1 Algebra • Functions यदि f(z) = 3z + 9 और g(z) = 7z + 4 है, तो z के किस मान पर f(z) + g(z) शून्य के बराबर होगा? If f(z) = 3z + 9 and g(z) = 7z + 4, then for what value of z will f(z) + g(z) equal zero? सेव करें Save सेव्ड Saved A. -1.1 -1.1 B. -1.3 -1.3 C. -2.7 -2.7 D. -2.9 -2.9 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B f(z) + g(z) = (3z + 9) + (7z + 4) = 10z + 13। अतः 10z + 13 = 0 से z = -13/10 = -1.3। f(z) + g(z) = (3z + 9) + (7z + 4) = 10z + 13. Therefore, 10z + 13 = 0 gives z = -13/10 = -1.3.
2 Algebra • Linear Equations निम्नलिखित समीकरणों में से कौन-सा समीकरण 7p + 5q = 9 के साथ असंगत है? Which of the following equations is inconsistent with 7p + 5q = 9? सेव करें Save सेव्ड Saved A. 21p - 18q = 12 21p - 18q = 12 B. 7p - 5q = 18 7p - 5q = 18 C. 14p - 5q = 18 14p - 5q = 18 D. 14p + 10q = 20 14p + 10q = 20 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: D Correct Answer: D पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर 14p + 10q = 18 प्राप्त होता है। विकल्प D में बायाँ पक्ष समानुपाती है, लेकिन दायाँ पक्ष 20 है। इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर हैं और समीकरण असंगत हैं। Multiplying the first equation by 2 gives 14p + 10q = 18. In option D, the left-hand coefficients are proportional, but the right-hand side is 20. Therefore, the lines are parallel and the equations are inconsistent.
3 Algebra • Quadratic Equations समीकरण 5x² - 9x - 7 = 0 के मूलों का योग ज्ञात कीजिए। Find the sum of the roots of 5x² - 9x - 7 = 0. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 5/9 5/9 B. 9/5 9/5 C. 7/5 7/5 D. 5/7 5/7 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का योग -b/a होता है। यहाँ a = 5 और b = -9 है। अतः मूलों का योग = -(-9)/5 = 9/5। For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the sum of the roots is -b/a. Here, a = 5 and b = -9. Therefore, the sum is -(-9)/5 = 9/5.
4 Algebra • Sequences & Series श्रृंखला 2, 6, 18, 54, ... का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए। Find the 12th term of the series 2, 6, 18, 54, ... सेव करें Save सेव्ड Saved A. 2 × 3¹⁰ 2 × 3¹⁰ B. 2 × 3¹¹ 2 × 3¹¹ C. 2 × 3¹² 2 × 3¹² D. 2 × 3¹³ 2 × 3¹³ उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद a = 2 और सार्व अनुपात r = 3 है। 12वाँ पद = ar¹¹ = 2 × 3¹¹। This is a geometric progression with first term a = 2 and common ratio r = 3. The 12th term is ar¹¹ = 2 × 3¹¹.
5 Algebra • Quadratic Equations यदि 5x² - 3x - 3 = 0 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। If 5x² - 3x - 3 = 0, find the value of x. सेव करें Save सेव्ड Saved A. x = (5 + √69)/10 या x = (3 - √69)/10 x = (5 + √69)/10 or x = (3 - √69)/10 B. x = (3 + √69)/10 या x = (5 - √69)/10 x = (3 + √69)/10 or x = (5 - √69)/10 C. x = (3 + √69)/10 या x = (3 - √69)/10 x = (3 + √69)/10 or x = (3 - √69)/10 D. x = (5 + √69)/10 या x = (5 - √69)/10 x = (5 + √69)/10 or x = (5 - √69)/10 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C द्विघात सूत्र से x = [-b ± √(b² - 4ac)]/(2a)। यहाँ a = 5, b = -3 और c = -3 है। अतः x = [3 ± √(9 + 60)]/10 = (3 ± √69)/10। Using the quadratic formula, x = [-b ± √(b² - 4ac)]/(2a). Here, a = 5, b = -3 and c = -3. Therefore, x = [3 ± √(9 + 60)]/10 = (3 ± √69)/10.
6 Algebra • Sequences & Series S पहले दिन 1 टॉफी, दूसरे दिन 1.5 टॉफी, तीसरे दिन 2 टॉफी और चौथे दिन 2.5 टॉफी खाता है तथा इसी क्रम में प्रतिदिन 0.5 टॉफी अधिक खाता है। जून के 30 दिनों में वह कुल कितनी टॉफियाँ खाएगा? S eats 1 toffee on the first day, 1.5 on the second, 2 on the third and 2.5 on the fourth, increasing the quantity by 0.5 toffee each day. How many toffees will S eat during the 30 days of June? सेव करें Save सेव्ड Saved A. 240.5 टॉफियाँ 240.5 toffees B. 244.5 टॉफियाँ 244.5 toffees C. 247.5 टॉफियाँ 247.5 toffees D. 252.5 टॉफियाँ 252.5 toffees उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C यह समानांतर श्रेणी है जिसमें a = 1, d = 0.5 और n = 30 है। योग S₃₀ = n/2[2a + (n-1)d] = 30/2[2 + 29 × 0.5] = 15 × 16.5 = 247.5। This is an arithmetic progression with a = 1, d = 0.5 and n = 30. Its sum is S₃₀ = n/2[2a + (n-1)d] = 30/2[2 + 29 × 0.5] = 15 × 16.5 = 247.5.
