Factorial & Trailing Zeros
Factorial is a compact way of representing the product of consecutive positive integers. Questions on factorials frequently ask about simplification, divisibility, highest powers of prime numbers and the number of trailing zeros. Since every trailing zero is produced by a factor 10 = 2 × 5, counting suitable pairs of 2 and 5 becomes the key idea.
1. Meaning of Factorial
For a positive integer n, the factorial of n is written as:
n!
and is defined by:
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 3 × 2 × 1
2. Basic Factorial Values
| Expression | Value |
|---|
| 1! | 1 |
| 2! | 2 |
| 3! | 6 |
| 4! | 24 |
| 5! | 120 |
| 6! | 720 |
| 7! | 5040 |
| 8! | 40320 |
| 9! | 362880 |
| 10! | 3628800 |
3. Value of 0!
By definition:
0! = 1
Very Important Exam Fact: 0! is not 0. Its value is 1.
4. Recursive Property of Factorial
Factorials satisfy:
n! = n × (n − 1)!
Similarly:
(n + 1)! = (n + 1)n!
5. Example of Recursive Simplification
Simplify:
8! / 7!
Since:
8! = 8 × 7!
we get:
8! / 7! = 8
6. Expanding Only as Much as Necessary
In factorial fractions, never expand the entire factorial unless required.
Example:
10! / 7!
Write:
10! = 10 × 9 × 8 × 7!
Hence:
10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720
Exam Shortcut: Cancel the common factorial first. This usually converts a large factorial expression into a very small product.
7. General Factorial Quotient
If n > r:
n! / r! = n × (n − 1) × ... × (r + 1)
Example:
12! / 9! = 12 × 11 × 10 = 1320
8. Factorial Product Identity
Since:
(n + 1)! = (n + 1)n!
we also have:
(n + 1)! − n! = n × n!
because:
(n + 1)n! − n! = n![(n + 1) − 1] = n × n!
9. Example: Difference of Factorials
Simplify:
8! − 7!
Take 7! common:
8! − 7! = 8 × 7! − 7! = 7!(8 − 1)
= 7 × 7!
10. Factorial Grows Very Rapidly
Factorial values grow much faster than ordinary powers with fixed base for sufficiently large n.
For example:
- 5! = 120
- 10! = 3,628,800
- 15! = 1,307,674,368,000
This rapid growth is why factorial questions are usually solved using properties rather than direct calculation.
11. Every Integer from 1 to n Divides n!
For every integer k satisfying:
1 ≤ k ≤ n
k is one of the factors appearing in n!, so:
k divides n!
Example: 7 divides 10! because 7 is one of the factors in 10!.
12. Every Prime Not Exceeding n Divides n!
If p is prime and p ≤ n, then p occurs as one of the factors in n!, so:
p | n!
13. Prime Factors of n!
Every prime factor of n! is less than or equal to n.
Conversely, every prime number p ≤ n occurs in the prime factorisation of n!.
14. Why Trailing Zeros Occur
A trailing zero is produced whenever a number contains a factor:
10 = 2 × 5
Therefore, the number of trailing zeros equals the number of complete pairs of factors 2 and 5.
15. General Rule for Trailing Zeros
If a positive integer N has:
- a factors of 2, and
- b factors of 5
in its prime factorisation, then:
Number of trailing zeros = min(a, b)
16. Example: Trailing Zeros from Prime Factors
Suppose:
N = 27 × 32 × 54
Number of factors 2 = 7.
Number of factors 5 = 4.
Therefore:
Trailing zeros = min(7, 4) = 4
17. Why Factorials Require Counting Only 5s
In n!, factors of 2 occur much more frequently than factors of 5.
Therefore, for ordinary decimal trailing zeros in n!:
Number of trailing zeros = number of factors 5 in n!
Main Exam Idea: For n!, do not count pairs of 2 and 5 separately. Count only the total number of factors 5.
18. Multiples of 5 Contribute at Least One Factor 5
Among the factors 1, 2, 3, ..., n, every multiple of 5 contributes at least one factor 5:
5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
The number of such multiples is:
⌊n / 5⌋
19. Multiples of 25 Contribute an Extra Factor 5
Numbers such as 25, 50, 75 and 100 contain at least two factors of 5 because they are divisible by 52 = 25.
Therefore we must add:
⌊n / 25⌋
20. Multiples of 125 Contribute Another Extra Factor
Multiples of 125 = 53 contain at least three factors of 5, so one additional contribution must again be counted:
⌊n / 125⌋
21. Trailing-Zero Formula for n!
The number of trailing zeros in n! is:
Z(n!) = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ⌊n/625⌋ + ...
Continue until the denominator becomes greater than n.
22. Example: Trailing Zeros in 10!
⌊10/5⌋ = 2
Since 25 > 10, no further term is needed.
Therefore:
Z(10!) = 2
Indeed:
10! = 3,628,800
23. Example: Trailing Zeros in 25!
Apply the formula:
⌊25/5⌋ + ⌊25/25⌋ = 5 + 1 = 6
Therefore:
25! has 6 trailing zeros.
24. Why 25! Has 6 Zeros Instead of 5
The multiples 5, 10, 15 and 20 each contribute one factor 5.
But 25 = 52 contributes two factors 5.
Total:
1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6
25. Example: Trailing Zeros in 50!
Z(50!) = ⌊50/5⌋ + ⌊50/25⌋
= 10 + 2 = 12
Therefore, 50! has 12 trailing zeros.
26. Example: Trailing Zeros in 100!
Z(100!) = ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋
= 20 + 4 = 24
Since 125 > 100, stop here.
Therefore:
100! has 24 trailing zeros.
27. Example: Trailing Zeros in 125!
Z(125!) = ⌊125/5⌋ + ⌊125/25⌋ + ⌊125/125⌋
= 25 + 5 + 1 = 31
Therefore, 125! has 31 trailing zeros.
28. Example: Trailing Zeros in 200!
Z(200!) = ⌊200/5⌋ + ⌊200/25⌋ + ⌊200/125⌋
= 40 + 8 + 1 = 49
Therefore:
200! has 49 trailing zeros.
29. Never Stop at n/5
Using only ⌊n/5⌋ misses the extra factors of 5 contained in multiples of 25, 125, 625, and so on.
Common Mistake: For 100!, writing only 100/5 = 20 is wrong. The correct answer is 20 + 4 = 24.
30. Highest Power of a Prime Dividing n!
For any prime p, the exponent of p in n! is:
vp(n!) = ⌊n/p⌋ + ⌊n/p2⌋ + ⌊n/p3⌋ + ...
This gives the highest exponent e such that:
pe divides n!
31. Example: Highest Power of 2 Dividing 10!
v2(10!) = ⌊10/2⌋ + ⌊10/4⌋ + ⌊10/8⌋
= 5 + 2 + 1 = 8
Therefore:
28 divides 10!, but 29 does not.
