16 = 24 के ठीक 5 धनात्मक गुणनखंड हैं।
11. ठीक छह धनात्मक गुणनखंड
6 को 6 अथवा 3 × 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए संभावित exponent patterns हैं:
- N = p5
- N = p2q, जहाँ p और q भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं।
12. निश्चित संख्या में गुणनखंडों का सामान्य Pattern
यदि किसी संख्या के ठीक k धनात्मक गुणनखंड चाहिए, तो k को विभिन्न गुणनफल रूपों में लिखकर प्रत्येक factor को exponent + 1 के रूप में समझते हैं।
उदाहरण: ठीक 12 factors के लिए:
12 = 12 = 6 × 2 = 4 × 3 = 3 × 2 × 2
संभावित exponent patterns:
जहाँ अलग-अलग अक्षर भिन्न prime numbers को दर्शाते हैं।
13. निश्चित संख्या में गुणनखंडों वाली सबसे छोटी संख्या
किसी निश्चित divisor count के लिए सबसे छोटी संख्या बनाते समय सबसे बड़ा exponent सबसे छोटे prime को, अगला बड़ा exponent अगले छोटे prime को और इसी क्रम में देना चाहिए।
उदाहरण: ठीक 6 factors वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें।
संभावित forms:
p5 या p2q
सबसे छोटे possible values:
25 = 32
22 × 3 = 12
अतः ठीक 6 धनात्मक गुणनखंडों वाली सबसे छोटी संख्या 12 है।
14. बड़े Exponent को छोटे Prime पर क्यों रखते हैं?
किसी निश्चित exponent pattern से सबसे छोटा product प्राप्त करने के लिए बड़े exponents को छोटे prime bases पर रखना चाहिए।
उदाहरण के लिए:
23 × 3 = 24
जो इससे छोटा है:
2 × 33 = 54
15. गुणनखंड युग्मों में आते हैं
यदि d, N का धनात्मक गुणनखंड है, तो N/d भी N का धनात्मक गुणनखंड होगा।
अतः factor pairs के लिए:
d × (N/d) = N
16. पूर्ण वर्ग के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है
यदि N पूर्ण वर्ग नहीं है, तो प्रत्येक factor का एक अलग paired factor होता है। इसलिए factors की कुल संख्या सम होती है।
लेकिन perfect square में √N स्वयं अपने साथ pair बनाता है, जिससे एक factor unpaired रहता है।
महत्वपूर्ण प्रमेय: किसी धनात्मक पूर्णांक के धनात्मक गुणनखंडों की संख्या विषम तभी और केवल तभी होती है जब वह एक पूर्ण वर्ग हो।
17. उदाहरण: विषम संख्या में गुणनखंड
144 = 24 × 32
Factors की संख्या:
(4 + 1)(2 + 1) = 15
15 विषम है और 144 वास्तव में एक पूर्ण वर्ग है।
18. गैर-पूर्ण-वर्ग के गुणनखंडों की संख्या सम होती है
यदि prime factorisation में कम-से-कम एक exponent विषम है, तो N पूर्ण वर्ग नहीं होगा और d(N) सम होगा।
उदाहरण:
72 = 23 × 32
d(72) = 4 × 3 = 12, जो सम है।
19. विषम गुणनखंडों की संख्या
मान लें:
N = 2apbqc...
किसी odd factor में 2 का कोई factor नहीं हो सकता। इसलिए उसमें 2 का exponent 0 ही होगा।
अतः:
विषम गुणनखंडों की संख्या = (b + 1)(c + 1)...
20. उदाहरण: 360 के विषम गुणनखंड
360 = 23 × 32 × 5
2 की power को छोड़ दें:
विषम factors की संख्या = (2 + 1)(1 + 1) = 6
21. सम गुणनखंडों की संख्या
किसी सम धनात्मक पूर्णांक के लिए:
सम गुणनखंडों की संख्या = कुल गुणनखंड − विषम गुणनखंड
22. उदाहरण: 360 के सम गुणनखंड
360 के कुल factors = 24।
Odd factors = 6।
अतः:
Even factors = 24 − 6 = 18
23. सम गुणनखंडों का Direct Formula
यदि:
N = 2apbqc...
