Study Material - Jharkhandi Jobs

Chapter 1 : Number System अध्याय 1 : संख्या पद्धति

Number of Digits

The number of digits of an integer can often be determined without writing the entire number. Powers of 10 provide the basic boundaries, while logarithms allow us to count digits of very large powers and products efficiently. These methods are especially useful in competitive examinations where direct calculation would be impractical.

1. What is Meant by Number of Digits?

The number of symbols used to write a positive integer in the decimal system is called its number of digits.

Examples:

7 has 1 digit.
42 has 2 digits.
583 has 3 digits.
12,457 has 5 digits.

2. One-Digit Numbers

The positive one-digit integers are:

1 to 9

Thus, there are 9 positive one-digit numbers.

3. Two-Digit Numbers

The smallest two-digit positive integer is 10 and the largest is 99.

Hence:

10 ≤ N ≤ 99

There are:

99 − 10 + 1 = 90

two-digit positive integers.

4. Three-Digit Numbers

The smallest three-digit positive integer is 100 and the largest is 999.

100 ≤ N ≤ 999

Number of three-digit positive integers:

999 − 100 + 1 = 900

5. General Range of d-Digit Positive Integers

A positive integer N has exactly d digits if and only if:

10^d−1 ≤ N < 10^d

Equivalently:

10^d−1 ≤ N ≤ 10^d − 1

6. Smallest and Largest d-Digit Numbers

Digits	Smallest Number	Largest Number
1	1	9
2	10	99
3	100	999
4	1000	9999
d	10^d−1	10^d − 1

7. Number of d-Digit Positive Integers

From 10^d−1 to 10^d − 1, the total number of integers is:

(10^d − 1) − 10^d−1 + 1

= 9 × 10^d−1

Formula: Number of positive d-digit integers = 9 × 10^d−1.

8. Example: Number of Five-Digit Numbers

Using:

9 × 10^d−1

for d = 5:

9 × 10⁴ = 90,000

Therefore, there are 90,000 five-digit positive integers.

9. Powers of 10 and Number of Digits

For every non-negative integer n:

10ⁿ has n + 1 digits.

Examples:

10¹ = 10 → 2 digits
10² = 100 → 3 digits
10⁵ = 100000 → 6 digits

10. Numbers Just Below a Power of 10

The number:

10ⁿ − 1

consists of n digits, all equal to 9.

Example:

10⁵ − 1 = 99,999

which has 5 digits.

11. Basic Digit Formula Using Logarithms

For any positive integer N:

Number of digits in N = ⌊log₁₀N⌋ + 1

Here ⌊x⌋ denotes the greatest integer less than or equal to x.

12. Why the Logarithm Formula Works

If N has d digits:

10^d−1 ≤ N < 10^d

Taking log base 10:

d − 1 ≤ log₁₀N < d

Therefore:

⌊log₁₀N⌋ = d − 1

and hence:

d = ⌊log₁₀N⌋ + 1

13. Example: Digits in 3578

Since:

10³ < 3578 < 10⁴

3578 has 4 digits.

Equivalently:

3 ≤ log₁₀3578 < 4

so floor(log₁₀3578) = 3 and digit count = 4.

14. Number of Digits in a Power aⁿ

For a positive integer a and positive integer n:

Digits in aⁿ = ⌊n log₁₀a⌋ + 1

because:

log₁₀(aⁿ) = n log₁₀a

15. Example: Number of Digits in 2²⁰

Using:

log₁₀2 ≈ 0.30103

we get:

20 × 0.30103 = 6.0206

Therefore:

Digits = ⌊6.0206⌋ + 1 = 7

Indeed, 2²⁰ = 1,048,576.

16. Example: Number of Digits in 3⁵⁰

Use:

log₁₀3 ≈ 0.477121

Then:

50 × 0.477121 = 23.85605

Therefore:

Digits = 23 + 1 = 24

17. Important Common Logarithm Values

Number	Approximate log₁₀
2	0.30103
3	0.47712
5	0.69897
7	0.84510
10	1

Exam Use: Values of log 2, log 3, log 5 and log 7 are frequently enough for standard digit-count questions.

18. Useful Relationship Between log 2 and log 5

Since:

2 × 5 = 10

we have:

log 2 + log 5 = 1

Thus:

log 5 = 1 − log 2 ≈ 0.69897

19. Number of Digits in 5ⁿ

Using log 5 ≈ 0.69897:

Digits in 5ⁿ = ⌊0.69897n⌋ + 1

20. Example: Digits in 5²⁵

25 × 0.69897 = 17.47425

Therefore:

Digits = 17 + 1 = 18

21. Number of Digits in a Product

For positive numbers A and B:

log(AB) = log A + log B

Therefore:

Digits in AB = ⌊log A + log B⌋ + 1

22. Example: Digits in 2⁵⁰ × 3⁴⁰

Take logarithm:

50 log 2 + 40 log 3

≈ 50(0.30103) + 40(0.477121)

= 15.0515 + 19.08484 = 34.13634

Therefore:

Number of digits = 34 + 1 = 35

23. Number of Digits in a Quotient

If A/B is a positive integer or positive real value whose digit count is required:

log(A/B) = log A − log B

So for a positive integer quotient Q:

Digits in Q = ⌊log A − log B⌋ + 1

24. Example: Digits in 2¹⁰⁰ / 2³⁰

First simplify:

2¹⁰⁰ / 2³⁰ = 2⁷⁰

Then:

70 × 0.30103 = 21.0721

Therefore:

Digits = 22

25. Simplify Before Using Logarithms

Whenever possible, simplify powers and products before applying logarithms.

Example:

2³⁰ × 5³⁰ = 10³⁰

Therefore the number has:

31 digits

No logarithm calculation is required.

26. Important 2 × 5 Shortcut

Whenever equal powers of 2 and 5 appear:

2ⁿ × 5ⁿ = 10ⁿ

Hence the product contains exactly n + 1 digits.

27. Example with Unequal Powers of 2 and 5

Find the number of digits in:

2²⁰ × 5¹⁵

Pair fifteen 2s with fifteen 5s:

2²⁰ × 5¹⁵ = 2⁵ × 10¹⁵

= 32 × 10¹⁵

This is 32 followed by 15 zeros, so it has:

2 + 15 = 17 digits

28. Digits in Numbers of the Form a × 10ⁿ

If a is a positive integer not ending in a decimal point and has d digits, then:

a × 10ⁿ

is obtained by appending n zeros to a.

Therefore:

Number of digits = d + n

29. Example: Digits in 347 × 10¹²

347 has 3 digits.

Appending 12 zeros gives:

3 + 12 = 15 digits

30. When Does aⁿ Have Exactly d Digits?

aⁿ has exactly d digits when:

10^d−1 ≤ aⁿ < 10^d

Taking logarithms:

d − 1 ≤ n log a < d

31. Finding n for a Fixed Digit Count

If aⁿ is required to have exactly d digits, solve:

(d − 1)/log a ≤ n < d/log a

Then select integer values of n satisfying the inequality.

32. Example: Smallest n such that 2ⁿ Has 10 Digits

For at least 10 digits:

2ⁿ ≥ 10⁹

Taking logarithms:

n log 2 ≥ 9

n ≥ 9/0.30103 ≈ 29.897

Therefore the smallest integer n is:

33. Check the Boundary Carefully

When logarithmic calculation gives an integer boundary or a value extremely close to an integer, use adequate precision.

Important: Rounding the logarithm too early can change the floor value and therefore produce a wrong digit count.

34. Number of Digits in n!

For factorials, use:

Digits in n! = ⌊log(1) + log(2) + ... + log(n)⌋ + 1

Equivalently:

Digits in n! = ⌊log(n!)⌋ + 1

35. Why Logs are Useful for Factorials

Even moderately large factorials become enormous. Instead of computing n!, use:

log(n!) = log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n

Then apply the digit formula.