32. Example: Highest Power of 5 Dividing 100!
v5(100!) = 20 + 4 = 24
Therefore:
524 divides 100!, but 525 does not.
33. Connection with Trailing Zeros
Since:
v2(n!) > v5(n!)
for ordinary positive n large enough to matter in these questions, the number of factors 5 determines the number of factors 10.
Hence:
Z(n!) = v5(n!)
34. Trailing Zeros in a Product of Factorials
For a product such as:
a! × b!
the total exponent of each prime is the sum of its exponents in the two factorials.
For decimal trailing zeros:
Z(a! × b!) = min(v2(a!) + v2(b!), v5(a!) + v5(b!))
In ordinary factorial products, 2s are usually abundant, so adding the numbers of factors 5 is often sufficient.
35. Example: Trailing Zeros in 20! × 30!
Count factors 5:
v5(20!) = ⌊20/5⌋ = 4
v5(30!) = ⌊30/5⌋ + ⌊30/25⌋ = 6 + 1 = 7
Total factors 5 = 11.
There are more than enough factors 2.
Therefore:
20! × 30! has 11 trailing zeros.
36. Trailing Zeros in a Factorial Quotient
For an integer expression such as:
n! / r!
the exponent of prime p is:
vp(n!/r!) = vp(n!) − vp(r!)
37. Important Caution for Quotients
For a quotient, do not blindly subtract only the numbers of trailing zeros of the numerator and denominator.
The correct method is to subtract the prime exponents of 2 and 5 separately and then take the smaller result.
Important: In general, Z(A/B) is not automatically equal to Z(A) − Z(B). Count the remaining factors 2 and 5 in the quotient.
38. Example: Trailing Zeros in 25! / 20!
First simplify:
25! / 20! = 21 × 22 × 23 × 24 × 25
Count factors 5:
25 contributes 52, so there are 2 factors 5.
Count factors 2:
- 22 contributes one 2.
- 24 = 23 × 3 contributes three 2s.
Total factors 2 = 4.
Therefore:
Trailing zeros = min(4, 2) = 2
39. Same Example Using Prime-Exponent Formula
For 25!/20!:
v5(25!) − v5(20!) = 6 − 4 = 2
and:
v2(25!) − v2(20!) = 22 − 18 = 4
Hence:
Trailing zeros = min(2, 4) = 2
40. Trailing Zeros in n! / (a!b!)
If the quotient is an integer, count the remaining powers of 2 and 5:
vp = vp(n!) − vp(a!) − vp(b!)
Then:
Trailing zeros = min(v2, v5)
41. Example: Trailing Zeros in 20! / (10! × 10!)
For factor 5:
v5(20!) = 4
v5(10!) = 2
Therefore:
v5 = 4 − 2 − 2 = 0
Hence the expression has:
0 trailing zeros
42. Finding the Smallest n with at Least k Trailing Zeros
To find the smallest n such that n! has at least k trailing zeros, solve:
⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ... ≥ k
Usually, start near 5k and adjust downward.
43. Example: Smallest n such that n! Has at Least 6 Trailing Zeros
Check n = 25:
Z(25!) = 5 + 1 = 6
Check n = 24:
Z(24!) = 4
Therefore:
Smallest n = 25
44. Example: Smallest n such that n! Has At Least 10 Trailing Zeros
Try n = 45:
Z(45!) = 9 + 1 = 10
Now check n = 44:
Z(44!) = 8 + 1 = 9
Therefore:
Smallest n = 45
45. Exact Number of Trailing Zeros
A question may ask for n such that n! has exactly k trailing zeros.
The function Z(n!) does not increase at every integer. It remains constant for several consecutive values and then increases when another factor 5 enters.
46. Example: Factorials Having Exactly 6 Trailing Zeros
We know:
Z(25!) = 6
For n = 25, 26, 27, 28 and 29, no new multiple of 5 appears beyond 25.
Hence:
Z(25!) = Z(26!) = Z(27!) = Z(28!) = Z(29!) = 6
47. Five-Consecutive-Values Pattern
Between ordinary multiples of 5, the trailing-zero count remains unchanged.
Therefore, many attainable values of Z(n!) occur for blocks of five consecutive n-values.
But be careful: At multiples of 25, 125, etc., the trailing-zero count may jump by more than 1. Hence some numbers of trailing zeros are impossible.
48. Some Trailing-Zero Counts are Impossible
At n = 25:
Z(24!) = 4
but:
Z(25!) = 6
The count jumps directly from 4 to 6.
Therefore:
No factorial has exactly 5 trailing zeros.
49. Another Jump Example
At n = 125, the new factor 125 = 53 contributes three factors 5 at once.
Thus the trailing-zero count may jump by 3 at that point.
This creates more unattainable trailing-zero counts.
50. How Much Does Z(n!) Increase from (n − 1)! to n!?
The increase equals the exponent of 5 in n itself.
If:
n = 5am, where 5 ∤ m
then:
Z(n!) − Z((n − 1)!) = a
51. Examples of Increase in Trailing-Zero Count
- At n = 10, factor 10 contains one 5 → increase by 1.
- At n = 25 = 52 → increase by 2.
- At n = 125 = 53 → increase by 3.
- At n = 625 = 54 → increase by 4.
52. Number of Factors 5 in a Range Product
For:
(r + 1)(r + 2)...n = n!/r!
the number of factors 5 is:
v5(n!) − v5(r!)
The same rule applies to factor 2 or any other prime.
53. Example: Factors 5 in 51 × 52 × ... × 100
This product equals:
100!/50!
Therefore:
v5 = v5(100!) − v5(50!)
= 24 − 12 = 12
Hence the product contains 12 factors of 5.
54. Highest Power of a Composite Number Dividing n!
Suppose we want the highest power of a composite number:
m = p1a₁p2a₂...praᵣ
that divides n!.
First find vp(n!) for each prime factor.
Then:
Highest exponent = min(⌊vp1(n!)/a₁⌋, ⌊vp2(n!)/a₂⌋, ...)
55. Example: Highest Power of 10 Dividing 100!
Since:
10 = 2 × 5
we need complete pairs of 2 and 5.
For 100!:
v5(100!) = 24
and v2(100!) is much larger.
Therefore:
Highest power of 10 dividing 100! is 1024.
56. Example: Highest Power of 12 Dividing 10!
Prime factorise:
12 = 22 × 3
For 10!:
v2(10!) = 5 + 2 + 1 = 8
v3(10!) = 3 + 1 = 4
Each factor 12 requires two 2s and one 3.
Therefore:
⌊8/2⌋ = 4, ⌊4/1⌋ = 4
Hence:
124 divides 10!, but 125 does not.
57. Factorial and Unit Digit
For every n ≥ 5, n! contains both factors 2 and 5 and hence is divisible by 10.
Therefore:
Unit digit of n! = 0 for n ≥ 5
The simple unit-digit observation was introduced in Topic 1.13. Here its reason is explained through factors 2 and 5.