तो even factor में 2 का exponent 1, 2, ..., a में से कोई हो सकता है, अर्थात a choices।
इसलिए:
सम factors = a(b + 1)(c + 1)...
24. किसी दी गई संख्या से विभाज्य गुणनखंडों की संख्या
मान लें:
N = paqbrc
और N के ऐसे factors गिनने हैं जो निम्न संख्या से विभाज्य हों:
M = pxqyrz
जहाँ M, N को विभाजित करता है।
ऐसे factor में p का exponent x से a तक हो सकता है, इसलिए a − x + 1 choices मिलेंगी। इसी प्रकार अन्य primes के लिए भी।
अतः:
संख्या = (a − x + 1)(b − y + 1)(c − z + 1)
25. उदाहरण: 360 के कितने Factors 12 से विभाज्य हैं?
360 = 23 × 32 × 5
12 = 22 × 3
12 से divisible factor के लिए:
- 2 का exponent 2 या 3 → 2 choices।
- 3 का exponent 1 या 2 → 2 choices।
- 5 का exponent 0 या 1 → 2 choices।
अतः:
2 × 2 × 2 = 8 factors
26. किसी Prime से विभाज्य न होने वाले Factors
यदि:
N = paqb...
तो p से विभाज्य न होने वाले factors में p का exponent 0 निश्चित करना होगा। शेष primes के exponents स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं।
27. उदाहरण: 360 के कितने Factors 3 से विभाज्य नहीं हैं?
360 = 23 × 32 × 5
3 से divisibility से बचने के लिए 3 का exponent 0 होना चाहिए।
अतः choices:
(3 + 1) × 1 × (1 + 1) = 8
इसलिए 360 के 8 धनात्मक गुणनखंड 3 से विभाज्य नहीं हैं।
28. पूर्ण वर्ग गुणनखंडों की संख्या
कोई factor तभी perfect square होगा जब उसके प्रत्येक prime का exponent सम हो।
यदि:
N = paqbrc...
तो p के लिए allowed even exponents होंगे:
0, 2, 4, ..., 2⌊a/2⌋
इनकी संख्या:
⌊a/2⌋ + 1
अतः:
पूर्ण वर्ग factors की संख्या = (⌊a/2⌋ + 1)(⌊b/2⌋ + 1)...
29. उदाहरण: 360 के पूर्ण वर्ग गुणनखंड
360 = 23 × 32 × 51
Square factors की संख्या:
(⌊3/2⌋ + 1)(⌊2/2⌋ + 1)(⌊1/2⌋ + 1)
= (1 + 1)(1 + 1)(0 + 1) = 4
ये square factors हैं: 1, 4, 9 और 36।
30. पूर्ण घन गुणनखंडों की संख्या
किसी factor के perfect cube होने के लिए उसके प्रत्येक prime exponent का 3 का गुणज होना आवश्यक है।
इसलिए:
पूर्ण घन factors की संख्या = (⌊a/3⌋ + 1)(⌊b/3⌋ + 1)...
31. उदाहरण: पूर्ण घन गुणनखंड
यदि:
N = 25 × 34
तो cube factors की संख्या:
(⌊5/3⌋ + 1)(⌊4/3⌋ + 1) = 2 × 2 = 4
32. सभी धनात्मक गुणनखंडों का योग
यदि:
N = paqbrc...
तो सभी धनात्मक factors का योग होगा:
σ(N) = (1 + p + p2 + ... + pa)(1 + q + q2 + ... + qb)...
Sum-of-Divisors Formula: प्रत्येक distinct prime के लिए उसकी powers का geometric sum बनाकर सभी sums को गुणा करें।
33. Geometric-Series Form
क्योंकि:
1 + p + p2 + ... + pa = (pa+1 − 1)/(p − 1)
इसलिए:
σ(N) = [(pa+1 − 1)/(p − 1)] × [(qb+1 − 1)/(q − 1)] × ...