36. Example: Number of Digits in 10!

We know:

10! = 3,628,800

Therefore, 10! has 7 digits.

Using logs gives the same result:

log(10!) ≈ 6.55976

So:

Digits = 6 + 1 = 7

37. Example: Number of Digits in 20!

Using logarithms:

log(20!) ≈ 18.3861

Therefore:

Digits in 20! = 18 + 1 = 19

38. Stirling's Approximation

For large n, factorials may be estimated using Stirling's approximation:

n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ

Taking base-10 logarithms:

log(n!) ≈ n log(n/e) + ½ log(2πn)

Advanced Exam Tool: Stirling's approximation is useful when n is large and direct summation of logarithms is impractical. For ordinary SSC/JSSC-type questions, the simpler log-sum method is usually sufficient.

39. Digit Count of n! Using Stirling's Approximation

Using Stirling:

Digits ≈ ⌊n log₁₀(n/e) + ½log₁₀(2πn)⌋ + 1

This is highly accurate for sufficiently large n.

40. Number of Digits in a Perfect Square

If a number N has d digits, its square can have either:

2d − 1 or 2d digits

because:

10^d−1 ≤ N < 10^d

implies:

10^2d−2 ≤ N² < 10^2d

41. Example: Square of a Three-Digit Number

A three-digit integer N satisfies:

100 ≤ N ≤ 999

Therefore N² can have either:

5 or 6 digits

Examples:

100² = 10,000 → 5 digits
999² = 998,001 → 6 digits

42. Number of Digits in a Product of Two Integers

If A has m digits and B has n digits, then AB has either:

m + n − 1 or m + n digits

43. Why a Product Has m+n−1 or m+n Digits

Since:

10^m−1 ≤ A < 10^m

and:

10ⁿ⁻¹ ≤ B < 10ⁿ

multiplying gives:

10^m+n−2 ≤ AB < 10^m+n

Thus AB can have only m+n−1 or m+n digits.

44. Example: Product of a 4-Digit and a 3-Digit Number

The product can have:

4 + 3 − 1 = 6

or:

4 + 3 = 7

digits.

45. Number of Digits in Powers Without Exact Log Values

Sometimes comparison with nearby powers of 10 is enough.

Example: Find the number of digits in 9¹⁰.

Since:

9¹⁰ = 3,486,784,401

it has 10 digits, but direct calculation is unnecessary if suitable bounds are known.

46. Bounding Method

If:

10^k ≤ N < 10^k+1

then N has:

k + 1 digits

This is often the fastest method when N can be compared easily with powers of 10.

47. Example Using Bounds

Find the number of digits in 2¹⁰.

Since:

2¹⁰ = 1024

and:

10³ ≤ 1024 < 10⁴

the number has 4 digits.

48. Digits in a Number Followed by Zeros

If a positive integer A has d digits and is multiplied by 10ⁿ, then n zeros are appended.

Therefore:

Digits in A × 10ⁿ = d + n

This shortcut is especially useful after pairing powers of 2 and 5.

49. Example: 2⁴⁰ × 5³⁵

Pair 35 powers:

2⁴⁰ × 5³⁵ = 2⁵ × 10³⁵

= 32 × 10³⁵

32 has 2 digits, followed by 35 zeros.

Therefore:

Total digits = 37

50. Finding the Number of Digits of Very Large Expressions

For expressions involving several powers:

Simplify common bases or complementary factors such as 2 and 5.
Convert the expression to a product of powers if possible.
Take logarithms only after simplification.
Apply floor(log N) + 1.

51. Solved Example: Digits in 12²⁰

Use:

log 12 = log(3 × 4) = log 3 + 2log 2

≈ 0.477121 + 2(0.30103)

= 1.079181

Then:

20 × 1.079181 = 21.58362

Therefore:

12²⁰ has 22 digits.

52. Solved Example: Digits in 6¹⁰⁰

Since:

log 6 = log 2 + log 3

≈ 0.30103 + 0.477121 = 0.778151

Therefore:

100 × 0.778151 = 77.8151

Hence:

Number of digits = 78

53. Solved Example: Digits in 2¹⁰⁰ × 5⁹⁰

Pair ninety factors of 2 and 5:

2¹⁰⁰ × 5⁹⁰ = 2¹⁰ × 10⁹⁰

= 1024 × 10⁹⁰

1024 has 4 digits.

Appending 90 zeros gives:

94 digits

54. Solved Example: Possible Digits in Product

A has 5 digits and B has 7 digits. How many digits can AB have?

Use:

m + n − 1 or m + n

Therefore:

AB can have 11 or 12 digits.

55. Solved Example: Number of Four-Digit Numbers

Four-digit positive integers range from 1000 to 9999.

Count:

9999 − 1000 + 1 = 9000

or directly:

9 × 10³ = 9000

56. Leading Zeros are Not Counted

In ordinary decimal representation, leading zeros do not contribute to the number of digits.

For example:

0075 = 75

So the number has 2 digits, not 4.

57. Zero Itself

The integer 0 is represented by one symbol:

Therefore:

0 has 1 digit.

58. Negative Integers

The minus sign is not counted as a digit.

Example:

−583

has 3 digits.

59. Common Exam Traps

Trap 1: 10ⁿ has n + 1 digits, not n.

Trap 2: 10ⁿ − 1 has exactly n digits.

Trap 3: For positive integer N, digits = ⌊log N⌋ + 1.

Trap 4: For aⁿ, multiply log a by n before taking the floor.

Trap 5: Do not round the logarithm before applying the floor function.

Trap 6: Equal powers of 2 and 5 should first be combined into powers of 10.

Trap 7: The product of an m-digit and an n-digit positive integer has either m+n−1 or m+n digits.

Trap 8: A d-digit positive integer lies from 10^d−1 to 10^d−1.

Trap 9: Leading zeros are not counted as digits.

Trap 10: The minus sign of a negative integer is not a digit.

60. Quick Revision

A d-digit positive integer satisfies 10^d−1 ≤ N < 10^d.
Smallest d-digit number = 10^d−1.
Largest d-digit number = 10^d − 1.
Number of d-digit positive integers = 9 × 10^d−1.
10ⁿ has n + 1 digits.
10ⁿ − 1 has n digits.
Digits in positive integer N = ⌊log₁₀N⌋ + 1.
Digits in aⁿ = ⌊n log₁₀a⌋ + 1.
log 2 ≈ 0.30103.
log 3 ≈ 0.47712.
log 5 ≈ 0.69897.
log 7 ≈ 0.84510.
log 2 + log 5 = 1.
For products, logarithms add.
For quotients, logarithms subtract.
Simplify powers before using logarithms.
2ⁿ × 5ⁿ = 10ⁿ.
If A has d digits, A × 10ⁿ has d+n digits.
Digits in n! = ⌊log(n!)⌋ + 1.
log(n!) = log 1 + log 2 + ... + log n.
For large n, Stirling's approximation can estimate digits of n!.
The square of a d-digit integer has either 2d−1 or 2d digits.
The product of an m-digit and an n-digit positive integer has m+n−1 or m+n digits.
0 has one digit.
Leading zeros and a negative sign are not counted as digits.