58. Solved Example: Trailing Zeros in 250!
Z(250!) = ⌊250/5⌋ + ⌊250/25⌋ + ⌊250/125⌋
= 50 + 10 + 2 = 62
Therefore:
250! has 62 trailing zeros.
59. Solved Example: Highest Power of 3 in 100!
v3(100!) = ⌊100/3⌋ + ⌊100/9⌋ + ⌊100/27⌋ + ⌊100/81⌋
= 33 + 11 + 3 + 1 = 48
Therefore:
348 divides 100!, but 349 does not.
60. Solved Example: Smallest n for 24 Trailing Zeros
We know:
Z(100!) = 20 + 4 = 24
Check 99!:
Z(99!) = 19 + 3 = 22
Hence the smallest n for which n! has at least 24 trailing zeros is:
100
61. Solved Example: Can a Factorial Have Exactly 5 Trailing Zeros?
For 24!:
Z(24!) = 4
For 25!:
Z(25!) = 6
The count jumps from 4 directly to 6.
Therefore:
No factorial has exactly 5 trailing zeros.
62. Common Exam Traps
Trap 1: 0! = 1, not 0.
Trap 2: Do not expand a large factorial completely when cancellation is possible.
Trap 3: A trailing zero requires one factor 2 and one factor 5.
Trap 4: For n!, factors 5 are fewer than factors 2, so count factors 5.
Trap 5: Do not use only ⌊n/5⌋; also include ⌊n/25⌋, ⌊n/125⌋ and higher powers.
Trap 6: A multiple of 25 contributes two factors 5; a multiple of 125 contributes three.
Trap 7: In factorial quotients, subtract prime exponents rather than blindly subtracting trailing-zero counts.
Trap 8: Not every non-negative integer is attainable as the exact number of trailing zeros of n!.
Trap 9: At powers of 5, the trailing-zero count may jump by more than 1.
Trap 10: For the highest power of a composite number dividing n!, prime-factorise the composite number first.
63. Quick Revision
- n! = n × (n − 1) × ... × 2 × 1.
- 0! = 1.
- n! = n(n − 1)!.
- For n > r, n!/r! = n(n − 1)...(r + 1).
- Every integer from 1 to n divides n!.
- Every prime p ≤ n divides n!.
- One trailing zero requires one pair 2 × 5.
- For a general integer, trailing zeros = min(number of factors 2, number of factors 5).
- In n!, factors 2 are more abundant, so trailing zeros are determined by factors 5.
- Z(n!) = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...
- Continue the formula until the denominator exceeds n.
- 25! has 6 trailing zeros because 25 contributes two factors 5.
- 100! has 24 trailing zeros.
- vp(n!) = ⌊n/p⌋ + ⌊n/p2⌋ + ⌊n/p3⌋ + ...
- vp(n!) gives the highest exponent of prime p dividing n!.
- For factorial quotients, subtract corresponding prime exponents.
- For products of factorials, add corresponding prime exponents.
- To find the smallest n with at least k trailing zeros, test values near 5k and adjust.
- The trailing-zero count may remain constant for several consecutive factorials.
- At multiples of 25, 125, 625, etc., the count may jump by more than 1.
- Therefore some exact trailing-zero counts are impossible.
- The increase from (n − 1)! to n! equals the exponent of 5 in n.
- For n ≥ 5, the unit digit of n! is 0.
- For the highest power of a composite m dividing n!, factorise m and compare the available prime exponents.
Previous Year Questions (PYQs)
Practice these previous-year questions on factorials, trailing zeros, factorial properties and divisibility. Try each question before opening the answer and explanation.
RPF SI PYQ19 December 2018 · Shift I
Q1. Find the number of trailing zeros in 76!.
A. 18
B. 16
C. 20
D. 14
Correct Answer: A. 18
Explanation:
The number of trailing zeros in n! is equal to the number of factors 5 in n!.
Z(76!) = ⌊76/5⌋ + ⌊76/25⌋ + ⌊76/125⌋
= 15 + 3 + 0
= 18.
Therefore, 76! has 18 trailing zeros.
RPF SI PYQ16 January 2019 · Shift I
Q2. Find the number of trailing zeros in 735!.
A. 162
B. 192
C. 172
D. 182
Correct Answer: D. 182
Explanation:
Use the trailing-zero formula:
Z(735!) = ⌊735/5⌋ + ⌊735/25⌋ + ⌊735/125⌋ + ⌊735/625⌋
= 147 + 29 + 5 + 1
= 182.
Therefore, 735! has 182 trailing zeros.
NDA PYQ14 September 2025 · NDA-II Mathematics
Q3. Let n be a natural number. The number of consecutive zeros at the end of n! is exactly 2. How many values of n are possible?
A. 3
B. 4
C. 5
D. More than 5
Correct Answer: C. 5
Explanation:
Exactly 2 trailing zeros occur for:
n = 10, 11, 12, 13, 14.
For each of these values:
⌊n/5⌋ = 2 and ⌊n/25⌋ = 0.
At n = 15, the number of trailing zeros becomes 3.
Hence there are exactly 5 possible values of n.
ISRO VSSC PYQ11 February 2024 · Technical Assistant (Electronics)
Q4. What is the digit at the unit place of:
0! + 1! + 2! + 3! + 4!
A. 2
B. 3
C. 4
D. 25
Correct Answer: C. 4
Explanation:
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
Therefore:
0! + 1! + 2! + 3! + 4!
= 1 + 1 + 2 + 6 + 24
= 34.
The unit digit of 34 is 4.
RRB Technician PYQ24 December 2024 · Shift II
Q5. The greatest natural number which exactly divides the product of any four consecutive natural numbers is:
A. 24
B. 6
C. 12
D. 20
Correct Answer: A. 24
Explanation:
The product of any four consecutive integers is always divisible by 4!.
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
This bound is exact because for the four consecutive natural numbers 1, 2, 3 and 4, the product itself is 24.
Hence the greatest natural number that always divides such a product is 24.
UPSC CAPF PYQ4 August 2024 · Paper I
Q6. What is the remainder when the following expression is divided by 8?
1! + 2! + 3! + ... + 500!
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Correct Answer: A. 1
Explanation:
For every n ≥ 4, n! is divisible by 8 because 4! = 24 already contains 8 as a factor.
Therefore all terms from 4! onward contribute remainder 0 modulo 8.
So we need only:
1! + 2! + 3!
= 1 + 2 + 6
= 9.
9 leaves remainder 1 when divided by 8.
Practice MCQs
Practice these exam-oriented questions on factorial simplification, trailing zeros, exact powers of primes, factorial products and quotients, minimum-value problems and highest powers of composite numbers.
Practice MCQ
Q1. What is the value of 10! / 8!?
A. 72
B. 80
C. 90
D. 100
Correct Answer: C. 90
Explanation:
10! = 10 × 9 × 8!.
Therefore:
10!/8! = 10 × 9 = 90.