34. उदाहरण: 12 के गुणनखंडों का योग
12 = 22 × 3
अतः:
σ(12) = (1 + 2 + 4)(1 + 3)
= 7 × 4 = 28
वास्तव में 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28।
35. उदाहरण: 72 के गुणनखंडों का योग
72 = 23 × 32
अतः:
σ(72) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)
= 15 × 13 = 195
36. Proper Factors का योग
N के proper positive factors वे सभी धनात्मक factors हैं जिनमें स्वयं N को शामिल नहीं किया जाता।
अतः:
Proper factors का योग = σ(N) − N
उदाहरण: 12 के लिए:
28 − 12 = 16
इसके proper factors 1, 2, 3, 4 और 6 का योग भी 16 है।
37. विषम गुणनखंडों का योग
यदि:
N = 2apbqc...
तो odd factors में 2 का कोई factor नहीं होगा। इसलिए:
Odd factors का योग = (1 + p + ... + pb)(1 + q + ... + qc)...
38. उदाहरण: 360 के विषम गुणनखंडों का योग
360 = 23 × 32 × 5
2 की power को छोड़ दें:
Odd factors का योग = (1 + 3 + 9)(1 + 5)
= 13 × 6 = 78
39. सम गुणनखंडों का योग
किसी सम संख्या के लिए:
Even factors का योग = सभी factors का योग − odd factors का योग
40. उदाहरण: 360 के सम गुणनखंडों का योग
सबसे पहले:
σ(360) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)(1 + 5)
= 15 × 13 × 6 = 1170
Odd factors का योग = 78।
अतः:
Even factors का योग = 1170 − 78 = 1092
41. सभी धनात्मक गुणनखंडों का गुणनफल
मान लें N के धनात्मक factors की संख्या d(N) है। प्रत्येक factor d को उसके paired factor N/d के साथ रखें।
प्रत्येक pair का product N होगा।
इससे सामान्य सूत्र प्राप्त होता है:
सभी धनात्मक factors का गुणनफल = Nd(N)/2
42. गैर-पूर्ण-वर्ग के लिए Product Formula
यदि N पूर्ण वर्ग नहीं है, तो d(N) सम होगा और factors के d(N)/2 अलग-अलग pairs बनेंगे।
अतः:
P(N) = Nd(N)/2
43. उदाहरण: 12 के Factors का गुणनफल
12 के 6 धनात्मक गुणनखंड हैं।
अतः:
P(12) = 126/2 = 123 = 1728
इसके factors 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं, जिनका product 1728 है।
44. पूर्ण वर्ग के लिए Product Formula
यदि N पूर्ण वर्ग है, तो √N स्वयं के साथ pair बनाता है। यदि d(N) विषम है, तो:
P(N) = N(d(N)−1)/2 × √N
यह compact expression Nd(N)/2 के equivalent है।
45. उदाहरण: 36 के Factors का गुणनफल
36 के factors की संख्या:
d(36) = (2 + 1)(2 + 1) = 9
अतः:
P(36) = 36(9−1)/2 × √36
= 364 × 6
46. Proper Factors का गुणनफल
सभी positive factors के product में स्वयं N भी शामिल होता है। इसलिए N > 1 के लिए:
Proper positive factors का product = P(N)/N
47. उदाहरण: 12 के Proper Factors का गुणनफल
12 के सभी factors का product = 1728।
अतः:
Proper factors का product = 1728/12 = 144
वास्तव में:
1 × 2 × 3 × 4 × 6 = 144
48. √N से बड़े गुणनखंडों की संख्या
√N से छोटे प्रत्येक factor का एक paired factor √N से बड़ा होता है।
यदि N पूर्ण वर्ग नहीं है:
√N से छोटे factors = √N से बड़े factors = d(N)/2
49. पूर्ण वर्ग में √N के सापेक्ष Factors
यदि N पूर्ण वर्ग है, तो √N स्वयं भी एक factor होगा।
अतः:
√N से छोटे factors = √N से बड़े factors = [d(N) − 1]/2
और ठीक एक factor √N के बराबर होगा।
50. उदाहरण: √100 के आसपास Factors
100 = 22 × 52
d(100) = 3 × 3 = 9।
इसलिए:
- 10 से छोटे factors = (9 − 1)/2 = 4।
- 10 के बराबर factor = 1।
- 10 से बड़े factors = 4।
51. किसी Prime Power के गुणज होने वाले Factors
मान लें N में pa मौजूद है और हमें ऐसे factors चाहिए जो pk से divisible हों, जहाँ k ≤ a।
ऐसे factor में p का exponent हो सकता है:
k, k+1, ..., a
अतः p के exponent के लिए:
a − k + 1 choices
इस संख्या को अन्य primes के unrestricted exponent choices से गुणा करें।
52. उदाहरण: 720 के कितने Factors 8 से विभाज्य हैं?