34. n! में Digits की संख्या

Factorial के लिए:

Digits in n! = ⌊log(1) + log(2) + ... + log(n)⌋ + 1

या संक्षेप में:

Digits in n! = ⌊log(n!)⌋ + 1

35. Factorials के लिए Logarithms क्यों उपयोगी हैं?

बड़े factorials बहुत तेजी से विशाल numbers बन जाते हैं। इसलिए n! को पूरा calculate करने के बजाय:

log(n!) = log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n

का उपयोग करके digit count निकाला जाता है।

36. उदाहरण: 10! में Digits

हम जानते हैं:

10! = 3,628,800

इसलिए 10! में 7 digits हैं।

Logarithm method से:

log(10!) ≈ 6.55976

अतः:

Digits = 6 + 1 = 7

37. उदाहरण: 20! में Digits

Using logarithms:

log(20!) ≈ 18.3861

इसलिए:

Digits in 20! = 18 + 1 = 19

38. Stirling's Approximation

बहुत बड़े n के लिए factorial को approximate करने हेतु Stirling's approximation उपयोग की जा सकती है:

n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ

Base-10 logarithm लेने पर:

log(n!) ≈ n log(n/e) + ½ log(2πn)

Advanced Exam Tool: बहुत बड़े n के लिए Stirling's approximation उपयोगी है। सामान्य SSC/JSSC स्तर के अधिकांश questions में log-sum method पर्याप्त होता है।

39. Stirling Formula से n! का Digit Count

Stirling approximation के आधार पर:

Digits ≈ ⌊n log₁₀(n/e) + ½log₁₀(2πn)⌋ + 1

बड़े n के लिए यह approximation बहुत accurate होती है।

40. Perfect Square में Digits की संख्या

यदि N में d digits हैं, तो N² में digits की संख्या केवल इनमें से कोई एक हो सकती है:

2d − 1 या 2d

क्योंकि:

10^d−1 ≤ N < 10^d

दोनों sides का square करने पर:

10^2d−2 ≤ N² < 10^2d

41. उदाहरण: Three-Digit Number का Square

Three-digit integer N के लिए:

100 ≤ N ≤ 999

इसलिए N² में:

5 या 6 digits

हो सकते हैं।

उदाहरण:

100² = 10,000 → 5 digits
999² = 998,001 → 6 digits

42. दो Integers के Product में Digits

यदि A में m digits और B में n digits हैं, तो AB में digits की संख्या होगी:

m + n − 1 या m + n

43. Product में केवल m+n−1 या m+n Digits क्यों?

चूँकि:

10^m−1 ≤ A < 10^m

और:

10ⁿ⁻¹ ≤ B < 10ⁿ

दोनों inequalities multiply करने पर:

10^m+n−2 ≤ AB < 10^m+n

इसलिए AB में केवल m+n−1 या m+n digits हो सकते हैं।

44. उदाहरण: 4-Digit और 3-Digit Number का Product

Product में:

4 + 3 − 1 = 6

या:

4 + 3 = 7

digits हो सकते हैं।

45. Exact Log Value के बिना Powers में Digits

कई बार nearby powers of 10 से comparison करके ही answer मिल जाता है।

उदाहरण: 9¹⁰ में digits की संख्या ज्ञात करें।

9¹⁰ का exact value:

3,486,784,401

है, जिसमें 10 digits हैं। लेकिन उचित bounds ज्ञात हों तो पूरा number calculate करना आवश्यक नहीं है।

46. Bounding Method

यदि:

10^k ≤ N < 10^k+1

तो N में:

k + 1 digits

होंगे।

जब किसी expression को powers of 10 के बीच आसानी से bound किया जा सके, यह सबसे तेज methods में से एक है।

47. उदाहरण: Bounds से 2¹⁰ के Digits

चूँकि:

2¹⁰ = 1024

और:

10³ ≤ 1024 < 10⁴

इसलिए 2¹⁰ में 4 digits हैं।

48. किसी Number के बाद Zeros जोड़ने पर Digits

यदि positive integer A में d digits हैं और उसे 10ⁿ से multiply किया जाए, तो A के बाद n zeros जुड़ जाते हैं।

इसलिए:

Digits in A × 10ⁿ = d + n

यह shortcut powers of 2 और 5 को pair करने के बाद विशेष रूप से उपयोगी है।

49. उदाहरण: 2⁴⁰ × 5³⁵

35 powers को pair करें:

2⁴⁰ × 5³⁵ = 2⁵ × 10³⁵

= 32 × 10³⁵

32 में 2 digits हैं और उसके बाद 35 zeros होंगे।

इसलिए:

Total digits = 2 + 35 = 37

50. बहुत बड़ी Expressions में Digit Count निकालने की Strategy

यदि expression में कई powers हों, तो:

सबसे पहले expression को simplify करें।
2 और 5 जैसे complementary factors को pair करें।
Same bases की powers को combine करें।
जहाँ संभव हो powers of 10 बनाएँ।
केवल आवश्यकता पड़ने पर logarithm लगाएँ।
अंत में ⌊log N⌋ + 1 formula लागू करें।

51. हल किया गया उदाहरण: 12²⁰ में Digits

हम जानते हैं:

log 12 = log(3 × 4) = log 3 + 2log 2

≈ 0.477121 + 2(0.30103)

= 1.079181

अब:

20 × 1.079181 = 21.58362

अतः:

12²⁰ में 22 digits हैं।

52. हल किया गया उदाहरण: 6¹⁰⁰ में Digits

चूँकि:

log 6 = log 2 + log 3

≈ 0.30103 + 0.477121 = 0.778151

इसलिए:

100 × 0.778151 = 77.8151

अतः:

Number of digits = 77 + 1 = 78

53. हल किया गया उदाहरण: 2¹⁰⁰ × 5⁹⁰

90 factors of 2 और 5 को pair करें:

2¹⁰⁰ × 5⁹⁰ = 2¹⁰ × 10⁹⁰

= 1024 × 10⁹⁰

1024 में 4 digits हैं।

इसके बाद 90 zeros होंगे।

अतः:

Total digits = 4 + 90 = 94

54. हल किया गया उदाहरण: Product में Possible Digits

A में 5 digits और B में 7 digits हैं। AB में कितने digits हो सकते हैं?

Formula:

m + n − 1 या m + n

इसलिए:

5 + 7 − 1 = 11

या:

5 + 7 = 12

अतः:

AB में 11 या 12 digits हो सकते हैं।

55. हल किया गया उदाहरण: Four-Digit Numbers की संख्या

Four-digit positive integers 1000 से 9999 तक होते हैं।

इनकी संख्या:

9999 − 1000 + 1 = 9000

या direct formula से:

9 × 10³ = 9000

56. Leading Zeros को Digits में नहीं गिना जाता

Ordinary decimal representation में number के पहले लिखे गए zeros digit count नहीं बढ़ाते।

उदाहरण:

0075 = 75

इसलिए इसमें 2 digits हैं, 4 नहीं।

57. स्वयं Zero में कितने Digits हैं?

Integer 0 को एक ही symbol से लिखा जाता है:

इसलिए:

0 में 1 digit है।

58. Negative Integers में Digits

Negative sign (−) स्वयं digit नहीं होता।

उदाहरण:

−583

में 3 digits हैं।

59. परीक्षा में होने वाली सामान्य गलतियाँ

गलती 1: 10ⁿ में n नहीं, बल्कि n + 1 digits होते हैं।

गलती 2: 10ⁿ − 1 में exactly n digits होते हैं।

गलती 3: Positive integer N के लिए digits = ⌊log N⌋ + 1 होता है।

गलती 4: aⁿ के लिए पहले n × log a निकालें, उसके बाद floor लें।

गलती 5: Floor लेने से पहले logarithm को जल्दी round न करें।

गलती 6: Equal powers of 2 और 5 को पहले powers of 10 में बदलना चाहिए।

गलती 7: m-digit और n-digit positive integers का product केवल m+n−1 या m+n digits का हो सकता है।

