Divisibility Rules
Divisibility rules help us determine whether one integer divides another exactly without performing full division. They are extremely useful in Number System, HCF-LCM, factorisation, missing-digit questions, simplification and many competitive-exam problems.
1. Meaning of Divisibility
An integer a is divisible by a non-zero integer b if division by b leaves remainder 0.
a = bq
for some integer q.
Example: 84 is divisible by 7 because 84 = 7 × 12.
2. Why Divisibility Rules are Useful
Instead of performing long division, divisibility tests use selected digits, digit sums or simple arithmetic operations to decide quickly whether a number is exactly divisible by another number.
Exam Advantage: Divisibility rules are especially useful when numbers are very large or when one or more digits are unknown.
3. Divisibility by 2
A number is divisible by 2 if its last digit is even.
Last digit = 0, 2, 4, 6 or 8
Examples: 248, 1,370 and 56,984 are divisible by 2.
Only the unit digit needs to be checked.
4. Divisibility by 3
A number is divisible by 3 if the sum of its digits is divisible by 3.
Example: For 7,452:
7 + 4 + 5 + 2 = 18
Since 18 is divisible by 3, 7,452 is divisible by 3.
5. Divisibility by 4
A number is divisible by 4 if the number formed by its last two digits is divisible by 4.
Example: 73,516 → last two digits = 16.
Since 16 is divisible by 4, 73,516 is divisible by 4.
Reason: Every multiple of 100 is divisible by 4, so only the last two digits affect divisibility by 4.
6. Divisibility by 5
A number is divisible by 5 if its last digit is:
0 or 5
Examples: 235, 8,920 and 10,005 are divisible by 5.
7. Divisibility by 6
A number is divisible by 6 if it is divisible by both 2 and 3.
Rule: Divisible by 6 ⇔ even number + digit sum divisible by 3.
Example: 1,458 is even and 1 + 4 + 5 + 8 = 18, which is divisible by 3. Therefore, 1,458 is divisible by 6.
8. Divisibility by 7
To test divisibility by 7:
- Separate the last digit.
- Double the last digit.
- Subtract this double from the remaining number.
- Repeat if necessary.
If the result is divisible by 7, the original number is divisible by 7.
Example: Test 203.
20 − 2 × 3 = 20 − 6 = 14
Since 14 is divisible by 7, 203 is divisible by 7.
9. Another Example of Divisibility by 7
Test 1,617:
161 − 2 × 7 = 147
Repeat:
14 − 2 × 7 = 0
Therefore, 1,617 is divisible by 7.
The intermediate result may become 0 or even negative. Divisibility is unaffected; a negative multiple of 7 is still divisible by 7.
10. Divisibility by 8
A number is divisible by 8 if the number formed by its last three digits is divisible by 8.
Example: 57,624 → last three digits = 624.
624 ÷ 8 = 78, so 57,624 is divisible by 8.
11. Divisibility by 9
A number is divisible by 9 if the sum of its digits is divisible by 9.
Example: 63,927:
6 + 3 + 9 + 2 + 7 = 27
Since 27 is divisible by 9, 63,927 is divisible by 9.
12. Divisibility by 10
A number is divisible by 10 if its last digit is 0.
Examples: 40, 1,230 and 98,760.
13. Divisibility by 11
For divisibility by 11, find the difference between the sums of digits in alternate positions.
If this difference is 0 or a multiple of 11, the number is divisible by 11.
Example: Test 27,918.
(2 + 9 + 8) − (7 + 1) = 19 − 8 = 11
Since 11 is divisible by 11, 27,918 is divisible by 11.
14. Divisibility by 11 when Difference is Zero
Example: Test 121.
(1 + 1) − 2 = 0
Therefore, 121 is divisible by 11.
Remember: Difference 0 is acceptable because 0 is divisible by 11.
15. Divisibility by 12
Since 12 = 3 × 4 and HCF(3, 4) = 1, a number is divisible by 12 if it is divisible by both 3 and 4.
Example: 2,436:
- Digit sum = 2 + 4 + 3 + 6 = 15 → divisible by 3.
- Last two digits = 36 → divisible by 4.
Therefore, 2,436 is divisible by 12.
16. Divisibility by 13
One useful test for 13 is:
- Separate the last digit.
- Multiply it by 4.
- Add the result to the remaining number.
- Repeat if necessary.
If the resulting number is divisible by 13, the original number is divisible by 13.
Example: Test 286.
28 + 4 × 6 = 28 + 24 = 52
Since 52 = 13 × 4, 286 is divisible by 13.
17. Divisibility by 14
Since 14 = 2 × 7 and 2 and 7 are co-prime, a number is divisible by 14 if it is divisible by both 2 and 7.
Example: 350 is even and 350 ÷ 7 = 50. Therefore, 350 is divisible by 14.
18. Divisibility by 15
Since 15 = 3 × 5 and HCF(3, 5) = 1:
Divisible by 15 ⇔ divisible by both 3 and 5.
Example: 4,635 ends in 5 and its digit sum is 18. Hence it is divisible by both 5 and 3, so it is divisible by 15.
19. Divisibility by 16
A number is divisible by 16 if the number formed by its last four digits is divisible by 16.
Example: 123,456 → last four digits = 3,456.
3,456 ÷ 16 = 216, so 123,456 is divisible by 16.
For numbers having fewer than four digits, simply test the whole number.
20. Divisibility by 18
Since 18 = 2 × 9 and HCF(2, 9) = 1:
Divisible by 18 ⇔ divisible by both 2 and 9
Example: 7,452 is even and its digit sum is 18. Therefore, 7,452 is divisible by 18.
21. Divisibility by 20
A number is divisible by 20 if its last two digits are divisible by 20.
Equivalently, the last two digits must be:
00, 20, 40, 60 or 80
Example: 18,360 is divisible by 20.
22. Divisibility by 24
Since 24 = 3 × 8 and HCF(3, 8) = 1:
Divisible by 24 ⇔ divisible by both 3 and 8
Example: 2,184 has digit sum 15 and last three digits 184, which is divisible by 8. Therefore, 2,184 is divisible by 24.
23. Divisibility by 25
A number is divisible by 25 if its last two digits are:
00, 25, 50 or 75
Examples: 5,725, 3,250 and 8,900 are divisible by 25.
24. Divisibility by 36
Since 36 = 4 × 9 and HCF(4, 9) = 1:
Divisible by 36 ⇔ divisible by both 4 and 9
Example: 3,456 has digit sum 18 and its last two digits 56 are divisible by 4. Therefore, 3,456 is divisible by 36.
25. Divisibility by 40
Since 40 = 5 × 8 and HCF(5, 8) = 1, a number is divisible by 40 if it is divisible by both 5 and 8.
A convenient direct observation is that its last three digits must form a multiple of 40.
Example: 13,560 → 560 ÷ 40 = 14, so it is divisible by 40.
26. Divisibility by 45
Since 45 = 5 × 9:
Divisible by 45 ⇔ divisible by both 5 and 9
Example: 5,985 ends in 5 and its digit sum is 27. Hence 5,985 is divisible by 45.
27. Divisibility by 50
A number is divisible by 50 if its last two digits are:
00 or 50
Examples: 1,250, 7,400 and 98,950.
28. Divisibility by 72
Since 72 = 8 × 9 and HCF(8, 9) = 1:
Divisible by 72 ⇔ divisible by both 8 and 9
Example: 5,184 has digit sum 18 and its last three digits 184 are divisible by 8. Therefore, 5,184 is divisible by 72.
29. Divisibility by 75
Since 75 = 3 × 25 and HCF(3, 25) = 1:
Divisible by 75 ⇔ divisible by both 3 and 25
Example: 5,775 has digit sum 24 and ends in 75. Therefore, it is divisible by 75.