720 = 24 × 32 × 5
8 = 23।
2 का exponent 3 या 4 → 2 choices।
3 का exponent 0, 1 या 2 → 3 choices।
5 का exponent 0 या 1 → 2 choices।
अतः:
2 × 3 × 2 = 12 factors
53. एक संख्या से Divisible लेकिन दूसरी से नहीं
ऐसे questions में एक उपयोगी counting method है:
आवश्यक संख्या = पहली condition पूरी करने वाले factors − दोनों conditions पूरी करने वाले factors
इससे सभी factors की सूची बनाने की आवश्यकता नहीं पड़ती।
54. उदाहरण: 360 के Factors जो 3 से विभाज्य हैं लेकिन 9 से नहीं
360 = 23 × 32 × 5
3 से divisible लेकिन 9 से not divisible होने के लिए 3 का exponent ठीक 1 होना चाहिए।
- 2 का exponent: 0–3 → 4 choices।
- 3 का exponent: केवल 1 → 1 choice।
- 5 का exponent: 0–1 → 2 choices।
अतः:
4 × 1 × 2 = 8 factors
55. a और b दोनों के गुणज होने वाले Factors
कोई factor a और b दोनों से तभी divisible होगा जब वह LCM(a, b) से divisible हो।
इसलिए यदि LCM(a, b), N को divide करता है, तो prime exponents की सहायता से N के ऐसे factors की संख्या गिनी जा सकती है जो उस LCM से divisible हों।
यहाँ LCM का उपयोग केवल factor-counting observation के रूप में किया गया है। HCF और LCM का विस्तृत अध्ययन Chapter 3 में किया जाएगा।
56. ठीक 8 Factors वाली न्यूनतम संख्या
संभावित exponent patterns:
8 = 8 = 4 × 2 = 2 × 2 × 2
अतः possible forms:
सबसे छोटे candidates:
27 = 128
23 × 3 = 24
2 × 3 × 5 = 30
अतः ठीक 8 धनात्मक गुणनखंडों वाली सबसे छोटी संख्या 24 है।
57. ठीक 9 Factors वाली न्यूनतम संख्या
संभावित patterns:
9 = 9 या 3 × 3
अतः:
सबसे छोटे candidates:
28 = 256
22 × 32 = 36
अतः ठीक 9 positive factors वाली सबसे छोटी संख्या 36 है।
58. ठीक 10 Factors वाली न्यूनतम संख्या
संभावित patterns:
10 = 10 या 5 × 2
अतः:
सबसे छोटे candidates:
29 = 512
24 × 3 = 48
इसलिए ठीक 10 factors वाली सबसे छोटी संख्या 48 है।
59. ठीक 12 Factors वाली न्यूनतम संख्या
महत्वपूर्ण possible patterns हैं:
p11, p5q, p3q2, p2qr
सबसे छोटे candidates:
211 = 2048
25 × 3 = 96
23 × 32 = 72
22 × 3 × 5 = 60
अतः ठीक 12 धनात्मक गुणनखंडों वाली सबसे छोटी संख्या 60 है।
60. महत्वपूर्ण Exact-Factor Patterns
| धनात्मक गुणनखंडों की संख्या | संभावित Prime-Exponent Pattern |
|---|
| 2 | p |
| 3 | p2 |
| 4 | p3 या pq |
| 5 | p4 |
| 6 | p5 या p2q |
| 7 | p6 |
| 8 | p7, p3q या pqr |
| 9 | p8 या p2q2 |
| 10 | p9 या p4q |
| 12 | p11, p5q, p3q2 या p2qr |
यहाँ p, q और r भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं।
61. परीक्षा में होने वाली सामान्य गलतियाँ
गलती 1: Divisor-count formula लगाने से पहले संख्या का सही prime factorisation करें।
गलती 2: (a + 1)(b + 1)... वाला सूत्र धनात्मक गुणनखंडों की संख्या देता है।