गलती 8: d-digit positive integer की range 10^d−1 से 10^d−1 तक होती है।

गलती 9: Leading zeros को digits में नहीं गिना जाता।

गलती 10: Negative sign को digit नहीं माना जाता।

60. त्वरित पुनरावृत्ति

d-digit positive integer के लिए 10^d−1 ≤ N < 10^d।
सबसे छोटी d-digit संख्या = 10^d−1।
सबसे बड़ी d-digit संख्या = 10^d − 1।
d-digit positive integers की संख्या = 9 × 10^d−1।
10ⁿ में n + 1 digits होते हैं।
10ⁿ − 1 में n digits होते हैं।
Positive integer N में digits = ⌊log₁₀N⌋ + 1।
aⁿ में digits = ⌊n log₁₀a⌋ + 1।
log 2 ≈ 0.30103।
log 3 ≈ 0.47712।
log 5 ≈ 0.69897।
log 7 ≈ 0.84510।
log 2 + log 5 = 1।
Products के लिए logarithms add होते हैं।
Quotients के लिए logarithms subtract होते हैं।
Logarithm लगाने से पहले expression को simplify करें।
2ⁿ × 5ⁿ = 10ⁿ।
यदि A में d digits हैं, तो A × 10ⁿ में d+n digits होंगे।
n! में digits = ⌊log(n!)⌋ + 1।
log(n!) = log 1 + log 2 + ... + log n।
बहुत बड़े n के लिए Stirling's approximation उपयोग की जा सकती है।
d-digit integer के square में 2d−1 या 2d digits हो सकते हैं।
m-digit और n-digit positive integers के product में m+n−1 या m+n digits होंगे।
0 में 1 digit होता है।
Leading zeros और negative sign को digits में नहीं गिना जाता।

Practice MCQs

Practice these exam-oriented questions on digit ranges, logarithmic digit counting, powers, products, factorials and cumulative digit counting.

Practice MCQ

Q1. How many six-digit positive integers are there?

A. 90,000
B. 900,000
C. 999,999
D. 1,000,000

Correct Answer: B. 900,000

Explanation:
The number of d-digit positive integers is:

9 × 10^d−1.

For d = 6:

9 × 10⁵ = 900,000.

Practice MCQ

Q2. How many digits are there in 2¹⁰⁰? Use log₁₀2 = 0.30103.

A. 30
B. 31
C. 32
D. 33

Correct Answer: B. 31

Explanation:
log(2¹⁰⁰) = 100 × 0.30103 = 30.103.

Therefore:

Digits = ⌊30.103⌋ + 1
= 31.

Practice MCQ

Q3. How many digits are there in 3⁴⁰? Use log₁₀3 = 0.47712.

A. 18
B. 19
C. 20
D. 21

Correct Answer: C. 20

Explanation:
40 × 0.47712 = 19.0848.

Digits = ⌊19.0848⌋ + 1
= 20.

Practice MCQ

Q4. How many digits are there in 2³⁰ × 5²⁰?

A. 22
B. 23
C. 24
D. 25

Correct Answer: C. 24

Explanation:
Pair twenty powers of 2 and 5:

2³⁰ × 5²⁰
= 2¹⁰ × 10²⁰
= 1024 × 10²⁰.

1024 has 4 digits and is followed by 20 zeros.

Total digits = 4 + 20 = 24.

Practice MCQ

Q5. What is the smallest positive integer n for which 2ⁿ has 20 digits?

A. 62
B. 63
C. 64
D. 65

Correct Answer: C. 64

Explanation:
For 2ⁿ to have at least 20 digits:

2ⁿ ≥ 10¹⁹.

Therefore:

n log 2 ≥ 19
n ≥ 19/0.30103
≈ 63.116.

The smallest integer satisfying this is 64.

Indeed, 2⁶³ has 19 digits while 2⁶⁴ has 20 digits.

Practice MCQ

Q6. If A is a six-digit positive integer and B is a four-digit positive integer, how many digits can AB have?

A. Only 9
B. Only 10
C. 8 or 9
D. 9 or 10

Correct Answer: D. 9 or 10

Explanation:
The product of an m-digit and an n-digit positive integer can have:

m + n − 1 or m + n digits.

Here m = 6 and n = 4.

Therefore AB can have:

6 + 4 − 1 = 9
or
6 + 4 = 10 digits.

Practice MCQ

Q7. How many digits are there in 50!?

A. 63
B. 64
C. 65
D. 66

Correct Answer: C. 65

Explanation:
Use:

Digits in 50! = ⌊log₁₀(50!)⌋ + 1.

Now:

log₁₀(50!) ≈ 64.4831.

Therefore:

Digits = 64 + 1 = 65.

Practice MCQ

Q8. How many digits are required to write all the page numbers from 1 to 999?

A. 2789
B. 2889
C. 2899
D. 2997

Correct Answer: B. 2889

Explanation:
From 1 to 9:
9 × 1 = 9 digits.

From 10 to 99:
90 × 2 = 180 digits.

From 100 to 999:
900 × 3 = 2700 digits.

Total:

9 + 180 + 2700 = 2889.

Practice MCQ

Q9. How many digits are there in 125²⁰? Use log₁₀2 = 0.30103.

A. 40
B. 41
C. 42
D. 43

Correct Answer: C. 42

Explanation:
125²⁰ = 5⁶⁰.

log 5 = 1 − log 2
= 1 − 0.30103
= 0.69897.

Therefore:

log(5⁶⁰) = 60 × 0.69897
= 41.9382.

Digits = 41 + 1 = 42.

Practice MCQ

Q10. How many digits are there in 6⁵⁰? Use log₁₀2 = 0.30103 and log₁₀3 = 0.47712.

A. 38
B. 39
C. 40
D. 41

Correct Answer: B. 39

Explanation:
log 6 = log 2 + log 3
= 0.30103 + 0.47712
= 0.77815.

Therefore:

log(6⁵⁰) = 50 × 0.77815
= 38.9075.

Number of digits = 38 + 1 = 39.

अंकों की संख्या (Number of Digits)

किसी बहुत बड़ी संख्या को पूरा लिखे बिना भी उसमें अंकों की संख्या ज्ञात की जा सकती है। Powers of 10 हमें digit boundaries समझने में सहायता करती हैं, जबकि logarithms की मदद से बहुत बड़ी powers, products और factorials में digits की संख्या आसानी से निकाली जा सकती है। प्रतियोगी परीक्षाओं में यह method विशेष रूप से उपयोगी है।

1. अंकों की संख्या का अर्थ

Decimal number system में किसी पूर्णांक को लिखने में प्रयुक्त अंकों की संख्या को उस संख्या का number of digits कहा जाता है।

उदाहरण:

7 में 1 digit है।
42 में 2 digits हैं।
583 में 3 digits हैं।
12,457 में 5 digits हैं।

2. एक-अंकीय धनात्मक संख्याएँ

Positive one-digit integers हैं:

1 से 9

अतः कुल 9 positive one-digit numbers हैं।

3. दो-अंकीय संख्याएँ

सबसे छोटी two-digit positive integer = 10 और सबसे बड़ी = 99।

अतः:

10 ≤ N ≤ 99

इनकी संख्या:

99 − 10 + 1 = 90

अर्थात कुल 90 two-digit positive integers हैं।

4. तीन-अंकीय संख्याएँ

सबसे छोटी three-digit number = 100 और सबसे बड़ी = 999।

100 ≤ N ≤ 999

इनकी कुल संख्या:

999 − 100 + 1 = 900

5. d-Digit Positive Integer की General Range

किसी positive integer N में exactly d digits होंगे यदि और केवल यदि:

10^d−1 ≤ N < 10^d

इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं:

10^d−1 ≤ N ≤ 10^d − 1

6. Smallest और Largest d-Digit Numbers

Digits	सबसे छोटी संख्या	सबसे बड़ी संख्या
1	1	9
2	10	99
3	100	999
4	1000	9999
d	10^d−1	10^d − 1