Practice MCQ
Q2. How many trailing zeros are there in 375!?
A. 90
B. 92
C. 93
D. 95
Correct Answer: C. 93
Explanation:
Z(375!) = ⌊375/5⌋ + ⌊375/25⌋ + ⌊375/125⌋
= 75 + 15 + 3
= 93.
Practice MCQ
Q3. What is the highest exponent of 2 that divides 20!?
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
Correct Answer: C. 18
Explanation:
v2(20!) = ⌊20/2⌋ + ⌊20/4⌋ + ⌊20/8⌋ + ⌊20/16⌋
= 10 + 5 + 2 + 1
= 18.
Thus 218 divides 20!, but 219 does not.
Practice MCQ
Q4. What is the highest exponent k for which 12k divides 15!?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Correct Answer: B. 5
Explanation:
12 = 22 × 3.
In 15!:
v2(15!) = 7 + 3 + 1 = 11
v3(15!) = 5 + 1 = 6.
Each 12 requires two factors 2 and one factor 3.
Available powers:
⌊11/2⌋ = 5
⌊6/1⌋ = 6.
Take the smaller value. Therefore, k = 5.
Practice MCQ
Q5. How many trailing zeros are there in 30! / 20!?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Correct Answer: B. 3
Explanation:
Count the remaining factors 5:
v5(30!) = 6 + 1 = 7
v5(20!) = 4
Remaining factors 5 = 7 − 4 = 3.
There are more than enough remaining factors 2, so the quotient has 3 trailing zeros.
Practice MCQ
Q6. What is the smallest natural number n such that n! has at least 20 trailing zeros?
A. 80
B. 84
C. 85
D. 90
Correct Answer: C. 85
Explanation:
For 85!:
Z(85!) = ⌊85/5⌋ + ⌊85/25⌋
= 17 + 3
= 20.
For 84!:
Z(84!) = 16 + 3 = 19.
Therefore the smallest possible n is 85.
Practice MCQ
Q7. How many natural numbers n satisfy the condition that n! has exactly 5 trailing zeros?
A. 0
B. 1
C. 5
D. 10
Correct Answer: A. 0
Explanation:
Z(24!) = 4, while:
Z(25!) = 5 + 1 = 6.
The trailing-zero count jumps directly from 4 to 6. Therefore no factorial has exactly 5 trailing zeros.
Practice MCQ
Q8. How many trailing zeros are there in 20! × 15!?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Correct Answer: C. 7
Explanation:
v5(20!) = 4.
v5(15!) = 3.
Total factors 5 = 4 + 3 = 7.
Factors 2 are present in greater quantity, so the product has 7 trailing zeros.
Practice MCQ
Q9. How many trailing zeros are there in:
50! / (25! × 25!)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Correct Answer: A. 0
Explanation:
For factor 5:
v5(50!) = 10 + 2 = 12.
v5(25!) = 5 + 1 = 6.
Therefore the remaining exponent of 5 is:
12 − 6 − 6 = 0.
Without any factor 5, no factor 10 can be formed. Hence the expression has 0 trailing zeros.
Practice MCQ
Q10. What is the highest exponent of 5 that divides 200!?
A. 47
B. 48
C. 49
D. 50
Correct Answer: C. 49
Explanation:
v5(200!) = ⌊200/5⌋ + ⌊200/25⌋ + ⌊200/125⌋
= 40 + 8 + 1
= 49.
Therefore, 549 divides 200!, but 550 does not.
फैक्टोरियल एवं अंतिम शून्यों की संख्या
Factorial लगातार धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को संक्षिप्त रूप में लिखने की विधि है। प्रतियोगी परीक्षाओं में factorial से जुड़े प्रश्नों में simplification, divisibility, किसी prime की highest power तथा trailing zeros की संख्या विशेष रूप से पूछी जाती है। चूँकि प्रत्येक trailing zero एक factor 10 = 2 × 5 से बनता है, इसलिए factors 2 और 5 की गणना इस पूरे topic का मुख्य आधार है।
1. Factorial का अर्थ
किसी धनात्मक पूर्णांक n का factorial इस प्रकार लिखा जाता है:
n!
और इसकी परिभाषा है:
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 3 × 2 × 1
2. कुछ मूल Factorial Values
| Expression | मान |
|---|
| 1! | 1 |
| 2! | 2 |
| 3! | 6 |
| 4! | 24 |
| 5! | 120 |
| 6! | 720 |
| 7! | 5040 |
| 8! | 40320 |
| 9! | 362880 |
| 10! | 3628800 |
3. 0! का मान
परिभाषा के अनुसार:
0! = 1
अत्यंत महत्वपूर्ण परीक्षा तथ्य: 0! का मान 0 नहीं, बल्कि 1 होता है।
4. Factorial की Recursive Property
Factorial के लिए:
n! = n × (n − 1)!
इसी प्रकार:
(n + 1)! = (n + 1)n!
5. Recursive Simplification का उदाहरण
सरल करें:
8! / 7!
चूँकि:
8! = 8 × 7!
इसलिए:
8! / 7! = 8
6. केवल उतना ही Expand करें जितना आवश्यक हो
Factorial fractions में पूरे factorial को expand करना प्रायः आवश्यक नहीं होता।
उदाहरण:
10! / 7!
लिखें:
10! = 10 × 9 × 8 × 7!
अतः:
10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720
Exam Shortcut: पहले common factorial को cancel करें। इससे बहुत बड़ी expression एक छोटे product में बदल जाती है।
7. General Factorial Quotient
यदि n > r हो, तो:
n! / r! = n × (n − 1) × ... × (r + 1)
उदाहरण:
12! / 9! = 12 × 11 × 10 = 1320
8. Factorial Difference Identity
चूँकि:
(n + 1)! = (n + 1)n!
इसलिए:
(n + 1)! − n! = n × n!
क्योंकि:
(n + 1)n! − n! = n![(n + 1) − 1] = n × n!
9. उदाहरण: Factorials का Difference
सरल करें:
8! − 7!
7! common लें:
8! − 7! = 8 × 7! − 7! = 7!(8 − 1)
= 7 × 7!
10. Factorial बहुत तेजी से बढ़ता है
Factorial values बहुत तेजी से बढ़ती हैं। उदाहरण:
- 5! = 120
- 10! = 3,628,800
- 15! = 1,307,674,368,000
इसी कारण factorial के बड़े प्रश्नों में direct multiplication के बजाय properties और shortcuts का उपयोग किया जाता है।
11. 1 से n तक प्रत्येक पूर्णांक n! को विभाजित करता है
यदि:
1 ≤ k ≤ n
तो k स्वयं n! के factors में उपस्थित होता है। इसलिए:
k, n! को विभाजित करता है।
उदाहरण: 7, 10! को विभाजित करता है क्योंकि 7 स्वयं 10! का एक factor है।
12. n से छोटी या बराबर प्रत्येक अभाज्य संख्या n! को विभाजित करती है
यदि p एक prime है और p ≤ n है, तो p, n! के factors में शामिल होगा। इसलिए:
p | n!