गलती 3: Exponent में 1 जोड़ने के बाद प्राप्त संख्याओं को जोड़ना नहीं, बल्कि गुणा करना है।
गलती 4: किसी धनात्मक पूर्णांक के factors की संख्या विषम तभी होती है जब वह perfect square हो।
गलती 5: Odd factors गिनते समय 2 का exponent 0 fix करना आवश्यक है।
गलती 6: Even factors = total factors − odd factors।
गलती 7: Sum-of-factors formula में exponent + 1 का उपयोग नहीं होता; prime powers के geometric sums लिए जाते हैं।
गलती 8: Product formula में कुल positive factors की संख्या d(N) प्रयुक्त होती है: Nd(N)/2।
गलती 9: किसी दी गई संख्या से divisible factors गिनते समय आवश्यक prime exponents को minimum exponent मानें।
गलती 10: निश्चित divisor count वाली सबसे छोटी संख्या बनाते समय बड़े exponents को छोटे primes पर रखना चाहिए।
62. त्वरित पुनरावृत्ति
- यदि N = paqbrc, तो d(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)।
- प्रत्येक धनात्मक factor, prime exponents को 0 से उनकी अधिकतम power तक चुनकर बनाया जाता है।
- अभाज्य संख्या के ठीक 2 धनात्मक factors होते हैं।
- p2 के ठीक 3 धनात्मक factors होते हैं।
- ठीक 4 factors के possible forms p3 या pq हैं।
- किसी धनात्मक पूर्णांक के factors की संख्या विषम तभी होती है जब वह perfect square हो।
- Even N के odd factors गिनने के लिए 2 का exponent 0 रखें।
- Even factors = total factors − odd factors।
- pk से divisible factors में p का exponent कम-से-कम k होना चाहिए।
- Perfect-square factors में केवल even prime exponents आते हैं।
- Square factors की संख्या = ∏(⌊a/2⌋ + 1)।
- Perfect-cube factors में prime exponents 3 के गुणज होते हैं।
- Cube factors की संख्या = ∏(⌊a/3⌋ + 1)।
- σ(N) = ∏(1 + p + p2 + ... + pa)।
- Proper factors का योग = σ(N) − N।
- Even N के लिए even factors का sum = total factor sum − odd factor sum।
- सभी positive factors का product = Nd(N)/2।
- Perfect square के लिए इसे N(d−1)/2√N के रूप में भी लिखा जा सकता है।
- Non-square में आधे factors √N से छोटे तथा आधे √N से बड़े होते हैं।
- Perfect square में एक factor √N के बराबर होता है और शेष factors दोनों ओर बराबर संख्या में होते हैं।
- किसी निश्चित factor count वाली न्यूनतम संख्या बनाने के लिए सभी possible exponent patterns की तुलना करें।
- संख्या को न्यूनतम रखने के लिए बड़े exponents छोटे primes को दें।
पिछले वर्षों में पूछे गए प्रश्न (PYQs)
गुणनखंडों की संख्या, सम गुणनखंड, पूर्ण वर्ग गुणनखंड, विषम गुणनखंडों का योग तथा prime-exponent method पर आधारित इन पिछले वर्षों के प्रश्नों का अभ्यास करें। उत्तर एवं व्याख्या देखने से पहले प्रत्येक प्रश्न स्वयं हल करने का प्रयास करें।
RRB NTPC PYQ23 जुलाई 2021 · Shift I
प्रश्न 1. संख्या 12,288 के कुल कितने धनात्मक गुणनखंड हैं?