30. Divisibility by 88
Since 88 = 8 × 11 and HCF(8, 11) = 1:
Divisible by 88 ⇔ divisible by both 8 and 11
This combined rule is often faster than direct division.
31. Divisibility by 90
Since 90 = 9 × 10 and HCF(9, 10) = 1:
Divisible by 90 ⇔ divisible by both 9 and 10
Therefore, the number must end in 0 and its digit sum must be divisible by 9.
32. Divisibility by 99
Since 99 = 9 × 11 and HCF(9, 11) = 1:
Divisible by 99 ⇔ divisible by both 9 and 11
33. Divisibility by 100
A number is divisible by 100 if its last two digits are 00.
Examples: 900, 12,300 and 456,700.
34. Divisibility by 125
A number is divisible by 125 if the number formed by its last three digits is divisible by 125.
Possible three-digit endings include:
000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875
Example: 48,625 is divisible by 125 because 625 = 125 × 5.
35. Divisibility by Powers of 2
For powers of 2, only a limited number of final digits needs to be checked.
| Divisor | Digits to Check |
|---|
| 2 | Last 1 digit |
| 4 | Last 2 digits |
| 8 | Last 3 digits |
| 16 | Last 4 digits |
| 32 | Last 5 digits |
This works because 10k is divisible by the corresponding power of 2 once k is large enough.
36. Divisibility by Powers of 5
Similar ending-based tests can be used for powers of 5.
- 5 → last digit 0 or 5.
- 25 → last two digits 00, 25, 50 or 75.
- 125 → last three digits divisible by 125.
37. Combined Divisibility Rule
If a and b are co-prime positive integers, then a number is divisible by ab if and only if it is divisible by both a and b.
HCF(a, b) = 1 ⇒ [ab | N ⇔ a | N and b | N]
This principle explains many composite-number divisibility tests.
38. Common Combined Tests
| Number | Quick Test |
|---|
| 6 | Divisible by 2 and 3 |
| 12 | Divisible by 3 and 4 |
| 14 | Divisible by 2 and 7 |
| 15 | Divisible by 3 and 5 |
| 18 | Divisible by 2 and 9 |
| 21 | Divisible by 3 and 7 |
| 22 | Divisible by 2 and 11 |
| 24 | Divisible by 3 and 8 |
| 33 | Divisible by 3 and 11 |
| 35 | Divisible by 5 and 7 |
| 36 | Divisible by 4 and 9 |
| 45 | Divisible by 5 and 9 |
| 72 | Divisible by 8 and 9 |
| 77 | Divisible by 7 and 11 |
| 88 | Divisible by 8 and 11 |
| 99 | Divisible by 9 and 11 |
39. Why Co-prime Factors Matter in Combined Tests
Checking divisibility by two factors is sufficient for their product only when the required prime powers are fully represented.
Example: Checking divisibility by 2 and 4 does not separately establish anything stronger than divisibility by 4, because 2 already divides 4.
Safe Method: Break the divisor into co-prime components or compare its complete prime factorisation.
40. Divisibility by 3 and 9 — Important Difference
If the digit sum is divisible by 9, the number is automatically divisible by 3.
But if the digit sum is divisible by 3, the number need not be divisible by 9.
Example: 123 has digit sum 6, so it is divisible by 3 but not by 9.
41. Divisibility by 2 and 4 — Important Difference
Every number divisible by 4 is divisible by 2, but every even number is not necessarily divisible by 4.
Example: 18 is divisible by 2 but not by 4.
42. Divisibility by 4 and 8
Every number divisible by 8 is divisible by 4, but the reverse is not always true.
Example: 20 is divisible by 4 but not by 8.
43. Missing Digit Problems Using Divisibility by 3
Example: Find all digits x such that 42x6 is divisible by 3.
Digit sum:
4 + 2 + x + 6 = 12 + x
12 + x must be divisible by 3.
Therefore:
x = 0, 3, 6 or 9
44. Missing Digit Problems Using Divisibility by 9
Example: Find digit x if 53x4 is divisible by 9.
5 + 3 + x + 4 = 12 + x
12 + x must be a multiple of 9.
For a digit x from 0 to 9, the possible value is:
x = 6
because 12 + 6 = 18.
45. Missing Digit Problems Using Divisibility by 11
Example: Find x if 4x62 is divisible by 11.
Using alternate-position sums:
(4 + 6) − (x + 2) = 8 − x
For x from 0 to 9, this difference must be 0 or ±11. Hence:
x = 8
46. Missing Digit with Two Conditions
Example: Find digit x such that 37x2 is divisible by 6.
The number already ends in 2, so it is divisible by 2.
For divisibility by 3:
3 + 7 + x + 2 = 12 + x
Thus x must be 0, 3, 6 or 9.
Therefore, x ∈ {0, 3, 6, 9}.
47. Missing Digit for Divisibility by 12
Example: Find x such that 13x2 is divisible by 12.
Divisibility by 12 requires divisibility by 3 and 4.
For divisibility by 4, the last two digits x2 must form a multiple of 4. Possible endings are 12, 32, 52, 72 or 92, so x must be odd.
Digit sum = 1 + 3 + x + 2 = 6 + x must be divisible by 3.
Among odd digits, x = 3 or 9 satisfy this condition.
x = 3 or 9
48. Large Numbers and Repeated Digit-Sum Tests
For divisibility by 3 or 9, the digit sum itself may again be reduced by summing its digits.
Example: For 987,654,321:
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45
Since 45 is divisible by 9, the original number is divisible by 9 and therefore also by 3.
49. Divisibility of a Sum
If two integers are both divisible by d, then their sum is also divisible by d.
If d | a and d | b, then:
d | (a + b)
Example: 84 and 126 are divisible by 7, so 84 + 126 = 210 is also divisible by 7.
50. Divisibility of a Difference
If two integers are both divisible by d, their difference is also divisible by d.
d | a and d | b ⇒ d | (a − b)
Example: 315 and 140 are divisible by 35, so 315 − 140 = 175 is also divisible by 35.
51. Multiplying a Divisible Number
If d divides n, then d divides every integer multiple of n.
d | n ⇒ d | kn
for every integer k.
52. Solved Example: Divisibility by 11
Check whether 8,493,221 is divisible by 11.
Alternate sums:
8 + 9 + 2 + 1 = 20
4 + 3 + 2 = 9
Difference = 20 − 9 = 11.
Therefore, 8,493,221 is divisible by 11.
53. Solved Example: Divisibility by 7
Check whether 3,486 is divisible by 7.
348 − 2 × 6 = 336
336 = 7 × 48.
Therefore, 3,486 is divisible by 7.
54. Solved Example: Multiple Divisibility
Is 19,800 divisible by 90?
For divisibility by 90, the number must be divisible by 9 and 10.
- It ends in 0 → divisible by 10.
- Digit sum = 1 + 9 + 8 = 18 → divisible by 9.
Therefore, 19,800 is divisible by 90.
55. Solved Example: Divisibility by 24
Check 7,128.
Digit sum:
7 + 1 + 2 + 8 = 18
So it is divisible by 3.
Last three digits = 128, and 128 ÷ 8 = 16.
Therefore, 7,128 is divisible by 24.
56. Common Exam Traps
Trap 1: Divisibility by 2 depends only on the last digit, not the digit sum.
Trap 2: Divisibility by 4 depends on the last two digits, while divisibility by 8 depends on the last three digits.
Trap 3: A number divisible by 3 need not be divisible by 9.
Trap 4: A number divisible by 2 and 3 is divisible by 6 because 2 and 3 are co-prime.