13. n! के Prime Factors
n! का प्रत्येक prime factor n से छोटा या बराबर होगा।
इसके विपरीत, प्रत्येक prime p ≤ n, n! के prime factorisation में अवश्य उपस्थित होगा।
14. Trailing Zero कैसे बनता है?
किसी decimal number के अंत में एक zero तब बनता है जब उसमें factor:
10 = 2 × 5
उपस्थित हो।
इसलिए trailing zeros की संख्या complete pairs of 2 and 5 की संख्या के बराबर होती है।
15. Trailing Zeros का General Rule
यदि किसी धनात्मक पूर्णांक N के prime factorisation में:
- 2 के a factors हों, और
- 5 के b factors हों,
तो:
Trailing zeros = min(a, b)
16. उदाहरण: Prime Factors से Trailing Zeros
मान लें:
N = 27 × 32 × 54
Factors 2 की संख्या = 7।
Factors 5 की संख्या = 4।
अतः:
Trailing zeros = min(7, 4) = 4
17. n! में केवल Factors 5 गिनना पर्याप्त क्यों है?
n! में factors 2, factors 5 की तुलना में बहुत अधिक मात्रा में पाए जाते हैं।
इसलिए decimal trailing zeros के लिए limiting factor हमेशा 5 होता है।
अतः:
n! में trailing zeros की संख्या = n! में factors 5 की कुल संख्या
Main Exam Idea: n! के trailing zeros के लिए अलग-अलग 2 और 5 दोनों को गिनने की आवश्यकता नहीं है। केवल factors 5 की कुल संख्या गिनें।
18. 5 के Multiples कम-से-कम एक Factor 5 देते हैं
1, 2, 3, ..., n में प्रत्येक multiple of 5 कम-से-कम एक factor 5 देता है:
5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
इनकी संख्या है:
⌊n / 5⌋
19. 25 के Multiples एक अतिरिक्त Factor 5 देते हैं
25, 50, 75, 100 आदि numbers कम-से-कम 52 = 25 से divisible होते हैं। इसलिए इनके अंदर एक अतिरिक्त factor 5 होता है।
इसलिए हमें अतिरिक्त रूप से जोड़ना होगा:
⌊n / 25⌋
20. 125 के Multiples एक और अतिरिक्त Factor 5 देते हैं
125 = 53 के multiples में कम-से-कम तीन factors 5 होते हैं।
इसलिए एक और contribution होगा:
⌊n / 125⌋
21. n! में Trailing Zeros का Formula
n! के अंतिम zeros की संख्या:
Z(n!) = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ⌊n/625⌋ + ...
Formula को तब तक जारी रखें जब तक denominator n से बड़ा न हो जाए।
22. उदाहरण: 10! में Trailing Zeros
⌊10/5⌋ = 2
25 > 10, इसलिए आगे कोई term नहीं होगा।
अतः:
Z(10!) = 2
वास्तव में:
10! = 3,628,800
23. उदाहरण: 25! में Trailing Zeros
Formula लगाएँ:
⌊25/5⌋ + ⌊25/25⌋ = 5 + 1 = 6
अतः:
25! में 6 trailing zeros हैं।
24. 25! में 5 नहीं बल्कि 6 Zeros क्यों?
5, 10, 15 और 20 प्रत्येक एक factor 5 देते हैं।
लेकिन:
25 = 52
इसलिए 25 स्वयं दो factors 5 देता है।
कुल:
1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6
25. उदाहरण: 50! में Trailing Zeros
Z(50!) = ⌊50/5⌋ + ⌊50/25⌋
= 10 + 2 = 12
अतः 50! में 12 trailing zeros हैं।
26. उदाहरण: 100! में Trailing Zeros
Z(100!) = ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋
= 20 + 4 = 24
125 > 100, इसलिए यहीं stop करें।
अतः:
100! में 24 trailing zeros हैं।
27. उदाहरण: 125! में Trailing Zeros
Z(125!) = ⌊125/5⌋ + ⌊125/25⌋ + ⌊125/125⌋
= 25 + 5 + 1 = 31
अतः 125! में 31 trailing zeros हैं।
28. उदाहरण: 200! में Trailing Zeros
Z(200!) = ⌊200/5⌋ + ⌊200/25⌋ + ⌊200/125⌋
= 40 + 8 + 1 = 49
अतः:
200! में 49 trailing zeros हैं।
29. केवल n/5 पर कभी न रुकें
केवल ⌊n/5⌋ लेने से 25, 125, 625 आदि के अंदर मौजूद extra factors 5 छूट जाते हैं।
Common Mistake: 100! के लिए केवल 100/5 = 20 लिखना गलत है। सही answer 20 + 4 = 24 है।
30. n! को विभाजित करने वाली किसी Prime की Highest Power
किसी prime p के लिए n! में p का exponent होता है:
vp(n!) = ⌊n/p⌋ + ⌊n/p2⌋ + ⌊n/p3⌋ + ...
यह वही highest exponent e है जिसके लिए:
pe, n! को divide करता है।
31. उदाहरण: 10! को Divide करने वाली 2 की Highest Power
v2(10!) = ⌊10/2⌋ + ⌊10/4⌋ + ⌊10/8⌋
= 5 + 2 + 1 = 8
अतः:
28, 10! को divide करता है, लेकिन 29 नहीं करता।
32. उदाहरण: 100! को Divide करने वाली 5 की Highest Power
v5(100!) = 20 + 4 = 24
अतः:
524, 100! को divide करता है, लेकिन 525 नहीं।
33. Highest Power और Trailing Zeros का संबंध
n! में factors 2 की संख्या factors 5 से अधिक होती है। इसलिए complete pairs 2 × 5 की संख्या factors 5 से निर्धारित होती है।
अतः:
Z(n!) = v5(n!)
34. Factorials के Product में Trailing Zeros
यदि expression हो:
a! × b!
तो किसी prime के total exponent के लिए दोनों factorials के exponents जोड़ दिए जाते हैं।
Decimal trailing zeros के लिए:
Z(a! × b!) = min(v2(a!) + v2(b!), v5(a!) + v5(b!))
साधारण factorial products में factors 2 पर्याप्त मात्रा में होते हैं, इसलिए प्रायः factors 5 की कुल संख्या जोड़ना ही पर्याप्त होता है।
35. उदाहरण: 20! × 30! में Trailing Zeros
Factors 5 गिनें:
v5(20!) = ⌊20/5⌋ = 4
v5(30!) = ⌊30/5⌋ + ⌊30/25⌋ = 6 + 1 = 7
Total factors 5:
4 + 7 = 11
Factors 2 इससे अधिक हैं।
अतः:
20! × 30! में 11 trailing zeros हैं।
36. Factorial Quotient में Trailing Zeros
यदि कोई integer expression हो:
n! / r!