A. 22
B. 26
C. 24
D. 28
सही उत्तर: B. 26
व्याख्या:
अभाज्य गुणनखंडन:
12,288 = 212 × 3
अतः धनात्मक गुणनखंडों की संख्या:
(12 + 1)(1 + 1) = 13 × 2 = 26।
SSC CGL Tier-II PYQ9 मार्च 2018
प्रश्न 2. यदि N = 411 + 412 + 413 + 414, तो N के कुल कितने धनात्मक गुणनखंड हैं?
A. 92
B. 48
C. 50
D. 51
सही उत्तर: A. 92
व्याख्या:
411 को common लें:
N = 411(1 + 4 + 16 + 64)
= 411 × 85
चूँकि 411 = 222 तथा 85 = 5 × 17,
N = 222 × 5 × 17
इसलिए कुल factors:
(22 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 23 × 2 × 2 = 92।
RRB NTPC PYQ31 जनवरी 2021 · Shift I
प्रश्न 3. 27 × 33 × 54 × 7 के कितने गुणनखंड सम हैं?
A. 320
B. 40
C. 280
D. 84
सही उत्तर: C. 280
व्याख्या:
किसी factor के सम होने के लिए उसमें 2 की कम-से-कम एक power होनी चाहिए।
2 का exponent: 1 से 7 → 7 choices
3 का exponent: 0 से 3 → 4 choices
5 का exponent: 0 से 4 → 5 choices
7 का exponent: 0 या 1 → 2 choices
अतः:
7 × 4 × 5 × 2 = 280
इसलिए कुल 280 सम गुणनखंड हैं।
RRB Group D PYQ18 सितंबर 2018 · Shift II
प्रश्न 4. 1,296 के कितने गुणनखंड पूर्ण वर्ग हैं?
A. 8
B. 9
C. 12
D. 10
सही उत्तर: B. 9
व्याख्या:
अभाज्य गुणनखंडन:
1,296 = 24 × 34
Perfect-square factor में प्रत्येक exponent सम होना चाहिए।
2 के लिए संभव exponents: 0, 2, 4 → 3 choices
3 के लिए संभव exponents: 0, 2, 4 → 3 choices
अतः:
3 × 3 = 9 पूर्ण वर्ग गुणनखंड।
SSC CPO PYQ11 नवंबर 2022 · Shift I
प्रश्न 5. 216 के सभी विषम भाजकों का योग क्या है?
A. 16
B. 14
C. 40
D. 600
सही उत्तर: C. 40
व्याख्या:
216 = 23 × 33।
Odd divisor में 2 की कोई power नहीं होगी। इसलिए केवल 3 की powers लें।
विषम भाजकों का योग = 1 + 3 + 32 + 33
= 1 + 3 + 9 + 27
= 40।
SSC Selection Post PYQ30 जुलाई 2025 · Shift III · Graduate Level
प्रश्न 6. 3,600 के धनात्मक गुणनखंडों की कुल संख्या कितनी है?
A. 45
B. 30
C. 35
D. 20
सही उत्तर: A. 45
व्याख्या:
अभाज्य गुणनखंडन:
3,600 = 24 × 32 × 52
अतः:
d(3600) = (4 + 1)(2 + 1)(2 + 1)
= 5 × 3 × 3
= 45।
अभ्यास प्रश्न (Practice MCQs)
गुणनखंडों की संख्या, विषम एवं सम गुणनखंड, पूर्ण वर्ग एवं पूर्ण घन factors, गुणनखंडों का योग, गुणनफल तथा विशेष divisibility conditions वाले factors पर आधारित इन परीक्षा-उपयोगी प्रश्नों का अभ्यास करें।
Practice MCQ
प्रश्न 1. 840 के कुल कितने धनात्मक गुणनखंड हैं?
