861 Geometry • Cyclic Quadrilateral एक वृत्त पर S, P, Q और R इसी क्रम में स्थित हैं तथा RS वृत्त का व्यास है। यदि ∠QSP = 25° और ∠QRS = 85° है, तो ∠SQP ज्ञात कीजिए। Points S, P, Q and R lie on a circle in that order, and RS is a diameter. If ∠QSP = 25° and ∠QRS = 85°, find ∠SQP. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 85° 85° B. 65° 65° C. 60° 60° D. 25° 25° उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C चक्रीय चतुर्भुज SPQR में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। अतः ∠SPQ = 180° - ∠QRS = 180° - 85° = 95°। त्रिभुज SPQ में ∠SQP = 180° - 95° - 25° = 60°। Opposite angles of cyclic quadrilateral SPQR sum to 180°. Therefore, ∠SPQ = 180° - ∠QRS = 180° - 85° = 95°. In triangle SPQ, ∠SQP = 180° - 95° - 25° = 60°.
862 Algebra • Quadratic Equations यदि ax² + bx + c = 0 के मूल वास्तविक और अपरिमेय हों, तो इसका विविक्तकर कैसा होना चाहिए? If ax² + bx + c = 0 has real and irrational roots, what condition should its discriminant satisfy? सेव करें Save सेव्ड Saved A. शून्य से अधिक और पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए Greater than zero and not a perfect square B. शून्य से अधिक और पूर्ण वर्ग होना चाहिए Greater than zero and a perfect square C. शून्य से कम और पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए Less than zero and not a perfect square D. शून्य से कम और पूर्ण वर्ग होना चाहिए Less than zero and a perfect square उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर D = b² - 4ac धनात्मक होना चाहिए। मूलों को अपरिमेय होने के लिए √D अपरिमेय होना चाहिए, इसलिए D पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। For real and distinct roots, the discriminant D = b² - 4ac must be positive. For the roots to be irrational, √D must be irrational, so D must not be a perfect square.
863 Algebra • Quadratic Equations यदि a और b समीकरण x² + ax + b = 0 के मूल हैं और b ≠ 0 है, तो a + b का मान ज्ञात कीजिए। If a and b are the roots of x² + ax + b = 0 and b ≠ 0, find the value of a + b. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 1 1 B. 2 2 C. -2 -2 D. -1 -1 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: D Correct Answer: D मूलों के योग से a + b = -a, अतः 2a + b = 0। मूलों के गुणनफल से ab = b। क्योंकि b ≠ 0, इसलिए a = 1। तब 2(1) + b = 0 से b = -2। अतः a + b = 1 - 2 = -1। From the sum of the roots, a + b = -a, so 2a + b = 0. From the product of the roots, ab = b. Since b ≠ 0, a = 1. Then 2(1) + b = 0 gives b = -2. Therefore, a + b = 1 - 2 = -1.
864 Number System • Recurring Decimals निम्नलिखित व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: (0.333333...) × 99 + (0.666666...) × 102 Evaluate the expression: (0.333333...) × 99 + (0.666666...) × 102. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 99 99 B. 100 100 C. 101 101 D. 102 102 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C 0.333333... = 1/3 और 0.666666... = 2/3। अतः (1/3 × 99) + (2/3 × 102) = 33 + 68 = 101। 0.333333... = 1/3 and 0.666666... = 2/3. Therefore, (1/3 × 99) + (2/3 × 102) = 33 + 68 = 101.
865 Statistics • Measures of Central Tendency D के किस मान के लिए D, 2D - 1, D + 4, 3D + 1 और 5D का बहुलक 9 होगा? For which value of D will the mode of D, 2D - 1, D + 4, 3D + 1 and 5D be equal to 9? सेव करें Save सेव्ड Saved A. 3 3 B. 4 4 C. 5 5 D. 6 6 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C D = 5 रखने पर संख्याएँ 5, 9, 9, 16 और 25 प्राप्त होती हैं। इनमें 9 दो बार आता है, जबकि अन्य संख्याएँ केवल एक बार आती हैं। इसलिए बहुलक 9 और D = 5 है। For D = 5, the values are 5, 9, 9, 16 and 25. The number 9 occurs twice while every other number occurs once. Therefore, the mode is 9 and D = 5.