तो किसी prime p का exponent होगा:
vp(n!/r!) = vp(n!) − vp(r!)
37. Quotient के लिए महत्वपूर्ण सावधानी
Factorial quotient में numerator और denominator के trailing-zero counts को सीधे subtract करना हमेशा सही नहीं होता।
सही तरीका है कि factors 2 और 5 के exponents अलग-अलग subtract किए जाएँ और अंत में smaller exponent लिया जाए।
महत्वपूर्ण: सामान्य रूप से Z(A/B) = Z(A) − Z(B) मान लेना सुरक्षित नहीं है। Quotient में बचे हुए factors 2 और 5 की संख्या अलग-अलग ज्ञात करें।
38. उदाहरण: 25! / 20! में Trailing Zeros
पहले simplify करें:
25! / 20! = 21 × 22 × 23 × 24 × 25
Factors 5:
25 = 52, इसलिए factors 5 = 2।
Factors 2:
- 22 एक factor 2 देता है।
- 24 = 23 × 3 तीन factors 2 देता है।
Total factors 2 = 4।
अतः:
Trailing zeros = min(4, 2) = 2
39. वही उदाहरण Prime-Exponent Formula से
25!/20! के लिए:
v5(25!) − v5(20!) = 6 − 4 = 2
और:
v2(25!) − v2(20!) = 22 − 18 = 4
अतः:
Trailing zeros = min(2, 4) = 2
40. n! / (a!b!) में Trailing Zeros
यदि quotient integer है, तो remaining powers of 2 और 5 गिनें:
vp = vp(n!) − vp(a!) − vp(b!)
इसके बाद:
Trailing zeros = min(v2, v5)
41. उदाहरण: 20! / (10! × 10!) में Trailing Zeros
Factor 5 के लिए:
v5(20!) = 4
v5(10!) = 2
अतः:
v5 = 4 − 2 − 2 = 0
जब factors 5 ही शून्य हैं, तो factor 10 नहीं बन सकता।
अतः expression में:
0 trailing zeros
42. कम-से-कम k Trailing Zeros के लिए Smallest n
यदि सबसे छोटा n ज्ञात करना हो जिसके लिए n! में कम-से-कम k trailing zeros हों, तो:
⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ... ≥ k
को satisfy करने वाला smallest n खोजें।
एक प्रारंभिक estimate के रूप में 5k के आसपास से जाँच शुरू की जा सकती है और फिर नीचे की ओर adjust किया जा सकता है।
43. उदाहरण: कम-से-कम 6 Trailing Zeros के लिए Smallest n
n = 25 जाँचें:
Z(25!) = 5 + 1 = 6
अब n = 24:
Z(24!) = 4
अतः:
Smallest n = 25
44. उदाहरण: कम-से-कम 10 Trailing Zeros के लिए Smallest n
n = 45:
Z(45!) = 9 + 1 = 10
अब n = 44:
Z(44!) = 8 + 1 = 9
अतः:
Smallest n = 45
45. Exactly k Trailing Zeros वाले Questions
कुछ questions में पूछा जाता है कि किस n के लिए n! के exactly k trailing zeros होंगे।
Z(n!) का मान प्रत्येक integer पर नहीं बढ़ता। कई consecutive n-values के लिए यह समान रहता है और किसी multiple of 5 पर बढ़ता है।
46. उदाहरण: Exactly 6 Trailing Zeros वाले Factorials
हम जानते हैं:
Z(25!) = 6
25 के बाद 26, 27, 28 और 29 में कोई नया factor 5 नहीं जुड़ता। इसलिए:
Z(25!) = Z(26!) = Z(27!) = Z(28!) = Z(29!) = 6
अतः exactly 6 trailing zeros वाले n हैं:
25, 26, 27, 28 और 29
47. पाँच Consecutive Values का महत्वपूर्ण गुण
Trailing-zero function Z(n!) केवल multiples of 5 पर बढ़ता है। इसलिए यदि किसी non-negative integer k के लिए Z(n!) = k संभव है, तो वह value ठीक 5 consecutive values of n के लिए प्राप्त होती है।
महत्वपूर्ण परिणाम: किसी दिए गए k के लिए equation Z(n!) = k के solutions की संख्या या तो 5 होती है या 0।
48. कुछ Trailing-Zero Counts संभव नहीं होते
24! के लिए:
Z(24!) = 4
लेकिन 25! के लिए:
Z(25!) = 6
Count सीधे 4 से 6 हो जाता है।
इसलिए:
किसी भी n! में exactly 5 trailing zeros नहीं होते।
49. एक और Jump Example
n = 125 पर:
125 = 53
इसलिए 125 एक साथ तीन factors 5 जोड़ता है।
फलतः trailing-zero count उस step पर 3 से बढ़ता है और बीच के कुछ counts attain नहीं होते।
50. (n − 1)! से n! तक Z में कितनी वृद्धि होगी?
यह वृद्धि स्वयं n में उपस्थित factor 5 की exponent के बराबर होती है।
यदि:
n = 5am, जहाँ 5 ∤ m
तो:
Z(n!) − Z((n − 1)!) = a
51. Trailing-Zero Count में वृद्धि के उदाहरण
- n = 10 पर 10 में एक factor 5 है → वृद्धि 1।
- n = 25 = 52 पर → वृद्धि 2।
- n = 125 = 53 पर → वृद्धि 3।
- n = 625 = 54 पर → वृद्धि 4।
52. Range Product में Factors 5 की संख्या
Expression:
(r + 1)(r + 2)...n = n!/r!
में factors 5 की संख्या होगी:
v5(n!) − v5(r!)
यही method factor 2 या किसी अन्य prime के लिए भी लागू होती है।
53. उदाहरण: 51 × 52 × ... × 100 में Factors 5
यह product है:
100!/50!
अतः:
v5 = v5(100!) − v5(50!)
= 24 − 12 = 12
अतः product में 12 factors of 5 हैं।
54. n! को Divide करने वाली Composite Number की Highest Power
मान लें:
m = p1a₁p2a₂...praᵣ
और हमें m की highest power ज्ञात करनी है जो n! को divide करती है।
पहले प्रत्येक prime factor का exponent n! में ज्ञात करें।
फिर highest possible exponent होगा:
min(⌊vp1(n!)/a₁⌋, ⌊vp2(n!)/a₂⌋, ...)