Trap 5: For divisibility by 11, use alternate-position digit sums, not the ordinary digit sum.
Trap 6: Divisibility by 12 requires both the 3-test and the 4-test.
Trap 7: Ending in 5 proves divisibility by 5, but not automatically by 15 or 45.
Trap 8: Divisibility by 25 depends only on the last two digits: 00, 25, 50 or 75.
Trap 9: When combining divisibility tests, make sure the selected factors together contain the complete prime-power structure of the divisor.
Trap 10: Missing-digit questions may have more than one valid digit; do not assume the answer is unique without checking all digits 0–9.
57. Quick Rule Table
| Divisor | Quick Rule |
|---|
| 2 | Last digit even |
| 3 | Digit sum divisible by 3 |
| 4 | Last two digits divisible by 4 |
| 5 | Last digit 0 or 5 |
| 6 | Divisible by 2 and 3 |
| 7 | Subtract twice the last digit from the remaining number |
| 8 | Last three digits divisible by 8 |
| 9 | Digit sum divisible by 9 |
| 10 | Last digit 0 |
| 11 | Difference of alternate digit sums is 0 or a multiple of 11 |
| 12 | Divisible by 3 and 4 |
| 13 | Add 4 times the last digit to the remaining number |
| 15 | Divisible by 3 and 5 |
| 16 | Last four digits divisible by 16 |
| 18 | Divisible by 2 and 9 |
| 24 | Divisible by 3 and 8 |
| 25 | Last two digits 00, 25, 50 or 75 |
| 36 | Divisible by 4 and 9 |
| 45 | Divisible by 5 and 9 |
| 72 | Divisible by 8 and 9 |
| 99 | Divisible by 9 and 11 |
| 125 | Last three digits divisible by 125 |
58. Quick Revision
- Divisibility means division with remainder 0.
- 2: check the last digit.
- 3: check the sum of digits.
- 4: check the last two digits.
- 5: last digit must be 0 or 5.
- 6: number must satisfy both 2 and 3 tests.
- 7: subtract twice the last digit from the remaining number.
- 8: check the last three digits.
- 9: digit sum must be divisible by 9.
- 10: last digit must be 0.
- 11: difference of alternate-position digit sums must be 0 or a multiple of 11.
- 12: number must satisfy both 3 and 4 tests.
- 13: add four times the last digit to the remaining number and repeat if needed.
- 15: test both 3 and 5.
- 16: check the last four digits.
- 18: test both 2 and 9.
- 24: test both 3 and 8.
- 25: ending must be 00, 25, 50 or 75.
- 36: test both 4 and 9.
- 45: test both 5 and 9.
- 72: test both 8 and 9.
- 99: test both 9 and 11.
- 125: check whether the last three digits are divisible by 125.
- For co-prime a and b, divisibility by ab is equivalent to divisibility by both a and b.
- If a number is divisible by 9, it is automatically divisible by 3.
- If a number is divisible by 8, it is automatically divisible by 4 and 2.
- Missing-digit questions often use digit-sum or alternate-sum conditions.
- If d divides two numbers, d also divides their sum and difference.
Previous Year Questions (PYQs)
Practice these verified previous-year questions based on divisibility rules, combined divisibility tests and missing-digit problems. Try each question before opening the answer and explanation.
SSC CHSL PYQ13 October 2020 · Shift I
Q1. Which of the following numbers is divisible by 6?
A. 3,49,722
B. 1,00,246
C. 23,408
D. 43,923
Correct Answer: A. 3,49,722
Explanation:
A number is divisible by 6 when it is divisible by both 2 and 3.
3,49,722 ends in 2, so it is divisible by 2.
Digit sum = 3 + 4 + 9 + 7 + 2 + 2 = 27, which is divisible by 3.
Therefore, 3,49,722 is divisible by 6.
SSC CGL PYQ9 December 2022 · Shift III
Q2. In the 7-digit number 89476*2, what is the smallest possible value of * such that the number is divisible by 8?
A. 2
B. 1
C. 4
D. 3
Correct Answer: D. 3
Explanation:
For divisibility by 8, only the last three digits need to be divisible by 8.
The last three digits are 6*2.
For *=1 → 612 is not divisible by 8.
For *=2 → 622 is not divisible by 8.
For *=3 → 632 = 8 × 79.
Hence the smallest possible digit is 3.
SSC CGL PYQ17 September 2024 · Shift III
Q3. If P is a digit such that 6954P is divisible by 11, then P equals:
A. 2
B. 8
C. 6
D. 7
Correct Answer: A. 2
Explanation:
For divisibility by 11, the difference between alternate-position digit sums must be 0 or a multiple of 11.
One alternate sum = 6 + 5 + P = 11 + P.
The other = 9 + 4 = 13.
Difference = P − 2.
For a single digit P, the required value is P = 2.
RRB NTPC PYQ5 June 2025 · Shift III · Graduate Level
Q4. Which of the following numbers is divisible by 7?
A. 87
B. 894
C. 875
D. 687
Correct Answer: C. 875
Explanation:
Apply the divisibility rule of 7 to 875.
Double the last digit: 2 × 5 = 10.
Subtract it from the remaining number: 87 − 10 = 77.
77 is divisible by 7, so 875 is divisible by 7.
Indeed, 875 = 7 × 125.
SSC CHSL PYQ19 March 2020 · Shift III
Q5. Which number is divisible by both 9 and 11?
A. 10,098
B. 10,108
C. 10,089
D. 10,087
Correct Answer: A. 10,098
Explanation:
For 10,098, digit sum = 1 + 0 + 0 + 9 + 8 = 18, so it is divisible by 9.
For divisibility by 11:
(1 + 0 + 8) − (0 + 9) = 9 − 9 = 0.
Hence it is also divisible by 11.
Therefore, 10,098 is divisible by both 9 and 11, and consequently by 99.
SSC CHSL PYQ1 July 2019 · Shift III
Q6. If the nine-digit number 43x1145y2 is divisible by 88, then what is the value of (3x − 2y), for the smallest possible value of y?
A. 22
B. 20
C. 9
D. 18
Correct Answer: A. 22
Explanation:
Since 88 = 8 × 11, the number must be divisible by both 8 and 11.
For divisibility by 8, the last three digits y2 together with the preceding 5 form 5y2. Testing possible digits gives the smallest valid value y = 1, because 512 is divisible by 8.
Now apply the divisibility rule of 11 to 43x114512. The difference of alternate-position sums gives the condition x = 8.
Therefore:
3x − 2y = 3 × 8 − 2 × 1 = 24 − 2 = 22.
Practice MCQs
Practice these exam-oriented questions covering divisibility by 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 25 and combined divisibility rules. Try each question before opening the answer and explanation.
Practice MCQ
Q1. Which of the following numbers is divisible by 6?
A. 2,345
B. 4,572
C. 6,781
D. 8,915
Correct Answer: B. 4,572
Explanation:
A number divisible by 6 must be divisible by both 2 and 3.
4,572 is even and its digit sum is 4 + 5 + 7 + 2 = 18, which is divisible by 3.
Hence 4,572 is divisible by 6.
Practice MCQ
Q2. Which of the following numbers is divisible by 8?
A. 1,234
B. 2,344
C. 4,510
D. 5,626
Correct Answer: B. 2,344
Explanation:
For divisibility by 8, examine the last three digits.
344 ÷ 8 = 43.
Therefore, 2,344 is divisible by 8.
Practice MCQ
Q3. If 53x4 is divisible by 9, what is the value of x?
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
Correct Answer: C. 6
Explanation:
Digit sum = 5 + 3 + x + 4 = 12 + x.