7. d-Digit Positive Integers की कुल संख्या

10^d−1 से 10^d − 1 तक integers की संख्या:

(10^d − 1) − 10^d−1 + 1

= 9 × 10^d−1

Formula: Positive d-digit integers की संख्या = 9 × 10^d−1।

8. उदाहरण: Five-Digit Numbers की संख्या

d = 5 के लिए:

9 × 10⁴ = 90,000

अतः कुल 90,000 five-digit positive integers हैं।

9. Powers of 10 और Number of Digits

हर non-negative integer n के लिए:

10ⁿ में n + 1 digits होते हैं।

उदाहरण:

10¹ = 10 → 2 digits
10² = 100 → 3 digits
10⁵ = 100000 → 6 digits

10. Power of 10 से ठीक एक कम संख्या

संख्या:

10ⁿ − 1

में exactly n digits होते हैं और सभी digits 9 होते हैं।

उदाहरण:

10⁵ − 1 = 99,999

इसमें 5 digits हैं।

11. Logarithm की सहायता से Basic Digit Formula

किसी positive integer N में digits की संख्या:

Number of digits = ⌊log₁₀N⌋ + 1

यहाँ ⌊x⌋ का अर्थ x से छोटा या बराबर greatest integer है।

12. Logarithm Formula क्यों काम करता है?

यदि N में d digits हैं, तो:

10^d−1 ≤ N < 10^d

Base 10 logarithm लेने पर:

d − 1 ≤ log₁₀N < d

अतः:

⌊log₁₀N⌋ = d − 1

इसलिए:

d = ⌊log₁₀N⌋ + 1

13. उदाहरण: 3578 में Digits की संख्या

चूँकि:

10³ < 3578 < 10⁴

इसलिए 3578 में 4 digits हैं।

Logarithm से भी:

3 ≤ log₁₀3578 < 4

इसलिए floor(log₁₀3578) = 3 और total digits = 4।

14. aⁿ में Digits की संख्या

यदि a एक positive integer और n एक positive integer है, तो:

Digits in aⁿ = ⌊n log₁₀a⌋ + 1

क्योंकि:

log₁₀(aⁿ) = n log₁₀a

15. उदाहरण: 2²⁰ में Digits

हम जानते हैं:

log₁₀2 ≈ 0.30103

अतः:

20 × 0.30103 = 6.0206

इसलिए:

Digits = ⌊6.0206⌋ + 1 = 7

वास्तव में:

2²⁰ = 1,048,576

जिसमें 7 digits हैं।

16. उदाहरण: 3⁵⁰ में Digits

Use:

log₁₀3 ≈ 0.477121

तब:

50 × 0.477121 = 23.85605

अतः:

Digits = 23 + 1 = 24

17. महत्वपूर्ण Common Logarithm Values

संख्या	Approximate log₁₀
2	0.30103
3	0.47712
5	0.69897
7	0.84510
10	1

Exam Use: Standard digit-count questions के लिए log 2, log 3, log 5 और log 7 के approximate values प्रायः पर्याप्त होते हैं।

18. log 2 और log 5 का महत्वपूर्ण संबंध

चूँकि:

2 × 5 = 10

इसलिए:

log 2 + log 5 = log 10 = 1

अतः:

log 5 = 1 − log 2 ≈ 0.69897

19. 5ⁿ में Digits की संख्या

log 5 ≈ 0.69897 का उपयोग करके:

Digits in 5ⁿ = ⌊0.69897n⌋ + 1

20. उदाहरण: 5²⁵ में Digits

25 × 0.69897 = 17.47425

अतः:

Digits = 17 + 1 = 18

21. Product में Digits की संख्या

Positive numbers A और B के लिए:

log(AB) = log A + log B

इसलिए:

Digits in AB = ⌊log A + log B⌋ + 1

22. उदाहरण: 2⁵⁰ × 3⁴⁰ में Digits

Logarithm लें:

50 log 2 + 40 log 3

≈ 50(0.30103) + 40(0.477121)

= 15.0515 + 19.08484 = 34.13634

अतः:

Number of digits = 34 + 1 = 35

23. Quotient में Digits की संख्या

यदि Q = A/B एक positive integer है, तो:

log Q = log A − log B

अतः:

Digits in Q = ⌊log A − log B⌋ + 1

24. उदाहरण: 2¹⁰⁰ / 2³⁰ में Digits

पहले simplify करें:

2¹⁰⁰ / 2³⁰ = 2⁷⁰

अब:

70 × 0.30103 = 21.0721

अतः:

Digits = 21 + 1 = 22

25. Logarithm लगाने से पहले Simplify करें

जहाँ संभव हो, powers और products को पहले simplify करें।

उदाहरण:

2³⁰ × 5³⁰ = 10³⁰

इसलिए इसमें:

31 digits

होंगे। यहाँ logarithm की आवश्यकता नहीं है।

26. महत्वपूर्ण 2 × 5 Shortcut

यदि 2 और 5 की equal powers हों:

2ⁿ × 5ⁿ = 10ⁿ

अतः product में exactly n + 1 digits होंगे।

27. उदाहरण: 2 और 5 की Unequal Powers

Digits ज्ञात करें:

2²⁰ × 5¹⁵

15 factors of 2 को 15 factors of 5 के साथ pair करें:

2²⁰ × 5¹⁵ = 2⁵ × 10¹⁵

= 32 × 10¹⁵

32 में 2 digits हैं और उसके बाद 15 zeros होंगे।

अतः:

Total digits = 2 + 15 = 17

28. a × 10ⁿ के रूप में Number of Digits

यदि positive integer a में d digits हैं, तो:

a × 10ⁿ

में a के बाद n zeros जुड़ जाते हैं।

इसलिए:

Number of digits = d + n

29. उदाहरण: 347 × 10¹² में Digits

347 में 3 digits हैं।

इसके बाद 12 zeros जुड़ेंगे।

अतः:

Total digits = 3 + 12 = 15

30. aⁿ में Exactly d Digits कब होंगे?

aⁿ में exactly d digits होंगे यदि:

10^d−1 ≤ aⁿ < 10^d

Logarithm लेने पर:

d − 1 ≤ n log a < d

31. Fixed Digit Count के लिए n ज्ञात करना

यदि aⁿ में exactly d digits चाहिए, तो solve करें:

(d − 1)/log a ≤ n < d/log a

इसके बाद केवल integer n-values चुनें।

32. उदाहरण: 2ⁿ में कम-से-कम 10 Digits के लिए Smallest n

10 digits के लिए:

2ⁿ ≥ 10⁹

Logarithm लेने पर:

n log 2 ≥ 9

n ≥ 9/0.30103 ≈ 29.897

अतः smallest integer n:

33. Boundary पर विशेष सावधानी

यदि logarithmic calculation किसी integer के बहुत पास आ रही हो, तो पर्याप्त decimal precision का उपयोग करें।

महत्वपूर्ण: Logarithm को बहुत जल्दी round करने से floor value बदल सकती है और digit count गलत हो सकता है।

34. n! में Digits की संख्या

Factorial के लिए:

Digits in n! = ⌊log(1) + log(2) + ... + log(n)⌋ + 1

या संक्षेप में:

Digits in n! = ⌊log(n!)⌋ + 1

35. Factorials के लिए Logarithms क्यों उपयोगी हैं?

बड़े factorials बहुत तेजी से विशाल numbers बन जाते हैं। इसलिए n! को पूरा calculate करने के बजाय:

log(n!) = log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n

का उपयोग करके digit count निकाला जाता है।

36. उदाहरण: 10! में Digits

हम जानते हैं:

10! = 3,628,800

इसलिए 10! में 7 digits हैं।

Logarithm method से:

log(10!) ≈ 6.55976

अतः:

Digits = 6 + 1 = 7

37. उदाहरण: 20! में Digits

Using logarithms:

log(20!) ≈ 18.3861

इसलिए:

Digits in 20! = 18 + 1 = 19

38. Stirling's Approximation

बहुत बड़े n के लिए factorial को approximate करने हेतु Stirling's approximation उपयोग की जा सकती है:

n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ

Base-10 logarithm लेने पर:

log(n!) ≈ n log(n/e) + ½ log(2πn)

39. Stirling Formula से n! का Digit Count

Stirling approximation के आधार पर:

Digits ≈ ⌊n log₁₀(n/e) + ½log₁₀(2πn)⌋ + 1

बड़े n के लिए यह approximation बहुत accurate होती है।

40. Perfect Square में Digits की संख्या

यदि N में d digits हैं, तो N² में digits की संख्या केवल इनमें से कोई एक हो सकती है:

2d − 1 या 2d

क्योंकि:

10^d−1 ≤ N < 10^d

दोनों sides का square करने पर:

10^2d−2 ≤ N² < 10^2d

41. उदाहरण: Three-Digit Number का Square

Three-digit integer N के लिए:

100 ≤ N ≤ 999

इसलिए N² में:

5 या 6 digits

हो सकते हैं।

उदाहरण:

100² = 10,000 → 5 digits
999² = 998,001 → 6 digits

42. दो Integers के Product में Digits

यदि A में m digits और B में n digits हैं, तो AB में digits की संख्या होगी:

m + n − 1 या m + n

43. Product में केवल m+n−1 या m+n Digits क्यों?

चूँकि:

10^m−1 ≤ A < 10^m

और:

10ⁿ⁻¹ ≤ B < 10ⁿ

दोनों inequalities multiply करने पर:

10^m+n−2 ≤ AB < 10^m+n

इसलिए AB में केवल m+n−1 या m+n digits हो सकते हैं।

44. उदाहरण: 4-Digit और 3-Digit Number का Product

Product में:

4 + 3 − 1 = 6

या:

4 + 3 = 7

digits हो सकते हैं।

45. Exact Log Value के बिना Powers में Digits

कई बार nearby powers of 10 से comparison करके ही answer मिल जाता है।

उदाहरण: 9¹⁰ में digits की संख्या ज्ञात करें।

9¹⁰ का exact value:

3,486,784,401

46. Bounding Method

यदि:

10^k ≤ N < 10^k+1

तो N में:

k + 1 digits

होंगे।

जब किसी expression को powers of 10 के बीच आसानी से bound किया जा सके, यह सबसे तेज methods में से एक है।

47. उदाहरण: Bounds से 2¹⁰ के Digits

चूँकि:

2¹⁰ = 1024

और:

10³ ≤ 1024 < 10⁴

इसलिए 2¹⁰ में 4 digits हैं।

48. किसी Number के बाद Zeros जोड़ने पर Digits

यदि positive integer A में d digits हैं और उसे 10ⁿ से multiply किया जाए, तो A के बाद n zeros जुड़ जाते हैं।

इसलिए:

Digits in A × 10ⁿ = d + n

यह shortcut powers of 2 और 5 को pair करने के बाद विशेष रूप से उपयोगी है।

49. उदाहरण: 2⁴⁰ × 5³⁵

35 powers को pair करें:

2⁴⁰ × 5³⁵ = 2⁵ × 10³⁵

= 32 × 10³⁵

32 में 2 digits हैं और उसके बाद 35 zeros होंगे।

इसलिए:

Total digits = 2 + 35 = 37

50. बहुत बड़ी Expressions में Digit Count निकालने की Strategy

यदि expression में कई powers हों, तो:

सबसे पहले expression को simplify करें।
2 और 5 जैसे complementary factors को pair करें।
Same bases की powers को combine करें।
जहाँ संभव हो powers of 10 बनाएँ।
केवल आवश्यकता पड़ने पर logarithm लगाएँ।
अंत में ⌊log N⌋ + 1 formula लागू करें।

51. हल किया गया उदाहरण: 12²⁰ में Digits

हम जानते हैं:

log 12 = log(3 × 4) = log 3 + 2log 2

≈ 0.477121 + 2(0.30103)

= 1.079181

अब:

20 × 1.079181 = 21.58362

अतः:

12²⁰ में 22 digits हैं।

52. हल किया गया उदाहरण: 6¹⁰⁰ में Digits

चूँकि:

log 6 = log 2 + log 3

≈ 0.30103 + 0.477121 = 0.778151

इसलिए:

100 × 0.778151 = 77.8151

अतः:

Number of digits = 77 + 1 = 78

53. हल किया गया उदाहरण: 2¹⁰⁰ × 5⁹⁰

90 factors of 2 और 5 को pair करें:

2¹⁰⁰ × 5⁹⁰ = 2¹⁰ × 10⁹⁰

= 1024 × 10⁹⁰

1024 में 4 digits हैं।

इसके बाद 90 zeros होंगे।

अतः:

Total digits = 4 + 90 = 94

54. हल किया गया उदाहरण: Product में Possible Digits

A में 5 digits और B में 7 digits हैं। AB में कितने digits हो सकते हैं?

Formula:

m + n − 1 या m + n

इसलिए:

5 + 7 − 1 = 11

या:

5 + 7 = 12

अतः:

AB में 11 या 12 digits हो सकते हैं।

55. हल किया गया उदाहरण: Four-Digit Numbers की संख्या

Four-digit positive integers 1000 से 9999 तक होते हैं।

इनकी संख्या:

9999 − 1000 + 1 = 9000

या direct formula से:

9 × 10³ = 9000

56. Leading Zeros को Digits में नहीं गिना जाता

Ordinary decimal representation में number के पहले लिखे गए zeros digit count नहीं बढ़ाते।

उदाहरण:

0075 = 75

इसलिए इसमें 2 digits हैं, 4 नहीं।

57. स्वयं Zero में कितने Digits हैं?

Integer 0 को एक ही symbol से लिखा जाता है:

इसलिए:

0 में 1 digit है।

58. Negative Integers में Digits

Negative sign (−) स्वयं digit नहीं होता।

उदाहरण:

−583

में 3 digits हैं।

59. परीक्षा में होने वाली सामान्य गलतियाँ

गलती 1: 10ⁿ में n नहीं, बल्कि n + 1 digits होते हैं।

गलती 2: 10ⁿ − 1 में exactly n digits होते हैं।

गलती 3: Positive integer N के लिए digits = ⌊log N⌋ + 1 होता है।

गलती 4: aⁿ के लिए पहले n × log a निकालें, उसके बाद floor लें।

गलती 5: Floor लेने से पहले logarithm को जल्दी round न करें।

गलती 6: Equal powers of 2 और 5 को पहले powers of 10 में बदलना चाहिए।

गलती 7: m-digit और n-digit positive integers का product केवल m+n−1 या m+n digits का हो सकता है।