55. उदाहरण: 100! को Divide करने वाली 10 की Highest Power
चूँकि:
10 = 2 × 5
हमें complete pairs of 2 और 5 चाहिए।
100! में:
v5(100!) = 24
जबकि v2(100!) इससे काफी अधिक है।
अतः:
100! को divide करने वाली 10 की highest power = 1024
56. उदाहरण: 10! को Divide करने वाली 12 की Highest Power
Prime factorisation:
12 = 22 × 3
10! में:
v2(10!) = 5 + 2 + 1 = 8
v3(10!) = 3 + 1 = 4
प्रत्येक 12 के लिए दो factors 2 और एक factor 3 चाहिए।
इसलिए:
⌊8/2⌋ = 4, ⌊4/1⌋ = 4
अतः:
124, 10! को divide करता है, लेकिन 125 नहीं।
57. Factorial और Unit Digit
हर n ≥ 5 के लिए n! में कम-से-कम एक factor 2 और एक factor 5 होता है। इसलिए n! में factor 10 मौजूद होता है।
अतः:
n ≥ 5 के लिए n! का unit digit = 0
Unit digit की basic observation Topic 1.13 में पढ़ी गई थी। यहाँ उसका कारण factors 2 और 5 के माध्यम से स्पष्ट होता है।
58. हल किया गया उदाहरण: 250! में Trailing Zeros
Z(250!) = ⌊250/5⌋ + ⌊250/25⌋ + ⌊250/125⌋
= 50 + 10 + 2 = 62
अतः:
250! में 62 trailing zeros हैं।
59. हल किया गया उदाहरण: 100! में 3 की Highest Power
v3(100!) = ⌊100/3⌋ + ⌊100/9⌋ + ⌊100/27⌋ + ⌊100/81⌋
= 33 + 11 + 3 + 1 = 48
अतः:
348, 100! को divide करता है, लेकिन 349 नहीं।
60. हल किया गया उदाहरण: 24 Trailing Zeros के लिए Smallest n
हम जानते हैं:
Z(100!) = 20 + 4 = 24
अब 99! जाँचें:
Z(99!) = 19 + 3 = 22
इसलिए कम-से-कम 24 trailing zeros वाला सबसे छोटा factorial है:
100!
अतः smallest n = 100।
61. हल किया गया उदाहरण: क्या किसी Factorial में Exactly 5 Trailing Zeros हो सकते हैं?
24! के लिए:
Z(24!) = 4
25! के लिए:
Z(25!) = 6
Count 4 से सीधे 6 पर पहुँचता है।
इसलिए:
किसी factorial में exactly 5 trailing zeros नहीं हो सकते।
62. परीक्षा में होने वाली सामान्य गलतियाँ
गलती 1: 0! = 1 होता है, 0 नहीं।
गलती 2: जहाँ cancellation संभव हो, वहाँ बड़े factorial को पूरा expand न करें।
गलती 3: एक trailing zero के लिए एक factor 2 और एक factor 5 दोनों चाहिए।
गलती 4: n! में factors 5 कम होते हैं, इसलिए trailing zeros गिनने के लिए factors 5 गिनें।
गलती 5: केवल ⌊n/5⌋ न लें; ⌊n/25⌋, ⌊n/125⌋, ⌊n/625⌋ आदि भी जोड़ें।
गलती 6: 25 का multiple extra factor 5 देता है; 125 का multiple दो अतिरिक्त factors 5 देता है।
गलती 7: Factorial quotient में trailing-zero counts को सीधे subtract करने के बजाय prime exponents subtract करें।
गलती 8: प्रत्येक non-negative integer किसी factorial के exact trailing-zero count के रूप में संभव नहीं होता।
गलती 9: Powers of 5 पर trailing-zero count एक से अधिक मात्रा से jump कर सकता है।
गलती 10: Composite number की highest power निकालने से पहले उसका prime factorisation अवश्य करें।
63. त्वरित पुनरावृत्ति
- n! = n × (n − 1) × ... × 2 × 1।
- 0! = 1।
- n! = n(n − 1)!।
- यदि n > r, तो n!/r! = n(n − 1)...(r + 1)।
- 1 से n तक प्रत्येक positive integer, n! को divide करता है।
- प्रत्येक prime p ≤ n, n! को divide करता है।
- एक trailing zero के लिए एक pair 2 × 5 चाहिए।
- General integer के लिए trailing zeros = min(factors 2, factors 5)।
- n! में factors 2 अधिक होते हैं, इसलिए trailing zeros factors 5 से निर्धारित होते हैं।
- Z(n!) = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...।
- Formula तब तक जारी रखें जब तक denominator n से बड़ा न हो जाए।
- 25! में 6 trailing zeros होते हैं क्योंकि 25 दो factors 5 देता है।
- 50! में 12 trailing zeros होते हैं।
- 100! में 24 trailing zeros होते हैं।
- 125! में 31 trailing zeros होते हैं।
- vp(n!) = ⌊n/p⌋ + ⌊n/p2⌋ + ⌊n/p3⌋ + ...।
- vp(n!) n! में prime p का highest exponent देता है।
- Factorial products में corresponding prime exponents जोड़ें।
- Factorial quotients में corresponding prime exponents घटाएँ।
- Smallest n with at least k zeros के लिए trailing-zero formula का inequality रूप उपयोग करें।
- यदि exactly k trailing zeros संभव हैं, तो ऐसे n की संख्या ठीक 5 होती है; अन्यथा 0।
- Multiples of 25, 125, 625 आदि पर Z(n!) एक से अधिक मात्रा से बढ़ सकता है।
- इसलिए कुछ exact trailing-zero counts संभव नहीं होते।
- Z(n!) − Z((n − 1)!) स्वयं n में factor 5 की exponent के बराबर होता है।
- n ≥ 5 के लिए n! का unit digit 0 होता है।
- Composite m की highest power dividing n! के लिए m का prime factorisation करके available prime exponents की तुलना करें।
पिछले वर्षों में पूछे गए प्रश्न (PYQs)
Factorial, trailing zeros, factorial properties और divisibility पर आधारित इन पिछले वर्षों के प्रश्नों का अभ्यास करें। उत्तर एवं व्याख्या देखने से पहले प्रत्येक प्रश्न स्वयं हल करने का प्रयास करें।
RPF SI PYQ19 दिसंबर 2018 · Shift I
प्रश्न 1. 76! के अंत में कितने trailing zeros होंगे?
A. 18
B. 16
C. 20
D. 14
सही उत्तर: A. 18
व्याख्या:
n! में trailing zeros की संख्या factors 5 की कुल संख्या के बराबर होती है।
Z(76!) = ⌊76/5⌋ + ⌊76/25⌋ + ⌊76/125⌋
= 15 + 3 + 0
= 18।
अतः 76! में 18 trailing zeros हैं।
RPF SI PYQ16 जनवरी 2019 · Shift I
प्रश्न 2. 735! के अंत में कितने trailing zeros होंगे?