For divisibility by 9, 12 + x must be a multiple of 9.
12 + 6 = 18.
Hence x = 6.
Practice MCQ
Q4. If 4x62 is divisible by 11, what is x?
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
Correct Answer: D. 8
Explanation:
Using alternate-position sums:
(4 + 6) − (x + 2) = 8 − x.
For divisibility by 11, this can be 0. Therefore:
8 − x = 0 ⇒ x = 8.
Practice MCQ
Q5. Which of the following numbers is divisible by 12?
A. 2,318
B. 2,316
C. 2,326
D. 2,338
Correct Answer: B. 2,316
Explanation:
Divisibility by 12 requires divisibility by both 3 and 4.
For 2,316:
Digit sum = 2 + 3 + 1 + 6 = 12 → divisible by 3.
Last two digits = 16 → divisible by 4.
Therefore, 2,316 is divisible by 12.
Practice MCQ
Q6. Which of the following numbers is divisible by 25?
A. 7,640
B. 8,275
C. 9,565
D. 6,985
Correct Answer: B. 8,275
Explanation:
A number is divisible by 25 when its last two digits are 00, 25, 50 or 75.
8,275 ends in 75, so it is divisible by 25.
Practice MCQ
Q7. Which of the following numbers is divisible by 13?
A. 286
B. 295
C. 304
D. 317
Correct Answer: A. 286
Explanation:
Apply the rule for 13:
28 + 4 × 6 = 28 + 24 = 52.
52 = 13 × 4.
Therefore, 286 is divisible by 13.
Practice MCQ
Q8. Which of the following numbers is divisible by 72?
A. 5,124
B. 5,184
C. 5,224
D. 5,284
Correct Answer: B. 5,184
Explanation:
72 = 8 × 9, so the number must be divisible by both 8 and 9.
For 5,184:
Digit sum = 5 + 1 + 8 + 4 = 18 → divisible by 9.
Last three digits = 184 → 184 ÷ 8 = 23.
Hence 5,184 is divisible by 72.
Practice MCQ
Q9. Which of the following statements is correct?
A. Every number divisible by 3 is also divisible by 9.
B. Every number divisible by 8 is also divisible by 4.
C. Every even number is divisible by 4.
D. Every number ending in 5 is divisible by 15.
Correct Answer: B. Every number divisible by 8 is also divisible by 4.
Explanation:
Since 8 = 4 × 2, every multiple of 8 is automatically a multiple of 4.
The other statements are false. For example, 12 is divisible by 3 but not 9; 18 is even but not divisible by 4; and 25 ends in 5 but is not divisible by 15.
Practice MCQ
Q10. If the number 7x48 is divisible by 11, what is the value of x?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
Correct Answer: C. 3
Explanation:
For divisibility by 11:
(7 + 4) − (x + 8) = 11 − x − 8 = 3 − x.
For divisibility by 11, the difference may be 0.
3 − x = 0 ⇒ x = 3.
विभाज्यता के नियम
विभाज्यता के नियम किसी संख्या को वास्तविक भाग किए बिना यह जाँचने में सहायता करते हैं कि वह किसी दूसरी संख्या से पूर्णतः विभाजित होती है या नहीं। ये नियम Number System, HCF-LCM, factorisation, missing-digit questions, simplification तथा अनेक प्रतियोगी परीक्षाओं के प्रश्नों में अत्यंत उपयोगी हैं।
1. विभाज्यता का अर्थ
कोई पूर्णांक a किसी अशून्य पूर्णांक b से विभाज्य कहलाता है यदि a को b से भाग देने पर शेषफल 0 प्राप्त हो।
a = bq
जहाँ q कोई पूर्णांक है।
उदाहरण: 84, 7 से विभाज्य है क्योंकि 84 = 7 × 12।
2. विभाज्यता के नियम क्यों उपयोगी हैं?
Long division करने के बजाय divisibility tests कुछ अंतिम अंकों, अंकों के योग या सरल गणनाओं की सहायता से तुरंत बताते हैं कि कोई संख्या दूसरी संख्या से पूर्णतः विभाजित होगी या नहीं।
परीक्षा में लाभ: बहुत बड़ी संख्याओं और लुप्त अंक वाले प्रश्नों में divisibility rules समय की काफी बचत करते हैं।
3. 2 से विभाज्यता
कोई संख्या 2 से विभाज्य होगी यदि उसका अंतिम अंक सम हो।
अंतिम अंक = 0, 2, 4, 6 या 8
उदाहरण: 248, 1,370 और 56,984 सभी 2 से विभाज्य हैं।
केवल इकाई अंक की जाँच पर्याप्त है।
4. 3 से विभाज्यता
कोई संख्या 3 से विभाज्य होगी यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।
उदाहरण: 7,452 के लिए:
7 + 4 + 5 + 2 = 18
18, 3 से विभाज्य है, इसलिए 7,452 भी 3 से विभाज्य है।
5. 4 से विभाज्यता
यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 4 से विभाज्य होगी।
उदाहरण: 73,516 के अंतिम दो अंक 16 हैं।
16, 4 से विभाज्य है, इसलिए 73,516 भी 4 से विभाज्य है।
कारण: 100 के सभी गुणज 4 से विभाज्य होते हैं, इसलिए केवल अंतिम दो अंक महत्वपूर्ण होते हैं।
6. 5 से विभाज्यता
कोई संख्या 5 से विभाज्य होगी यदि उसका अंतिम अंक:
0 या 5
हो।
उदाहरण: 235, 8,920 और 10,005 सभी 5 से विभाज्य हैं।
7. 6 से विभाज्यता
कोई संख्या 6 से विभाज्य तभी होगी जब वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।
नियम: 6 से विभाज्यता ⇔ संख्या सम हो और अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।
उदाहरण: 1,458 सम है और 1 + 4 + 5 + 8 = 18, जो 3 से विभाज्य है। इसलिए 1,458, 6 से विभाज्य है।
8. 7 से विभाज्यता
7 से विभाज्यता जाँचने की एक उपयोगी विधि:
- अंतिम अंक अलग करें।
- उस अंतिम अंक का दोगुना करें।
- शेष संख्या में से इस दोगुने मान को घटाएँ।
- आवश्यक हो तो प्रक्रिया दोहराएँ।
यदि अंतिम प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी 7 से विभाज्य होगी।
उदाहरण: 203 की जाँच करें:
20 − 2 × 3 = 20 − 6 = 14
14, 7 से विभाज्य है। अतः 203 भी 7 से विभाज्य है।
9. 7 से विभाज्यता का एक और उदाहरण
1,617 की जाँच करें:
161 − 2 × 7 = 147
अब फिर से:
14 − 2 × 7 = 0
0, 7 से विभाज्य है। इसलिए 1,617, 7 से विभाज्य है।
Intermediate result 0 या ऋणात्मक भी हो सकता है। यदि वह 7 का गुणज है, तो मूल संख्या भी 7 से विभाज्य होगी।
10. 8 से विभाज्यता
यदि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 8 से विभाज्य होगी।
उदाहरण: 57,624 के अंतिम तीन अंक 624 हैं।
624 ÷ 8 = 78, इसलिए 57,624, 8 से विभाज्य है।
11. 9 से विभाज्यता
यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो वह संख्या 9 से विभाज्य होगी।
उदाहरण: 63,927:
6 + 3 + 9 + 2 + 7 = 27