गलती 8: d-digit positive integer की range 10^d−1 से 10^d−1 तक होती है।

गलती 9: Leading zeros को digits में नहीं गिना जाता।

गलती 10: Negative sign को digit नहीं माना जाता।

60. त्वरित पुनरावृत्ति

d-digit positive integer के लिए 10^d−1 ≤ N < 10^d।
सबसे छोटी d-digit संख्या = 10^d−1।
सबसे बड़ी d-digit संख्या = 10^d − 1।
d-digit positive integers की संख्या = 9 × 10^d−1।
10ⁿ में n + 1 digits होते हैं।
10ⁿ − 1 में n digits होते हैं।
Positive integer N में digits = ⌊log₁₀N⌋ + 1।
aⁿ में digits = ⌊n log₁₀a⌋ + 1।
log 2 ≈ 0.30103।
log 3 ≈ 0.47712।
log 5 ≈ 0.69897।
log 7 ≈ 0.84510।
log 2 + log 5 = 1।
Products के लिए logarithms add होते हैं।
Quotients के लिए logarithms subtract होते हैं।
Logarithm लगाने से पहले expression को simplify करें।
2ⁿ × 5ⁿ = 10ⁿ।
यदि A में d digits हैं, तो A × 10ⁿ में d+n digits होंगे।
n! में digits = ⌊log(n!)⌋ + 1।
log(n!) = log 1 + log 2 + ... + log n।
बहुत बड़े n के लिए Stirling's approximation उपयोग की जा सकती है।
d-digit integer के square में 2d−1 या 2d digits हो सकते हैं।
m-digit और n-digit positive integers के product में m+n−1 या m+n digits होंगे।
0 में 1 digit होता है।
Leading zeros और negative sign को digits में नहीं गिना जाता।

पिछले वर्षों में पूछे गए प्रश्न (PYQs)

अंकों की संख्या, powers, logarithms तथा page-number digit counting पर आधारित इन पिछले वर्षों के प्रश्नों का अभ्यास करें। उत्तर एवं व्याख्या देखने से पहले प्रत्येक प्रश्न स्वयं हल करने का प्रयास करें।

SSC CHSL PYQ2 जुलाई 2024 · Tier-I · Shift IV

प्रश्न 1. 428 pages वाली किसी पुस्तक के pages को क्रमांकित करने में कुल कितने digits की आवश्यकता होगी?

A. 1167
B. 1176
C. 1186
D. 1196

सही उत्तर: B. 1176

व्याख्या:
Page 1 से 9 तक:
9 × 1 = 9 digits।

Page 10 से 99 तक:
90 × 2 = 180 digits।

Page 100 से 428 तक:
428 − 100 + 1 = 329 pages।
329 × 3 = 987 digits।

कुल digits:

9 + 180 + 987 = 1176।

CDS PYQ5 फरवरी 2017 · Mathematics

प्रश्न 2. 2⁴⁰ में कितने digits हैं? दिया है log₁₀2 = 0.301।

A. 14
B. 13
C. 12
D. 11

सही उत्तर: B. 13

व्याख्या:
N = 2⁴⁰ के लिए:

log₁₀N = 40 log₁₀2
= 40 × 0.301
= 12.04।

Number of digits = ⌊12.04⌋ + 1
= 12 + 1
= 13।

CDS PYQ23 अक्टूबर 2016 · Mathematics

प्रश्न 3. 3³⁰ में digits की संख्या n है। यदि log₁₀3 = 0.4771, तो n का मान क्या है?

A. 13
B. 14
C. 15
D. 16

सही उत्तर: C. 15

व्याख्या:
मान लें N = 3³⁰।

log₁₀N = 30 log₁₀3
= 30 × 0.4771
= 14.313।

अतः:

Digits = ⌊14.313⌋ + 1
= 14 + 1
= 15।

CDS PYQ3 फरवरी 2019 · Mathematics

प्रश्न 4. दिया है log₁₀2 = 0.301 और log₁₀3 = 0.477। 108¹⁰ में कितने digits होंगे?

A. 19
B. 20
C. 21
D. 22

सही उत्तर: C. 21

व्याख्या:
108 = 2² × 3³।

इसलिए:

log(108¹⁰)
= 10[2 log 2 + 3 log 3]
= 10[2(0.301) + 3(0.477)]
= 10(0.602 + 1.431)
= 20.33।

अतः:

Digits = ⌊20.33⌋ + 1 = 21।

CDS PYQ3 सितंबर 2023 · Elementary Mathematics

प्रश्न 5. 125¹⁰⁰ के expansion में कितने digits होंगे? दिया है log₁₀2 = 0.301।

A. 69
B. 70
C. 209
D. 210

सही उत्तर: D. 210

व्याख्या:
125 = 5³।

इसलिए:

125¹⁰⁰ = 5³⁰⁰।

अब:

log 5 = log(10/2) = 1 − 0.301 = 0.699।

अतः:

log(125¹⁰⁰) = 300 × 0.699 = 209.7।

Number of digits = ⌊209.7⌋ + 1
= 210।

UPSC CSE PYQ24 मई 2026 · Preliminary Examination · CSAT

प्रश्न 6. कितनी three-digit numbers को 2 की किसी integral power के रूप में व्यक्त किया जा सकता है?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

सही उत्तर: C. 3

व्याख्या:
Three-digit numbers 100 से 999 के बीच होती हैं।

इस range के आसपास 2 की powers देखें:

2⁶ = 64 → two digits
2⁷ = 128 → three digits
2⁸ = 256 → three digits
2⁹ = 512 → three digits
2¹⁰ = 1024 → four digits।

अतः qualifying numbers हैं:

128, 256 और 512।

कुल संख्या = 3।

अभ्यास प्रश्न (Practice MCQs)

Digit ranges, logarithmic digit counting, powers, products, factorials तथा cumulative digit counting पर आधारित इन परीक्षा-उपयोगी प्रश्नों का अभ्यास करें।

Practice MCQ

प्रश्न 1. कुल कितनी six-digit positive integers होती हैं?

A. 90,000
B. 900,000
C. 999,999
D. 1,000,000

सही उत्तर: B. 900,000

व्याख्या:
d-digit positive integers की संख्या होती है:

9 × 10^d−1।

d = 6 रखने पर:

9 × 10⁵ = 900,000।

Practice MCQ

प्रश्न 2. 2¹⁰⁰ में कितने digits होंगे? log₁₀2 = 0.30103 लें।

A. 30
B. 31
C. 32
D. 33

सही उत्तर: B. 31

व्याख्या:
log(2¹⁰⁰) = 100 × 0.30103 = 30.103।

इसलिए:

Digits = ⌊30.103⌋ + 1
= 31।

Practice MCQ

प्रश्न 3. 3⁴⁰ में कितने digits होंगे? log₁₀3 = 0.47712 लें।

A. 18
B. 19
C. 20
D. 21

सही उत्तर: C. 20

व्याख्या:
40 × 0.47712 = 19.0848।

अतः:

Digits = ⌊19.0848⌋ + 1
= 20।

Practice MCQ

प्रश्न 4. 2³⁰ × 5²⁰ में कितने digits होंगे?

A. 22
B. 23
C. 24
D. 25

सही उत्तर: C. 24

व्याख्या:
20 powers of 2 और 5 को pair करें:

2³⁰ × 5²⁰
= 2¹⁰ × 10²⁰
= 1024 × 10²⁰।

1024 में 4 digits हैं और उसके बाद 20 zeros होंगे।

Total digits = 4 + 20 = 24।

Practice MCQ

प्रश्न 5. सबसे छोटा positive integer n क्या है जिसके लिए 2ⁿ में 20 digits हों?

A. 62
B. 63
C. 64
D. 65

सही उत्तर: C. 64

व्याख्या:
2ⁿ में कम-से-कम 20 digits होने के लिए:

2ⁿ ≥ 10¹⁹।

इसलिए:

n log 2 ≥ 19
n ≥ 19/0.30103
≈ 63.116।

इस condition को satisfy करने वाला smallest integer 64 है।

2⁶³ में 19 digits और 2⁶⁴ में 20 digits होते हैं।

Practice MCQ

प्रश्न 6. यदि A एक six-digit positive integer और B एक four-digit positive integer है, तो AB में कितने digits हो सकते हैं?

