1 Trigonometry • Trigonometric Identities [(1 - cot θ) ÷ (1 - tan θ)]² + 1 का मान क्या होगा? What is the value of [(1 - cot θ) ÷ (1 - tan θ)]² + 1? A. cos² θ cos² θ B. sin² θ sin² θ C. tan² θ tan² θ D. cosec² θ cosec² θ उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: D Correct Answer: D यदि tan θ = t, तो (1 - cot θ)/(1 - tan θ) = (1 - 1/t)/(1 - t) = -1/t = -cot θ। अतः इसका वर्ग करके 1 जोड़ने पर cot² θ + 1 = cosec² θ प्राप्त होता है। मूल प्रश्नपत्र में विकल्प D को sec² θ छापा गया था, जिसे गणितीय रूप से सही बनाने के लिए cosec² θ किया गया है। Let tan θ = t. Then (1 - cot θ)/(1 - tan θ) = (1 - 1/t)/(1 - t) = -1/t = -cot θ. Therefore, squaring and adding 1 gives cot² θ + 1 = cosec² θ. Option D was printed as sec² θ in the paper and has been corrected to cosec² θ to make the question mathematically valid.
2 Trigonometry • Heights and Distances दो टावर P और Q के पादों के ठीक मध्य स्थित एक बिंदु से उनके शीर्षों के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। P की ऊँचाई और Q की ऊँचाई का अनुपात क्या है? From a point exactly midway between the feet of two towers P and Q, the angles of elevation of their tops are 30° and 60° respectively. What is the ratio of the height of P to the height of Q? A. 1 : 2 1 : 2 B. 1 : 2√3 1 : 2√3 C. 1 : 3 1 : 3 D. 1 : 3√3 1 : 3√3 उत्तर और व्याख्या देखें Show answer and explanation सही उत्तर: C Correct Answer: C मध्य बिंदु से दोनों टावरों की क्षैतिज दूरी समान मान लें। तब ऊँचाइयों का अनुपात tan 30° : tan 60° = (1/√3) : √3 = 1 : 3 होगा। The horizontal distances of both towers from the midpoint are equal. Therefore, the ratio of their heights is tan 30° : tan 60° = (1/√3) : √3 = 1 : 3.