27, 9 से विभाज्य है। अतः 63,927, 9 से विभाज्य है।
12. 10 से विभाज्यता
कोई संख्या 10 से विभाज्य होगी यदि उसका अंतिम अंक 0 हो।
उदाहरण: 40, 1,230 और 98,760।
13. 11 से विभाज्यता
11 से विभाज्यता के लिए alternate positions पर स्थित अंकों के योगों का अंतर ज्ञात करें।
यदि यह अंतर 0 या 11 का गुणज हो, तो संख्या 11 से विभाज्य होगी।
उदाहरण: 27,918 की जाँच करें:
(2 + 9 + 8) − (7 + 1) = 19 − 8 = 11
11 स्वयं 11 से विभाज्य है। इसलिए 27,918, 11 से विभाज्य है।
14. जब 11-rule में अंतर 0 हो
उदाहरण: 121:
(1 + 1) − 2 = 0
अतः 121, 11 से विभाज्य है।
याद रखें: अंतर 0 भी valid है क्योंकि 0, 11 से विभाज्य है।
15. 12 से विभाज्यता
12 = 3 × 4 तथा HCF(3, 4) = 1। इसलिए कोई संख्या 12 से विभाज्य होगी यदि वह 3 और 4 दोनों से विभाज्य हो।
उदाहरण: 2,436:
- अंकों का योग = 2 + 4 + 3 + 6 = 15 → 3 से विभाज्य।
- अंतिम दो अंक = 36 → 4 से विभाज्य।
अतः 2,436, 12 से विभाज्य है।
16. 13 से विभाज्यता
13 से विभाज्यता की एक उपयोगी विधि:
- अंतिम अंक अलग करें।
- उसका 4 गुना करें।
- इस मान को शेष संख्या में जोड़ें।
- आवश्यक हो तो प्रक्रिया दोहराएँ।
यदि अंतिम परिणाम 13 से विभाज्य हो, तो मूल संख्या भी 13 से विभाज्य होगी।
उदाहरण: 286:
28 + 4 × 6 = 28 + 24 = 52
52 = 13 × 4, इसलिए 286, 13 से विभाज्य है।
17. 14 से विभाज्यता
14 = 2 × 7 और दोनों co-prime हैं। इसलिए संख्या 14 से विभाज्य होगी यदि वह 2 और 7 दोनों से विभाज्य हो।
उदाहरण: 350 सम है तथा 350 ÷ 7 = 50। अतः 350, 14 से विभाज्य है।
18. 15 से विभाज्यता
15 = 3 × 5 और HCF(3, 5) = 1।
15 से विभाज्यता ⇔ 3 और 5 दोनों से विभाज्यता।
उदाहरण: 4,635 का अंतिम अंक 5 है और अंकों का योग 18 है। इसलिए यह 5 तथा 3 दोनों से और इस प्रकार 15 से विभाज्य है।
19. 16 से विभाज्यता
किसी संख्या के अंतिम चार अंकों से बनी संख्या यदि 16 से विभाज्य हो, तो पूरी संख्या 16 से विभाज्य होगी।
उदाहरण: 123,456 के अंतिम चार अंक 3,456 हैं।
3,456 ÷ 16 = 216, इसलिए 123,456, 16 से विभाज्य है।
यदि संख्या चार अंकों से छोटी है, तो पूरी संख्या की ही जाँच करें।
20. 18 से विभाज्यता
18 = 2 × 9 और HCF(2, 9) = 1।
18 से विभाज्यता ⇔ 2 और 9 दोनों से विभाज्यता
उदाहरण: 7,452 सम है और उसके अंकों का योग 18 है। इसलिए 7,452, 18 से विभाज्य है।
21. 20 से विभाज्यता
कोई संख्या 20 से विभाज्य होगी यदि उसके अंतिम दो अंक 20 से विभाज्य हों।
व्यावहारिक रूप से अंतिम दो अंक इनमें से होंगे:
00, 20, 40, 60 या 80
उदाहरण: 18,360, 20 से विभाज्य है।
22. 24 से विभाज्यता
24 = 3 × 8 और HCF(3, 8) = 1।
24 से विभाज्यता ⇔ 3 और 8 दोनों से विभाज्यता
उदाहरण: 2,184 के अंकों का योग 15 है और अंतिम तीन अंक 184, 8 से विभाज्य हैं। इसलिए 2,184, 24 से विभाज्य है।
23. 25 से विभाज्यता
यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक निम्न में से हों, तो वह 25 से विभाज्य होगी:
00, 25, 50 या 75
उदाहरण: 5,725, 3,250 और 8,900 सभी 25 से विभाज्य हैं।
24. 36 से विभाज्यता
36 = 4 × 9 और HCF(4, 9) = 1।
36 से विभाज्यता ⇔ 4 और 9 दोनों से विभाज्यता
उदाहरण: 3,456 के अंकों का योग 18 है तथा अंतिम दो अंक 56, 4 से विभाज्य हैं। इसलिए 3,456, 36 से विभाज्य है।
25. 40 से विभाज्यता
40 = 5 × 8 और HCF(5, 8) = 1। इसलिए संख्या 40 से विभाज्य होगी यदि वह 5 तथा 8 दोनों से विभाज्य हो।
एक आसान direct check यह है कि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 40 से विभाज्य हो।
उदाहरण: 13,560 के अंतिम तीन अंक 560 हैं और 560 ÷ 40 = 14। अतः यह 40 से विभाज्य है।
26. 45 से विभाज्यता
45 = 5 × 9।
45 से विभाज्यता ⇔ 5 और 9 दोनों से विभाज्यता
उदाहरण: 5,985 का अंतिम अंक 5 है और अंकों का योग 27 है। इसलिए 5,985, 45 से विभाज्य है।
27. 50 से विभाज्यता
यदि अंतिम दो अंक:
00 या 50
हों, तो संख्या 50 से विभाज्य होगी।
उदाहरण: 1,250, 7,400 और 98,950।
28. 72 से विभाज्यता
72 = 8 × 9 तथा HCF(8, 9) = 1।
72 से विभाज्यता ⇔ 8 और 9 दोनों से विभाज्यता
उदाहरण: 5,184 के अंकों का योग 18 है और अंतिम तीन अंक 184, 8 से विभाज्य हैं। अतः 5,184, 72 से विभाज्य है।
29. 75 से विभाज्यता
75 = 3 × 25 तथा HCF(3, 25) = 1।
75 से विभाज्यता ⇔ 3 और 25 दोनों से विभाज्यता
उदाहरण: 5,775 के अंकों का योग 24 है और अंतिम दो अंक 75 हैं। इसलिए यह 75 से विभाज्य है।
30. 88 से विभाज्यता
88 = 8 × 11 तथा HCF(8, 11) = 1।
88 से विभाज्यता ⇔ 8 और 11 दोनों से विभाज्यता
यह combined test direct division की तुलना में कई बार अधिक तेज होता है।
31. 90 से विभाज्यता
90 = 9 × 10 तथा HCF(9, 10) = 1।
90 से विभाज्यता ⇔ 9 और 10 दोनों से विभाज्यता
अर्थात संख्या का अंतिम अंक 0 होना चाहिए और उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।
32. 99 से विभाज्यता
99 = 9 × 11 तथा HCF(9, 11) = 1।
99 से विभाज्यता ⇔ 9 और 11 दोनों से विभाज्यता
33. 100 से विभाज्यता
कोई संख्या 100 से विभाज्य होगी यदि उसके अंतिम दो अंक 00 हों।
उदाहरण: 900, 12,300 और 456,700।
34. 125 से विभाज्यता
यदि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 125 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 125 से विभाज्य होगी।
तीन अंकों वाले संभव endings हैं:
000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875
उदाहरण: 48,625, 125 से विभाज्य है क्योंकि 625 = 125 × 5।
35. 2 की घातों से विभाज्यता
2 की विभिन्न powers के लिए केवल कुछ अंतिम अंकों की जाँच पर्याप्त होती है।
| भाजक | कितने अंतिम अंक जाँचें? |
|---|
| 2 | अंतिम 1 अंक |
| 4 | अंतिम 2 अंक |
| 8 | अंतिम 3 अंक |
| 16 | अंतिम 4 अंक |
| 32 | अंतिम 5 अंक |
36. 5 की घातों से विभाज्यता
5 की powers के लिए भी अंतिम अंकों पर आधारित नियम उपयोगी होते हैं।
- 5 → अंतिम अंक 0 या 5।
- 25 → अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75।
- 125 → अंतिम तीन अंक 125 से विभाज्य।
37. संयुक्त विभाज्यता का सामान्य नियम
यदि a और b सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, तो कोई संख्या ab से तभी विभाज्य होगी जब वह a और b दोनों से विभाज्य हो।
HCF(a, b) = 1 ⇒ [ab | N ⇔ a | N तथा b | N]