7 Algebra • Linear Equations यदि 4x + 5y = 7 और 5x + 4y = 8 है, तो x और y के हल की प्रकृति क्या होगी? If 4x + 5y = 7 and 5x + 4y = 8, what is the nature of the solution for x and y? सेव करें Save सेव्ड Saved A. अनंत हल होंगे Have infinitely many solutions B. एक अद्वितीय हल होगा Have a unique solution C. कोई हल नहीं होगा Have no solution D. निर्धारित नहीं किया जा सकता Cannot be determined उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B दोनों समीकरणों के गुणांक समानुपाती नहीं हैं। निर्धारक 4 × 4 - 5 × 5 = 16 - 25 = -9 है, जो शून्य नहीं है। इसलिए समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा। The coefficients of the equations are not proportional. Their determinant is 4 × 4 - 5 × 5 = 16 - 25 = -9, which is non-zero. Therefore, the equations have a unique solution.
8 Algebra • Linear Equations यदि 3x + 4y = 7 और 6x + 8y = 14 है, तो x और y के हल की प्रकृति क्या होगी? If 3x + 4y = 7 and 6x + 8y = 14, what is the nature of the solution for x and y? सेव करें Save सेव्ड Saved A. अनंत हल होंगे Have infinitely many solutions B. एक अद्वितीय हल होगा Have a unique solution C. कोई हल नहीं होगा Have no solution D. निर्धारित नहीं किया जा सकता Cannot be determined उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A दूसरा समीकरण पहले समीकरण का ठीक दोगुना है: 2(3x + 4y = 7) से 6x + 8y = 14 मिलता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत हल हैं। The second equation is exactly twice the first: multiplying 3x + 4y = 7 by 2 gives 6x + 8y = 14. Therefore, both represent the same line and have infinitely many solutions.
9 Algebra • Quadratic Equations निम्नलिखित में से कौन-सा द्विघात समीकरण काल्पनिक मूल प्रदान करेगा? Which of the following quadratic equations will have imaginary roots? सेव करें Save सेव्ड Saved A. 3z² - 4z - 4 = 0 3z² - 4z - 4 = 0 B. 2k² - 2k + 8 = 0 2k² - 2k + 8 = 0 C. n² - 3n + 2 = 0 n² - 3n + 2 = 0 D. j² + 2j - 5 = 0 j² + 2j - 5 = 0 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: B Correct Answer: B काल्पनिक मूलों के लिए विविक्तकर b² - 4ac ऋणात्मक होना चाहिए। विकल्प B में विविक्तकर = (-2)² - 4 × 2 × 8 = 4 - 64 = -60 है। इसलिए इसके मूल काल्पनिक होंगे। For imaginary roots, the discriminant b² - 4ac must be negative. For option B, the discriminant is (-2)² - 4 × 2 × 8 = 4 - 64 = -60. Therefore, its roots are imaginary.
10 Algebra • Quadratic Equations यदि α और β समीकरण 2x² - 7x + 6 = 0 के मूल हैं तथा α > β है, तो उस समीकरण को ज्ञात कीजिए जिसके मूल α + β और α - β हैं। If α and β are the roots of 2x² - 7x + 6 = 0 and α > β, find the equation whose roots are α + β and α - β. सेव करें Save सेव्ड Saved A. 4x² - 16x + 7 = 0 4x² - 16x + 7 = 0 B. 4x² - 4x + 7 = 0 4x² - 4x + 7 = 0 C. x² - 16x + 7 = 0 x² - 16x + 7 = 0 D. 4x² - 16x + 3 = 0 4x² - 16x + 3 = 0 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: A Correct Answer: A 2x² - 7x + 6 = 0 के मूल 2 और 3/2 हैं। अतः α = 2 और β = 3/2। नए मूल α + β = 7/2 और α - β = 1/2 हैं। इनका योग 4 और गुणनफल 7/4 है। इसलिए समीकरण x² - 4x + 7/4 = 0 अथवा 4x² - 16x + 7 = 0 होगा। The roots of 2x² - 7x + 6 = 0 are 2 and 3/2. Thus, α = 2 and β = 3/2. The new roots are α + β = 7/2 and α - β = 1/2. Their sum is 4 and product is 7/4. Therefore, the equation is x² - 4x + 7/4 = 0, or 4x² - 16x + 7 = 0.