866 Mensuration • Circle Mensuration 5.7 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का परिमाप 27.2 सेमी है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। The perimeter of a sector of a circle having radius 5.7 cm is 27.2 cm. Find the area of the sector. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 45.03 वर्ग सेमी 45.03 square cm B. 25.02 वर्ग सेमी 25.02 square cm C. 30.12 वर्ग सेमी 30.12 square cm D. 14 वर्ग सेमी 14 square cm उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A त्रिज्यखंड का परिमाप = 2r + चाप की लंबाई। अतः चाप की लंबाई = 27.2 - 2(5.7) = 15.8 सेमी। क्षेत्रफल = 1/2 × त्रिज्या × चाप की लंबाई = 1/2 × 5.7 × 15.8 = 45.03 वर्ग सेमी। Perimeter of a sector = 2r + arc length. Therefore, the arc length is 27.2 - 2(5.7) = 15.8 cm. Area = 1/2 × radius × arc length = 1/2 × 5.7 × 15.8 = 45.03 square cm.
867 Number System • Recurring Decimals x = 0.37373737... को p/q के रूप में लिखिए। Write x = 0.37373737... in the form p/q. सेव करें Save सेव्ड Saved A. x = 37/100 x = 37/100 B. x = 37/99 x = 37/99 C. x = 37/101 x = 37/101 D. x = 37/102 x = 37/102 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B मान लें x = 0.373737...। तब 100x = 37.373737...। घटाने पर 100x - x = 37, अर्थात 99x = 37। इसलिए x = 37/99। Let x = 0.373737.... Then 100x = 37.373737.... Subtracting gives 100x - x = 37, so 99x = 37. Therefore, x = 37/99.
868 Arithmetic • Time and Work A किसी काम को 18 दिनों में और B उसी काम को 15 दिनों में पूरा कर सकता है। B ने 10 दिन काम करने के बाद काम छोड़ दिया। शेष काम को A अकेले कितने दिनों में पूरा करेगा? A can complete a piece of work in 18 days and B can complete it in 15 days. B works for 10 days and then leaves. In how many days can A alone complete the remaining work? सेव करें Save सेव्ड Saved A. 5 दिन 5 days B. 6 दिन 6 days C. 7 दिन 7 days D. 8 दिन 8 days उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B B का 10 दिनों का कार्य = 10/15 = 2/3। शेष कार्य = 1/3। A पूरा काम 18 दिनों में करता है, इसलिए 1/3 काम करने में 18 × 1/3 = 6 दिन लगेंगे। B completes 10/15 = 2/3 of the work in 10 days. The remaining work is 1/3. Since A completes the whole work in 18 days, A will take 18 × 1/3 = 6 days to complete the remainder.
869 Algebra • Sequences & Series V मार्च महीने के पहले दिन ₹4, दूसरे दिन ₹6, तीसरे दिन ₹8 बचाता है और इसी प्रकार प्रतिदिन ₹2 अधिक बचाता है। मार्च के 31 दिनों में उसकी कुल बचत कितनी होगी? V saves INR 4 on the first day of March, INR 6 on the second day, INR 8 on the third day and continues to save INR 2 more each day. Find the total savings during the 31 days of March. सेव करें Save सेव्ड Saved A. ₹1054 INR 1054 B. ₹1064 INR 1064 C. ₹1154 INR 1154 D. ₹1014 INR 1014 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A यह समानांतर श्रेणी है जिसमें a = 4, d = 2 और n = 31 है। योग = n/2[2a + (n-1)d] = 31/2[8 + 30 × 2] = 31/2 × 68 = ₹1054। This is an arithmetic progression with a = 4, d = 2 and n = 31. Its sum is n/2[2a + (n-1)d] = 31/2[8 + 30 × 2] = 31/2 × 68 = INR 1054.
870 Algebra • Linear Equations यदि रैखिक समीकरणों 2x + 5y = 6 और kx + 4y = 7 की जोड़ी का एक अद्वितीय हल हो, तो k के लिए सही शर्त क्या है? If the pair of linear equations 2x + 5y = 6 and kx + 4y = 7 has a unique solution, what is the correct condition for k? सेव करें Save सेव्ड Saved A. k ≠ 8/5 k ≠ 8/5 B. k ≠ 5/8 k ≠ 5/8 C. k ≠ 2/3 k ≠ 2/3 D. k ≠ 3/2 k ≠ 3/2 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A अद्वितीय हल के लिए गुणांकों का अनुपात समान नहीं होना चाहिए: 2/k ≠ 5/4। इससे 8 ≠ 5k, अर्थात k ≠ 8/5 प्राप्त होता है। For a unique solution, the ratios of the coefficients must not be equal: 2/k ≠ 5/4. This gives 8 ≠ 5k, and therefore k ≠ 8/5.