कई composite divisors के divisibility rules इसी सिद्धांत पर आधारित हैं।
38. महत्वपूर्ण Combined Divisibility Tests
| संख्या | त्वरित जाँच |
|---|
| 6 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य |
| 12 | 3 और 4 दोनों से विभाज्य |
| 14 | 2 और 7 दोनों से विभाज्य |
| 15 | 3 और 5 दोनों से विभाज्य |
| 18 | 2 और 9 दोनों से विभाज्य |
| 21 | 3 और 7 दोनों से विभाज्य |
| 22 | 2 और 11 दोनों से विभाज्य |
| 24 | 3 और 8 दोनों से विभाज्य |
| 33 | 3 और 11 दोनों से विभाज्य |
| 35 | 5 और 7 दोनों से विभाज्य |
| 36 | 4 और 9 दोनों से विभाज्य |
| 45 | 5 और 9 दोनों से विभाज्य |
| 72 | 8 और 9 दोनों से विभाज्य |
| 77 | 7 और 11 दोनों से विभाज्य |
| 88 | 8 और 11 दोनों से विभाज्य |
| 99 | 9 और 11 दोनों से विभाज्य |
39. Combined Tests में Co-prime Factors क्यों महत्वपूर्ण हैं?
दो अलग tests मिलाकर किसी product से divisibility तभी निश्चित की जा सकती है जब चुने गए factors मिलकर divisor की पूरी prime-power structure को cover करते हों।
उदाहरण: केवल 2 और 4 से divisibility जाँचना, 8 से divisibility सिद्ध नहीं करता।
सुरक्षित तरीका: Divisor को co-prime components में तोड़ें या उसका पूरा prime factorisation देखें।
40. 3 और 9 से विभाज्यता में अंतर
यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या 3 से भी अवश्य विभाज्य होगी।
लेकिन 3 से divisibility होने से 9 से divisibility आवश्यक नहीं।
उदाहरण: 123 के अंकों का योग 6 है। इसलिए 123, 3 से विभाज्य है लेकिन 9 से नहीं।
41. 2 और 4 से विभाज्यता में अंतर
4 से विभाज्य प्रत्येक संख्या 2 से भी विभाज्य होती है, लेकिन प्रत्येक सम संख्या 4 से विभाज्य नहीं होती।
उदाहरण: 18, 2 से विभाज्य है लेकिन 4 से नहीं।
42. 4 और 8 से विभाज्यता
8 से विभाज्य प्रत्येक संख्या 4 से भी विभाज्य होती है, लेकिन इसका उल्टा हमेशा सत्य नहीं है।
उदाहरण: 20, 4 से विभाज्य है लेकिन 8 से नहीं।
43. 3 से विभाज्यता पर आधारित Missing Digit Question
उदाहरण: वे सभी अंक x ज्ञात कीजिए जिनके लिए 42x6, 3 से विभाज्य हो।
अंकों का योग:
4 + 2 + x + 6 = 12 + x
12 + x को 3 से विभाज्य होना चाहिए।
अतः:
x = 0, 3, 6 या 9
44. 9 से विभाज्यता पर आधारित Missing Digit Question
उदाहरण: यदि 53x4, 9 से विभाज्य है, तो x ज्ञात कीजिए।
5 + 3 + x + 4 = 12 + x
12 + x को 9 का गुणज होना चाहिए। 0 से 9 तक digit के लिए:
x = 6
क्योंकि 12 + 6 = 18।
45. 11 से विभाज्यता पर आधारित Missing Digit Question
उदाहरण: यदि 4x62, 11 से विभाज्य है, तो x ज्ञात कीजिए।
Alternate-position sums का अंतर:
(4 + 6) − (x + 2) = 8 − x
यह अंतर 0 या ±11 होना चाहिए। x एक digit है, इसलिए:
x = 8
46. दो Conditions वाला Missing Digit Question
उदाहरण: x के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए 37x2, 6 से विभाज्य हो।
अंतिम अंक 2 है, इसलिए संख्या पहले से 2 से विभाज्य है।
3 से divisibility के लिए:
3 + 7 + x + 2 = 12 + x
अतः:
x ∈ {0, 3, 6, 9}
47. 12 से विभाज्यता वाला Missing Digit Question
उदाहरण: x ज्ञात कीजिए यदि 13x2, 12 से विभाज्य है।
12 से divisibility के लिए 3 और 4 दोनों tests satisfy होने चाहिए।
4 से divisibility हेतु अंतिम दो अंक x2, 4 से विभाज्य होने चाहिए। संभव endings हैं 12, 32, 52, 72 और 92, इसलिए x विषम होना चाहिए।
अंकों का योग:
1 + 3 + x + 2 = 6 + x
6 + x को 3 से विभाज्य होना चाहिए। विषम digits में:
x = 3 या 9
48. बड़ी संख्याओं में Digit-Sum Test
3 और 9 की divisibility के लिए digit sum को आवश्यकता पड़ने पर फिर से digit sum में reduce किया जा सकता है।
उदाहरण: 987,654,321 के लिए:
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45
45, 9 से विभाज्य है। इसलिए मूल संख्या 9 से और परिणामस्वरूप 3 से भी विभाज्य है।
49. दो विभाज्य संख्याओं का योग
यदि दो पूर्णांक d से विभाज्य हैं, तो उनका योग भी d से विभाज्य होगा।
d | a और d | b ⇒ d | (a + b)
उदाहरण: 84 और 126 दोनों 7 से विभाज्य हैं। इसलिए 84 + 126 = 210 भी 7 से विभाज्य है।
50. दो विभाज्य संख्याओं का अंतर
यदि दो पूर्णांक d से विभाज्य हैं, तो उनका अंतर भी d से विभाज्य होगा।
d | a और d | b ⇒ d | (a − b)
उदाहरण: 315 और 140 दोनों 35 से विभाज्य हैं, इसलिए 315 − 140 = 175 भी 35 से विभाज्य है।
51. विभाज्य संख्या का पूर्णांक गुणज
यदि d, n को विभाजित करता है, तो d, n के प्रत्येक पूर्णांक गुणज को भी विभाजित करेगा।
d | n ⇒ d | kn
जहाँ k कोई पूर्णांक है।
52. हल किया गया उदाहरण: 11 से विभाज्यता
जाँचिए कि 8,493,221, 11 से विभाज्य है या नहीं।
Alternate sums:
8 + 9 + 2 + 1 = 20
4 + 3 + 2 = 9
अंतर = 20 − 9 = 11।
अतः 8,493,221, 11 से विभाज्य है।
53. हल किया गया उदाहरण: 7 से विभाज्यता
जाँचिए कि 3,486, 7 से विभाज्य है या नहीं।
348 − 2 × 6 = 336
336 = 7 × 48।
अतः 3,486, 7 से विभाज्य है।
54. हल किया गया उदाहरण: Multiple Divisibility
क्या 19,800, 90 से विभाज्य है?