A. केवल 9
B. केवल 10
C. 8 या 9
D. 9 या 10

सही उत्तर: D. 9 या 10

व्याख्या:
m-digit और n-digit positive integers का product:

m + n − 1 या m + n digits का हो सकता है।

यहाँ m = 6 और n = 4।

अतः AB में:

6 + 4 − 1 = 9
या
6 + 4 = 10 digits हो सकते हैं।

Practice MCQ

प्रश्न 7. 50! में कितने digits हैं?

A. 63
B. 64
C. 65
D. 66

सही उत्तर: C. 65

व्याख्या:
Formula:

Digits in 50! = ⌊log₁₀(50!)⌋ + 1।

अब:

log₁₀(50!) ≈ 64.4831।

अतः:

Digits = 64 + 1 = 65।

Practice MCQ

प्रश्न 8. 1 से 999 तक सभी page numbers लिखने में कुल कितने digits की आवश्यकता होगी?

A. 2789
B. 2889
C. 2899
D. 2997

सही उत्तर: B. 2889

व्याख्या:
1 से 9 तक:
9 × 1 = 9 digits।

10 से 99 तक:
90 × 2 = 180 digits।

100 से 999 तक:
900 × 3 = 2700 digits।

कुल:

9 + 180 + 2700 = 2889।

Practice MCQ

प्रश्न 9. 125²⁰ में कितने digits हैं? log₁₀2 = 0.30103 लें।

A. 40
B. 41
C. 42
D. 43

सही उत्तर: C. 42

व्याख्या:
125²⁰ = 5⁶⁰।

log 5 = 1 − log 2
= 1 − 0.30103
= 0.69897।

अतः:

log(5⁶⁰) = 60 × 0.69897
= 41.9382।

Digits = 41 + 1 = 42।

Practice MCQ

प्रश्न 10. 6⁵⁰ में कितने digits हैं? log₁₀2 = 0.30103 और log₁₀3 = 0.47712 लें।

A. 38
B. 39
C. 40
D. 41

सही उत्तर: B. 39

व्याख्या:
log 6 = log 2 + log 3
= 0.30103 + 0.47712
= 0.77815।

इसलिए:

log(6⁵⁰) = 50 × 0.77815
= 38.9075।

Number of digits = 38 + 1 = 39।

Topic 1.15 : Number of Digits Topic 1.15 : अंकों की संख्या

Chapter 1 : Number System अध्याय 1 : संख्या पद्धति

Number of Digits

1. What is Meant by Number of Digits?

2. One-Digit Numbers

3. Two-Digit Numbers

4. Three-Digit Numbers

5. General Range of d-Digit Positive Integers

6. Smallest and Largest d-Digit Numbers

7. Number of d-Digit Positive Integers

8. Example: Number of Five-Digit Numbers

9. Powers of 10 and Number of Digits

10. Numbers Just Below a Power of 10

11. Basic Digit Formula Using Logarithms

12. Why the Logarithm Formula Works

13. Example: Digits in 3578

14. Number of Digits in a Power an

15. Example: Number of Digits in 220

16. Example: Number of Digits in 350

17. Important Common Logarithm Values

18. Useful Relationship Between log 2 and log 5

19. Number of Digits in 5n

20. Example: Digits in 525

21. Number of Digits in a Product

22. Example: Digits in 250 × 340

23. Number of Digits in a Quotient

24. Example: Digits in 2100 / 230

25. Simplify Before Using Logarithms

26. Important 2 × 5 Shortcut

27. Example with Unequal Powers of 2 and 5

28. Digits in Numbers of the Form a × 10n

29. Example: Digits in 347 × 1012

30. When Does an Have Exactly d Digits?

31. Finding n for a Fixed Digit Count

32. Example: Smallest n such that 2n Has 10 Digits

33. Check the Boundary Carefully

34. Number of Digits in n!

35. Why Logs are Useful for Factorials

36. Example: Number of Digits in 10!

37. Example: Number of Digits in 20!

38. Stirling's Approximation

39. Digit Count of n! Using Stirling's Approximation

40. Number of Digits in a Perfect Square

41. Example: Square of a Three-Digit Number

42. Number of Digits in a Product of Two Integers

43. Why a Product Has m+n−1 or m+n Digits

44. Example: Product of a 4-Digit and a 3-Digit Number

45. Number of Digits in Powers Without Exact Log Values

46. Bounding Method

47. Example Using Bounds

48. Digits in a Number Followed by Zeros

49. Example: 240 × 535

50. Finding the Number of Digits of Very Large Expressions

51. Solved Example: Digits in 1220

52. Solved Example: Digits in 6100

53. Solved Example: Digits in 2100 × 590

54. Solved Example: Possible Digits in Product

55. Solved Example: Number of Four-Digit Numbers

56. Leading Zeros are Not Counted

57. Zero Itself

58. Negative Integers

59. Common Exam Traps

60. Quick Revision

34. n! में Digits की संख्या

35. Factorials के लिए Logarithms क्यों उपयोगी हैं?

36. उदाहरण: 10! में Digits

37. उदाहरण: 20! में Digits

38. Stirling's Approximation

39. Stirling Formula से n! का Digit Count

40. Perfect Square में Digits की संख्या

41. उदाहरण: Three-Digit Number का Square

42. दो Integers के Product में Digits

43. Product में केवल m+n−1 या m+n Digits क्यों?

44. उदाहरण: 4-Digit और 3-Digit Number का Product

45. Exact Log Value के बिना Powers में Digits

46. Bounding Method

47. उदाहरण: Bounds से 210 के Digits

48. किसी Number के बाद Zeros जोड़ने पर Digits

49. उदाहरण: 240 × 535

50. बहुत बड़ी Expressions में Digit Count निकालने की Strategy

14. Number of Digits in a Power aⁿ

15. Example: Number of Digits in 2²⁰

16. Example: Number of Digits in 3⁵⁰

19. Number of Digits in 5ⁿ

20. Example: Digits in 5²⁵

22. Example: Digits in 2⁵⁰ × 3⁴⁰

24. Example: Digits in 2¹⁰⁰ / 2³⁰

28. Digits in Numbers of the Form a × 10ⁿ

29. Example: Digits in 347 × 10¹²

30. When Does aⁿ Have Exactly d Digits?

32. Example: Smallest n such that 2ⁿ Has 10 Digits

49. Example: 2⁴⁰ × 5³⁵

51. Solved Example: Digits in 12²⁰

52. Solved Example: Digits in 6¹⁰⁰

53. Solved Example: Digits in 2¹⁰⁰ × 5⁹⁰

47. उदाहरण: Bounds से 2¹⁰ के Digits

49. उदाहरण: 2⁴⁰ × 5³⁵

51. हल किया गया उदाहरण: 12²⁰ में Digits

52. हल किया गया उदाहरण: 6¹⁰⁰ में Digits

53. हल किया गया उदाहरण: 2¹⁰⁰ × 5⁹⁰

14. aⁿ में Digits की संख्या

15. उदाहरण: 2²⁰ में Digits

16. उदाहरण: 3⁵⁰ में Digits

19. 5ⁿ में Digits की संख्या

20. उदाहरण: 5²⁵ में Digits

22. उदाहरण: 2⁵⁰ × 3⁴⁰ में Digits

24. उदाहरण: 2¹⁰⁰ / 2³⁰ में Digits

28. a × 10ⁿ के रूप में Number of Digits

29. उदाहरण: 347 × 10¹² में Digits

30. aⁿ में Exactly d Digits कब होंगे?

32. उदाहरण: 2ⁿ में कम-से-कम 10 Digits के लिए Smallest n

47. उदाहरण: Bounds से 2¹⁰ के Digits

49. उदाहरण: 2⁴⁰ × 5³⁵

51. हल किया गया उदाहरण: 12²⁰ में Digits

52. हल किया गया उदाहरण: 6¹⁰⁰ में Digits

53. हल किया गया उदाहरण: 2¹⁰⁰ × 5⁹⁰