841 Mensuration • Solid Mensuration 8 मीटर व्यास वाले गोले का आयतन ज्ञात कीजिए। Find the volume of a sphere having a diameter of 8 metres. सेव करें Save सेव्ड Saved A. (262π/3) घन मीटर (262π/3) cubic metres B. (258π/3) घन मीटर (258π/3) cubic metres C. (256π/3) घन मीटर (256π/3) cubic metres D. (252π/3) घन मीटर (252π/3) cubic metres उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C गोले की त्रिज्या = 8/2 = 4 मीटर। आयतन = (4/3)πr³ = (4/3)π × 4³ = 256π/3 घन मीटर। The radius of the sphere is 8/2 = 4 metres. Volume = (4/3)πr³ = (4/3)π × 4³ = 256π/3 cubic metres.
842 Algebra • Quadratic Equations समीकरण 5x² - 9x - 7 = 0 के मूलों का योग ज्ञात कीजिए। Find the sum of the roots of 5x² - 9x - 7 = 0. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 5/9 5/9 B. 9/5 9/5 C. 7/5 7/5 D. 5/7 5/7 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का योग -b/a होता है। यहाँ a = 5 और b = -9 है। अतः मूलों का योग = -(-9)/5 = 9/5। For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the sum of the roots is -b/a. Here, a = 5 and b = -9. Therefore, the sum is -(-9)/5 = 9/5.
843 Algebra • Sequences & Series श्रृंखला 2, 6, 18, 54, ... का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए। Find the 12th term of the series 2, 6, 18, 54, ... सेव करें Save सेव्ड Saved A. 2 × 3¹⁰ 2 × 3¹⁰ B. 2 × 3¹¹ 2 × 3¹¹ C. 2 × 3¹² 2 × 3¹² D. 2 × 3¹³ 2 × 3¹³ उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद a = 2 और सार्व अनुपात r = 3 है। 12वाँ पद = ar¹¹ = 2 × 3¹¹। This is a geometric progression with first term a = 2 and common ratio r = 3. The 12th term is ar¹¹ = 2 × 3¹¹.
844 Algebra • Quadratic Equations यदि 5x² - 3x - 3 = 0 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। If 5x² - 3x - 3 = 0, find the value of x. सेव करें Save सेव्ड Saved A. x = (5 + √69)/10 या x = (3 - √69)/10 x = (5 + √69)/10 or x = (3 - √69)/10 B. x = (3 + √69)/10 या x = (5 - √69)/10 x = (3 + √69)/10 or x = (5 - √69)/10 C. x = (3 + √69)/10 या x = (3 - √69)/10 x = (3 + √69)/10 or x = (3 - √69)/10 D. x = (5 + √69)/10 या x = (5 - √69)/10 x = (5 + √69)/10 or x = (5 - √69)/10 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C द्विघात सूत्र से x = [-b ± √(b² - 4ac)]/(2a)। यहाँ a = 5, b = -3 और c = -3 है। अतः x = [3 ± √(9 + 60)]/10 = (3 ± √69)/10। Using the quadratic formula, x = [-b ± √(b² - 4ac)]/(2a). Here, a = 5, b = -3 and c = -3. Therefore, x = [3 ± √(9 + 60)]/10 = (3 ± √69)/10.
845 Mensuration • Area & Perimeter 3 सेमी भुजा वाले एक वर्ग के अंदर एक वृत्त इस प्रकार अंकित है कि वह वर्ग की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है। वर्ग के अंदर लेकिन वृत्त के बाहर स्थित छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। A circle is inscribed inside a square of side 3 cm so that it touches all four sides. Find the area inside the square but outside the circle. सेव करें Save सेव्ड Saved A. (36 + 9π)/4 वर्ग सेमी (36 + 9π)/4 square cm B. (40 - 9π)/4 वर्ग सेमी (40 - 9π)/4 square cm C. (36 - 9π)/4 वर्ग सेमी (36 - 9π)/4 square cm D. (40 + 9π)/4 वर्ग सेमी (40 + 9π)/4 square cm उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C वर्ग का क्षेत्रफल = 3² = 9 वर्ग सेमी। अंकित वृत्त की त्रिज्या = 3/2 सेमी। वृत्त का क्षेत्रफल = π(3/2)² = 9π/4। अतः छायांकित क्षेत्रफल = 9 - 9π/4 = (36 - 9π)/4 वर्ग सेमी। Area of the square = 3² = 9 square cm. The radius of the inscribed circle is 3/2 cm, so its area is π(3/2)² = 9π/4. Therefore, the shaded area is 9 - 9π/4 = (36 - 9π)/4 square cm.