90 के लिए 9 और 10 दोनों tests आवश्यक हैं।
- अंतिम अंक 0 → 10 से विभाज्य।
- अंकों का योग = 1 + 9 + 8 = 18 → 9 से विभाज्य।
अतः 19,800, 90 से विभाज्य है।
55. हल किया गया उदाहरण: 24 से विभाज्यता
7,128 की जाँच करें।
अंकों का योग:
7 + 1 + 2 + 8 = 18
अतः यह 3 से विभाज्य है। अंतिम तीन अंक 128 हैं और 128 ÷ 8 = 16।
इसलिए 7,128, 24 से विभाज्य है।
56. परीक्षा में होने वाली सामान्य गलतियाँ
गलती 1: 2 से divisibility केवल अंतिम अंक पर निर्भर करती है, digit sum पर नहीं।
गलती 2: 4 के लिए अंतिम दो अंक और 8 के लिए अंतिम तीन अंक जाँचे जाते हैं।
गलती 3: 3 से विभाज्य प्रत्येक संख्या 9 से विभाज्य नहीं होती।
गलती 4: 2 और 3 दोनों से विभाज्य संख्या 6 से विभाज्य होती है क्योंकि 2 और 3 co-prime हैं।
गलती 5: 11 से divisibility के लिए सामान्य digit sum नहीं, बल्कि alternate-position sums का अंतर लिया जाता है।
गलती 6: 12 से divisibility के लिए 3 और 4 दोनों tests आवश्यक हैं।
गलती 7: अंतिम अंक 5 होना केवल 5 से divisibility सिद्ध करता है; इससे स्वतः 15 या 45 से divisibility सिद्ध नहीं होती।
गलती 8: 25 से divisibility के लिए केवल अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 देखें।
गलती 9: Combined tests में divisor की पूरी prime-power structure cover होनी चाहिए।
गलती 10: Missing-digit question में एक से अधिक valid digit हो सकते हैं; 0 से 9 तक सभी संभावनाएँ जाँचें।
57. त्वरित नियम सारणी
| भाजक | त्वरित नियम |
|---|
| 2 | अंतिम अंक सम |
| 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य |
| 4 | अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य |
| 5 | अंतिम अंक 0 या 5 |
| 6 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य |
| 7 | अंतिम अंक के दोगुने को शेष संख्या से घटाएँ |
| 8 | अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य |
| 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य |
| 10 | अंतिम अंक 0 |
| 11 | Alternate digit sums का अंतर 0 या 11 का गुणज |
| 12 | 3 और 4 दोनों से विभाज्य |
| 13 | अंतिम अंक के 4 गुने को शेष संख्या में जोड़ें |
| 15 | 3 और 5 दोनों से विभाज्य |
| 16 | अंतिम चार अंक 16 से विभाज्य |
| 18 | 2 और 9 दोनों से विभाज्य |
| 24 | 3 और 8 दोनों से विभाज्य |
| 25 | अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 |
| 36 | 4 और 9 दोनों से विभाज्य |
| 45 | 5 और 9 दोनों से विभाज्य |
| 72 | 8 और 9 दोनों से विभाज्य |
| 99 | 9 और 11 दोनों से विभाज्य |
| 125 | अंतिम तीन अंक 125 से विभाज्य |
58. त्वरित पुनरावृत्ति
- विभाज्यता का अर्थ है शेषफल 0 के साथ पूर्ण भाग।
- 2 के लिए अंतिम अंक देखें।
- 3 के लिए अंकों का योग देखें।
- 4 के लिए अंतिम दो अंक देखें।
- 5 के लिए अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।
- 6 के लिए 2 और 3 दोनों tests आवश्यक हैं।
- 7 के लिए अंतिम अंक का दोगुना शेष संख्या से घटाएँ।
- 8 के लिए अंतिम तीन अंक देखें।
- 9 के लिए digit sum 9 से विभाज्य होना चाहिए।
- 10 के लिए अंतिम अंक 0 होना चाहिए।
- 11 के लिए alternate-position digit sums का अंतर देखें।
- 12 के लिए 3 और 4 दोनों से divisibility आवश्यक है।
- 13 के लिए अंतिम अंक के 4 गुने को शेष संख्या में जोड़ें।
- 15 के लिए 3 और 5 दोनों tests करें।
- 16 के लिए अंतिम चार अंक जाँचें।
- 18 के लिए 2 और 9 दोनों tests करें।
- 24 के लिए 3 और 8 दोनों tests करें।
- 25 के लिए अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 हों।
- 36 के लिए 4 और 9 दोनों tests करें।
- 45 के लिए 5 और 9 दोनों tests करें।
- 72 के लिए 8 और 9 दोनों tests करें।
- 99 के लिए 9 और 11 दोनों tests करें।
- 125 के लिए अंतिम तीन अंक जाँचें।
- यदि a और b co-prime हैं, तो ab से divisibility के लिए a और b दोनों से divisibility आवश्यक और पर्याप्त है।
- 9 से विभाज्य संख्या स्वतः 3 से विभाज्य होती है।
- 8 से विभाज्य संख्या स्वतः 4 और 2 से विभाज्य होती है।
- Missing-digit questions में digit sum और alternate-sum tests अत्यंत उपयोगी हैं।
- यदि d दो संख्याओं को विभाजित करता है, तो वह उनके योग और अंतर को भी विभाजित करता है।
पिछले वर्षों में पूछे गए प्रश्न (PYQs)
विभाज्यता के नियम, संयुक्त divisibility tests तथा missing-digit problems पर आधारित इन पिछले वर्षों के प्रश्नों का अभ्यास करें। उत्तर एवं व्याख्या देखने से पहले प्रत्येक प्रश्न स्वयं हल करने का प्रयास करें।
SSC CHSL PYQ13 अक्टूबर 2020 · Shift I
प्रश्न 1. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 6 से विभाज्य है?
A. 3,49,722
B. 1,00,246
C. 23,408
D. 43,923
सही उत्तर: A. 3,49,722
व्याख्या:
किसी संख्या के 6 से विभाज्य होने के लिए उसका 2 और 3 दोनों से विभाज्य होना आवश्यक है।
3,49,722 का अंतिम अंक 2 है, इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
अंकों का योग = 3 + 4 + 9 + 7 + 2 + 2 = 27, जो 3 से विभाज्य है।
अतः 3,49,722, 6 से विभाज्य है।
SSC CGL PYQ9 दिसंबर 2022 · Shift III
प्रश्न 2. सात अंकों की संख्या 89476*2 में * का सबसे छोटा संभव मान क्या होगा, ताकि संख्या 8 से विभाज्य हो?
A. 2
B. 1
C. 4
D. 3
सही उत्तर: D. 3
व्याख्या:
8 से divisibility के लिए केवल अंतिम तीन अंकों की जाँच करनी होती है।
अंतिम तीन अंक हैं 6*2।
* = 1 होने पर 612, 8 से विभाज्य नहीं है।
* = 2 होने पर 622, 8 से विभाज्य नहीं है।
* = 3 होने पर 632 = 8 × 79।
अतः * का सबसे छोटा संभव मान 3 है।
SSC CGL PYQ17 सितंबर 2024 · Shift III
प्रश्न 3. यदि P एक अंक है और संख्या 6954P, 11 से विभाज्य है, तो P का मान क्या होगा?