A. 162
B. 192
C. 172
D. 182
सही उत्तर: D. 182
व्याख्या:
Trailing-zero formula लगाएँ:
Z(735!) = ⌊735/5⌋ + ⌊735/25⌋ + ⌊735/125⌋ + ⌊735/625⌋
= 147 + 29 + 5 + 1
= 182।
अतः 735! में 182 trailing zeros हैं।
NDA PYQ14 सितंबर 2025 · NDA-II Mathematics
प्रश्न 3. मान लें n एक natural number है। यदि n! के अंत में exactly 2 consecutive zeros हैं, तो n के कितने possible values होंगे?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 5 से अधिक
सही उत्तर: C. 5
व्याख्या:
Exactly 2 trailing zeros निम्न values के लिए मिलते हैं:
n = 10, 11, 12, 13, 14।
इन सभी के लिए:
⌊n/5⌋ = 2 और ⌊n/25⌋ = 0।
n = 15 पर trailing zeros की संख्या 3 हो जाती है।
अतः n के कुल 5 possible values हैं।
ISRO VSSC PYQ11 फरवरी 2024 · Technical Assistant (Electronics)
प्रश्न 4. निम्न expression का इकाई अंक क्या होगा?
0! + 1! + 2! + 3! + 4!
A. 2
B. 3
C. 4
D. 25
सही उत्तर: C. 4
व्याख्या:
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
अतः:
0! + 1! + 2! + 3! + 4!
= 1 + 1 + 2 + 6 + 24
= 34।
34 का unit digit 4 है।
RRB Technician PYQ24 दिसंबर 2024 · Shift II
प्रश्न 5. किसी भी चार क्रमागत natural numbers के गुणनफल को हमेशा पूर्णतः विभाजित करने वाली सबसे बड़ी natural number कौन-सी है?
A. 24
B. 6
C. 12
D. 20
सही उत्तर: A. 24
व्याख्या:
किसी भी चार consecutive integers का product हमेशा 4! से divisible होता है।
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24।
यह greatest possible value भी है क्योंकि 1, 2, 3 और 4 का product स्वयं 24 है।
अतः required number = 24।
UPSC CAPF PYQ4 अगस्त 2024 · Paper I
प्रश्न 6. निम्न expression को 8 से divide करने पर remainder क्या होगा?
1! + 2! + 3! + ... + 500!
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
सही उत्तर: A. 1
व्याख्या:
हर n ≥ 4 के लिए n!, 8 से divisible है क्योंकि 4! = 24 स्वयं 8 से divisible है।
इसलिए 4! से 500! तक प्रत्येक term modulo 8 में 0 देगा।
केवल पहले तीन terms देखें:
1! + 2! + 3!
= 1 + 2 + 6
= 9।
9 को 8 से divide करने पर remainder 1 मिलता है।
अभ्यास प्रश्न (Practice MCQs)
Factorial simplification, trailing zeros, prime की highest power, factorial products और quotients, minimum-value problems तथा composite number की highest power पर आधारित इन परीक्षा-उपयोगी प्रश्नों का अभ्यास करें।
Practice MCQ
प्रश्न 1. 10! / 8! का मान क्या है?
A. 72
B. 80
C. 90
D. 100
सही उत्तर: C. 90
व्याख्या:
10! = 10 × 9 × 8!।
इसलिए:
10!/8! = 10 × 9 = 90।
Practice MCQ
प्रश्न 2. 375! के अंत में कितने trailing zeros होंगे?
A. 90
B. 92
C. 93
D. 95
सही उत्तर: C. 93
व्याख्या:
Z(375!) = ⌊375/5⌋ + ⌊375/25⌋ + ⌊375/125⌋
= 75 + 15 + 3
= 93।
Practice MCQ
प्रश्न 3. 20! को divide करने वाली 2 की highest power का exponent कितना है?
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
सही उत्तर: C. 18
व्याख्या:
v2(20!) = ⌊20/2⌋ + ⌊20/4⌋ + ⌊20/8⌋ + ⌊20/16⌋
= 10 + 5 + 2 + 1
= 18।
अतः 218, 20! को divide करता है, लेकिन 219 नहीं।
Practice MCQ
प्रश्न 4. 12k, 15! को divide करता है। k का greatest possible value क्या है?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
सही उत्तर: B. 5
व्याख्या:
12 = 22 × 3।
15! में:
v2(15!) = 7 + 3 + 1 = 11
v3(15!) = 5 + 1 = 6।
हर factor 12 के लिए दो factors 2 और एक factor 3 चाहिए।
इसलिए:
⌊11/2⌋ = 5
⌊6/1⌋ = 6।
Smaller value लें। अतः k = 5।
Practice MCQ
प्रश्न 5. 30! / 20! के अंत में कितने trailing zeros होंगे?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
सही उत्तर: B. 3
व्याख्या:
Remaining factors 5 गिनें:
v5(30!) = 6 + 1 = 7
v5(20!) = 4
अतः quotient में factors 5 = 7 − 4 = 3।
Factors 2 पर्याप्त मात्रा में मौजूद हैं। इसलिए quotient में 3 trailing zeros होंगे।
Practice MCQ
प्रश्न 6. सबसे छोटा natural number n क्या है जिसके लिए n! में कम-से-कम 20 trailing zeros हों?
A. 80
B. 84
C. 85
D. 90
सही उत्तर: C. 85
व्याख्या:
85! के लिए:
Z(85!) = ⌊85/5⌋ + ⌊85/25⌋
= 17 + 3
= 20।
लेकिन 84! के लिए:
Z(84!) = 16 + 3 = 19।
अतः smallest n = 85।
Practice MCQ
प्रश्न 7. कितने natural numbers n ऐसे हैं जिनके लिए n! में exactly 5 trailing zeros हों?
A. 0
B. 1
C. 5
D. 10
सही उत्तर: A. 0
व्याख्या:
Z(24!) = 4।
लेकिन:
Z(25!) = 5 + 1 = 6।
Trailing-zero count सीधे 4 से 6 पर jump करता है। इसलिए किसी factorial में exactly 5 trailing zeros नहीं हो सकते।
अतः ऐसे n की संख्या = 0।
Practice MCQ
प्रश्न 8. 20! × 15! के अंत में कितने trailing zeros होंगे?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
सही उत्तर: C. 7
व्याख्या:20! में factors 5:
v5(20!) = 4
15! में:
v5(15!) = 3
Total factors 5 = 4 + 3 = 7। Factors 2 इससे अधिक हैं। इसलिए product में 7 trailing zeros होंगे।
Practice MCQ
प्रश्न 9. निम्न expression के अंत में कितने trailing zeros होंगे?
50! / (25! × 25!)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
सही उत्तर: A. 0
व्याख्या:
Factor 5 के लिए:
v5(50!) = 10 + 2 = 12।
v5(25!) = 5 + 1 = 6।
Quotient में remaining exponent of 5:
12 − 6 − 6 = 0।
Factor 5 ही नहीं बचता, इसलिए कोई factor 10 नहीं बन सकता। अतः expression में 0 trailing zeros हैं।
Practice MCQ
प्रश्न 10. 200! को divide करने वाली 5 की highest power का exponent क्या है?
A. 47
B. 48
C. 49
D. 50
सही उत्तर: C. 49
व्याख्या:
v5(200!) = ⌊200/5⌋ + ⌊200/25⌋ + ⌊200/125⌋
= 40 + 8 + 1
= 49।
इसलिए 549, 200! को divide करता है, लेकिन 550 नहीं।