A. 24
B. 30
C. 32
D. 36
सही उत्तर: C. 32
व्याख्या:
840 = 23 × 3 × 5 × 7।
अतः:
d(840) = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)
= 4 × 2 × 2 × 2 = 32।
Practice MCQ
प्रश्न 2. 720 के कितने धनात्मक गुणनखंड विषम हैं?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
सही उत्तर: B. 6
व्याख्या:
720 = 24 × 32 × 5।
Odd factor के लिए 2 का exponent 0 होना चाहिए।
अतः odd factors की संख्या:
(2 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 = 6।
Practice MCQ
प्रश्न 3. 720 के कितने धनात्मक गुणनखंड सम हैं?
A. 18
B. 20
C. 24
D. 30
सही उत्तर: C. 24
व्याख्या:
720 = 24 × 32 × 5।
कुल factors = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 5 × 3 × 2 = 30।
Odd factors = 6।
Even factors = 30 − 6 = 24।
Practice MCQ
प्रश्न 4. 1,800 के कितने गुणनखंड पूर्ण वर्ग हैं?
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
सही उत्तर: B. 8
व्याख्या:
1,800 = 23 × 32 × 52।
Perfect-square factor के लिए प्रत्येक exponent सम होना चाहिए।
2 के लिए: 0 या 2 → 2 choices
3 के लिए: 0 या 2 → 2 choices
5 के लिए: 0 या 2 → 2 choices
अतः:
2 × 2 × 2 = 8 पूर्ण वर्ग factors।
Practice MCQ
प्रश्न 5. 1,728 के कितने गुणनखंड पूर्ण घन हैं?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
सही उत्तर: C. 6
व्याख्या:
1,728 = 26 × 33।
Perfect-cube factor के लिए प्रत्येक exponent 3 का गुणज होना चाहिए।
2 के लिए possible exponents: 0, 3, 6 → 3 choices
3 के लिए: 0, 3 → 2 choices
अतः:
3 × 2 = 6 पूर्ण घन factors।
Practice MCQ
प्रश्न 6. 60 के सभी धनात्मक गुणनखंडों का योग क्या है?
A. 148
B. 160
C. 168
D. 180
सही उत्तर: C. 168
व्याख्या:
60 = 22 × 3 × 5।
Factors का योग:
(1 + 2 + 4)(1 + 3)(1 + 5)
= 7 × 4 × 6
= 168।
Practice MCQ
प्रश्न 7. 360 के सभी विषम धनात्मक गुणनखंडों का योग क्या है?
A. 72
B. 78
C. 84
D. 90
सही उत्तर: B. 78
व्याख्या:
360 = 23 × 32 × 5।
Odd factors में 2 शामिल नहीं होगा।
Odd factors का योग:
(1 + 3 + 9)(1 + 5)
= 13 × 6
= 78।
Practice MCQ
प्रश्न 8. 18 के सभी धनात्मक गुणनखंडों का गुणनफल क्या है?
A. 1,944
B. 3,240
C. 5,832
D. 10,497
सही उत्तर: C. 5,832
व्याख्या:
18 = 2 × 32।
धनात्मक factors की संख्या = (1 + 1)(2 + 1) = 6।
सभी factors का product = Nd(N)/2।
अतः:
186/2 = 183 = 5,832।
Practice MCQ
प्रश्न 9. ठीक 9 धनात्मक गुणनखंडों वाली सबसे छोटी धनात्मक पूर्ण संख्या कौन-सी है?
A. 24
B. 32
C. 36
D. 48
सही उत्तर: C. 36
व्याख्या:
ठीक 9 factors के possible exponent patterns हैं:
p8 या p2q2।
सबसे छोटे candidates:
28 = 256
22 × 32 = 36
अतः सबसे छोटी संख्या 36 है।
Practice MCQ
प्रश्न 10. 720 के कितने धनात्मक गुणनखंड 12 से विभाज्य हैं?
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16
सही उत्तर: C. 12
व्याख्या:
720 = 24 × 32 × 5 तथा 12 = 22 × 3।
12 से divisible factor के लिए:
2 का exponent 2, 3 या 4 → 3 choices
3 का exponent 1 या 2 → 2 choices
5 का exponent 0 या 1 → 2 choices
अतः:
3 × 2 × 2 = 12 factors।