A. 2
B. 8
C. 6
D. 7
सही उत्तर: A. 2
व्याख्या:
11 से divisibility के लिए alternate-position digits के योगों का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।
एक alternate sum = 6 + 5 + P = 11 + P
दूसरा alternate sum = 9 + 4 = 13
अंतर = P − 2।
P एक digit है, इसलिए आवश्यक मान है P = 2।
RRB NTPC PYQ5 जून 2025 · Shift III · Graduate Level
प्रश्न 4. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 7 से विभाज्य है?
A. 87
B. 894
C. 875
D. 687
सही उत्तर: C. 875
व्याख्या:
875 पर 7 का divisibility rule लगाएँ।
अंतिम अंक 5 का दोगुना = 10।
शेष संख्या में से इसे घटाएँ: 87 − 10 = 77।
77, 7 से विभाज्य है। अतः 875 भी 7 से विभाज्य है।
वास्तव में 875 = 7 × 125।
SSC CHSL PYQ19 मार्च 2020 · Shift III
प्रश्न 5. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 9 और 11 दोनों से विभाज्य है?
A. 10,098
B. 10,108
C. 10,089
D. 10,087
सही उत्तर: A. 10,098
व्याख्या:
10,098 के अंकों का योग = 1 + 0 + 0 + 9 + 8 = 18। इसलिए यह 9 से विभाज्य है।
11 से divisibility के लिए:
(1 + 0 + 8) − (0 + 9) = 9 − 9 = 0।
अतः यह 11 से भी विभाज्य है।
इसलिए 10,098, 9 और 11 दोनों से विभाज्य है और परिणामस्वरूप 99 से भी विभाज्य है।
SSC CHSL PYQ1 जुलाई 2019 · Shift III
प्रश्न 6. यदि नौ अंकों की संख्या 43x1145y2, 88 से विभाज्य है, तो y के सबसे छोटे संभव मान के लिए (3x − 2y) का मान क्या होगा?
A. 22
B. 20
C. 9
D. 18
सही उत्तर: A. 22
व्याख्या:
88 = 8 × 11, इसलिए संख्या 8 और 11 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
8 से divisibility के लिए अंतिम तीन अंक 5y2 को 8 से विभाज्य होना चाहिए। y का सबसे छोटा मान 1 है क्योंकि 512 = 8 × 64।
अब संख्या 43x114512 पर 11 का नियम लगाएँ।
एक alternate sum = 4 + x + 1 + 5 + 2 = 12 + x
दूसरा alternate sum = 3 + 1 + 4 + 1 = 9
अंतर = x + 3। इसे 11 का गुणज होना चाहिए। इसलिए x = 8।
अतः:
3x − 2y = 3 × 8 − 2 × 1 = 24 − 2 = 22।
अभ्यास प्रश्न (Practice MCQs)
2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 25 तथा संयुक्त divisibility rules पर आधारित इन परीक्षा-उपयोगी प्रश्नों का अभ्यास करें। उत्तर एवं व्याख्या देखने से पहले प्रत्येक प्रश्न स्वयं हल करने का प्रयास करें।
Practice MCQ
प्रश्न 1. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 6 से विभाज्य है?
A. 2,345
B. 4,572
C. 6,781
D. 8,915
सही उत्तर: B. 4,572
व्याख्या:
6 से divisibility के लिए संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
4,572 सम है और इसके अंकों का योग 4 + 5 + 7 + 2 = 18 है, जो 3 से विभाज्य है।
अतः 4,572, 6 से विभाज्य है।
Practice MCQ
प्रश्न 2. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 8 से विभाज्य है?
A. 1,234
B. 2,344
C. 4,510
D. 5,626
सही उत्तर: B. 2,344
व्याख्या:
8 से divisibility के लिए केवल अंतिम तीन अंकों की जाँच करें।
344 ÷ 8 = 43।
अतः 2,344, 8 से विभाज्य है।
Practice MCQ
प्रश्न 3. यदि 53x4, 9 से विभाज्य है, तो x का मान क्या होगा?
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
सही उत्तर: C. 6
व्याख्या:
अंकों का योग = 5 + 3 + x + 4 = 12 + x।
9 से divisibility के लिए 12 + x को 9 का गुणज होना चाहिए।
12 + 6 = 18।
अतः x = 6।
Practice MCQ
प्रश्न 4. यदि 4x62, 11 से विभाज्य है, तो x का मान क्या होगा?
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
सही उत्तर: D. 8
व्याख्या:
Alternate-position sums का अंतर:
(4 + 6) − (x + 2) = 8 − x।
11 से divisibility के लिए यह अंतर 0 हो सकता है। इसलिए:
8 − x = 0 ⇒ x = 8।
Practice MCQ
प्रश्न 5. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 12 से विभाज्य है?
A. 2,318
B. 2,316
C. 2,326
D. 2,338
सही उत्तर: B. 2,316
व्याख्या:
12 से divisibility के लिए संख्या 3 और 4 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
2,316 के अंकों का योग = 2 + 3 + 1 + 6 = 12 → 3 से विभाज्य।
अंतिम दो अंक = 16 → 4 से विभाज्य।
अतः 2,316, 12 से विभाज्य है।
Practice MCQ
प्रश्न 6. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 25 से विभाज्य है?
A. 7,640
B. 8,275
C. 9,565
D. 6,985
सही उत्तर: B. 8,275
व्याख्या:
किसी संख्या के 25 से विभाज्य होने के लिए उसके अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 होने चाहिए।
8,275 के अंतिम दो अंक 75 हैं। इसलिए यह 25 से विभाज्य है।
Practice MCQ
प्रश्न 7. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 13 से विभाज्य है?
A. 286
B. 295
C. 304
D. 317
सही उत्तर: A. 286
व्याख्या:
13 का rule लगाएँ:
28 + 4 × 6 = 28 + 24 = 52।
52 = 13 × 4।
अतः 286, 13 से विभाज्य है।
Practice MCQ
प्रश्न 8. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 72 से विभाज्य है?
A. 5,124
B. 5,184
C. 5,224
D. 5,284
सही उत्तर: B. 5,184
व्याख्या:
72 = 8 × 9, इसलिए संख्या 8 और 9 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
5,184 के लिए:
अंकों का योग = 5 + 1 + 8 + 4 = 18 → 9 से विभाज्य।
अंतिम तीन अंक = 184 → 184 ÷ 8 = 23।
अतः 5,184, 72 से विभाज्य है।
Practice MCQ
प्रश्न 9. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?
A. 3 से विभाज्य प्रत्येक संख्या 9 से भी विभाज्य होती है।
B. 8 से विभाज्य प्रत्येक संख्या 4 से भी विभाज्य होती है।
C. प्रत्येक सम संख्या 4 से विभाज्य होती है।
D. 5 पर समाप्त होने वाली प्रत्येक संख्या 15 से विभाज्य होती है।
सही उत्तर: B. 8 से विभाज्य प्रत्येक संख्या 4 से भी विभाज्य होती है।
व्याख्या:
चूँकि 8 = 4 × 2, इसलिए 8 का प्रत्येक गुणज 4 का भी गुणज होगा।
अन्य कथन गलत हैं। उदाहरण के लिए 12, 3 से विभाज्य है लेकिन 9 से नहीं; 18 सम है लेकिन 4 से विभाज्य नहीं; तथा 25 का अंतिम अंक 5 है लेकिन वह 15 से विभाज्य नहीं है।
Practice MCQ
प्रश्न 10. यदि संख्या 7x48, 11 से विभाज्य है, तो x का मान क्या होगा?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
सही उत्तर: C. 3
व्याख्या:
11 से divisibility के लिए:
(7 + 4) − (x + 8) = 11 − x − 8 = 3 − x।
यह अंतर 0 हो सकता है। इसलिए:
3 − x = 0 ⇒ x = 3।