846 Trigonometry • Heights and Distances एक टावर के शीर्ष से नाव का अवनमन कोण 30° है। यदि टावर के आधार से नाव की क्षैतिज दूरी 20 मीटर है, तो टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। From the top of a tower, the angle of depression of a boat is 30°. If the horizontal distance of the boat from the foot of the tower is 20 metres, find the height of the tower. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 10/√3 मीटर 10/√3 metres B. 20/√3 मीटर 20/√3 metres C. 40/√3 मीटर 40/√3 metres D. 50/√3 मीटर 50/√3 metres उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B नाव से टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण भी 30° होगा। यदि ऊँचाई h है, तो tan 30° = h/20। अतः 1/√3 = h/20 और h = 20/√3 मीटर। The angle of elevation from the boat to the top of the tower is also 30°. If the height is h, then tan 30° = h/20. Therefore, 1/√3 = h/20 and h = 20/√3 metres.
847 Trigonometry • Heights and Distances भूमि पर स्थित बिंदु A से दो टावरों के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° हैं। दोनों टावर बिंदु A की विपरीत दिशाओं में हैं तथा दोनों के आधारों की बिंदु A से दूरी समान है। यदि 45° का कोण बनाने वाले छोटे टावर की ऊँचाई 45 मीटर है, तो लंबे टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। From a point A on the ground, the angles of elevation of two towers are 60° and 45°. The towers are on opposite sides of A and their feet are equally distant from A. If the shorter tower, which subtends 45°, is 45 metres high, find the height of the taller tower. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 48√3 मीटर 48√3 metres B. 42√3 मीटर 42√3 metres C. 45√3 मीटर 45√3 metres D. 44√3 मीटर 44√3 metres उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C छोटे टावर के लिए tan 45° = 45/d, इसलिए d = 45 मीटर। लंबे टावर के लिए tan 60° = h/45। अतः √3 = h/45 और h = 45√3 मीटर। For the shorter tower, tan 45° = 45/d, giving d = 45 metres. For the taller tower, tan 60° = h/45. Therefore, √3 = h/45 and h = 45√3 metres.
848 Mensuration • Circle Mensuration 4 सेमी व्यास वाले तीन पाइपों को एक ऐसे पाइप से बदलना है जो समान गति से उतनी ही मात्रा में पानी प्रवाहित करे। नए पाइप का व्यास कितना होना चाहिए? Three pipes, each having a diameter of 4 cm, are replaced by a single pipe that discharges the same quantity of water at the same speed. What should be the diameter of the new pipe? सेव करें Save सेव्ड Saved A. 2√3 सेमी 2√3 cm B. 3√3 सेमी 3√3 cm C. 4√3 सेमी 4√3 cm D. 2√5 सेमी 2√5 cm उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C समान गति पर जल-प्रवाह अनुप्रस्थ क्षेत्रफल के समानुपाती होगा। यदि नए पाइप का व्यास D है, तो πD²/4 = 3 × π(4²)/4। अतः D² = 48 और D = 4√3 सेमी। At the same speed, discharge is proportional to cross-sectional area. If D is the diameter of the new pipe, then πD²/4 = 3 × π(4²)/4. Thus, D² = 48 and D = 4√3 cm.
849 Algebra • Sequences & Series S पहले दिन 1 टॉफी, दूसरे दिन 1.5 टॉफी, तीसरे दिन 2 टॉफी और चौथे दिन 2.5 टॉफी खाता है तथा इसी क्रम में प्रतिदिन 0.5 टॉफी अधिक खाता है। जून के 30 दिनों में वह कुल कितनी टॉफियाँ खाएगा? S eats 1 toffee on the first day, 1.5 on the second, 2 on the third and 2.5 on the fourth, increasing the quantity by 0.5 toffee each day. How many toffees will S eat during the 30 days of June? सेव करें Save सेव्ड Saved A. 240.5 टॉफियाँ 240.5 toffees B. 244.5 टॉफियाँ 244.5 toffees C. 247.5 टॉफियाँ 247.5 toffees D. 252.5 टॉफियाँ 252.5 toffees उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C यह समानांतर श्रेणी है जिसमें a = 1, d = 0.5 और n = 30 है। योग S₃₀ = n/2[2a + (n-1)d] = 30/2[2 + 29 × 0.5] = 15 × 16.5 = 247.5। This is an arithmetic progression with a = 1, d = 0.5 and n = 30. Its sum is S₃₀ = n/2[2a + (n-1)d] = 30/2[2 + 29 × 0.5] = 15 × 16.5 = 247.5.
850 Algebra • Linear Equations यदि 4x + 5y = 7 और 5x + 4y = 8 है, तो x और y के हल की प्रकृति क्या होगी? If 4x + 5y = 7 and 5x + 4y = 8, what is the nature of the solution for x and y? सेव करें Save सेव्ड Saved A. अनंत हल होंगे Have infinitely many solutions B. एक अद्वितीय हल होगा Have a unique solution C. कोई हल नहीं होगा Have no solution D. निर्धारित नहीं किया जा सकता Cannot be determined उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B दोनों समीकरणों के गुणांक समानुपाती नहीं हैं। निर्धारक 4 × 4 - 5 × 5 = 16 - 25 = -9 है, जो शून्य नहीं है। इसलिए समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा। The coefficients of the equations are not proportional. Their determinant is 4 × 4 - 5 × 5 = 16 - 25 = -9, which is non-zero. Therefore, the equations have a unique solution.